Seção 5_5_S

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SEÇÃO 5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO  3
 1. Seja u = x2 - 1. Então du = 2x dx, de modo que
 
x x 2 − 1 99 dx = u99 1
2
du = 1
2
u100
100
+ C
= 1200 x
2 − 1 100 + C.
 2. Seja u = 2 + x3. Então du = 3x2 dx, de modo que
 
x 2 dx
2 + x 3
=
1
3 du
u
=
1
3
u− 1 / 2 du
=
1
3
u1/ 2
1/2
+ C = 23 2+ x 3 + C.
 3. Seja u = 4x. Então du = 4 dx, de modo que
 
sen 4 x d x = sen u 1
4 du
=
1
4
(− cos u) + C = − 14 cos 4x + C.
 4. Seja u = 2x + 1. Então du = 2dx, de modo que
 
dx
(2x + 1 )2
=
(1/ 2) du
u2 =
1
2
u− 2 du
= −
1
2
u− 1 + C = − 1
2 (2x + 1)
+ C.
 5. Seja u = x2 + 6x. Então du = 2 (x + 3) dx, de modo que
 
x + 3
(x 2 + 6 x )2
dx = 1
2
du
u2
=
1
2
u− 2 du = −1
2
u− 1 + C
= −
1
2 (x 2 + 6x) + C.
 6. Seja u = aθ. Então du = adθ, de modo que
 
sec aθ tg aθ dθ = sec u tg u 1
a
du
=
1
a sec u + C =
sec aθ
a + C.
 7 Seja u = x2 + x + 1. Então du = (2x + 1) dx, de modo que
 
(2x + 1) x 2 + x + 1 3 dx = u3 du
= 14 u
4 + C
= 14 x
2 + x +1 4 + C.
 8. Seja u = 1 - x4. Então du = -4x3 dx, de modo que
 
x 3 1 − x 4 5 dx = u 5 − 14 du
= − 14
1
6 u
6 + C
= − 124 1− x
4 6+ C.
 9. Seja u = x - 1. Então du = dx, de modo que
 
x − 1 dx = u 1/ 2 du = 23 u
3/2 + C
= 23 (x − 1)
3/ 2 + C.
 10. Seja u = 1 - x. Então du = -dx, de modo que
 
3 x − 1 dx = − u1 / 3 du = − 34 u
4/ 3 + C
= − 34 (1 − x )
4 / 3 + C.
 11. Seja u = 2 + x4. Então du = 4x3 dx, de modo que
 
x 3 2+ x 4 dx = u1/ 2 14 du
=
1
4
u 3/2
3/2 + C
= 16 2+ x
4 3/2 + C.
 12. Seja u = x2 + 1. Então du = 2x dx, de modo que
 
x x 2 + 1 3 / 2 dx = u3 / 2 12 du
=
1
2
u 5/ 2
5/ 2 + C =
1
5 u
5 / 2 + C
= 15 x
2 + 1 5/ 2 + C.
 13. Seja u = t + 1. Então du = dt, de modo que
 
2
(t + 1 )6
dt = 2 u− 6 du = − 25 u
− 5 + C
= −
2
5 ( t + 1 )5
+ C.
 14. Seja u = 1 - 3t. Então du = -3dt, de modo que
 
1
(1 − 3t)4
dt = u− 4 − 13 du
= −
1
3
u− 3
−3
+ C = 1
9u3
+ C
=
1
9 (1 − 3t)3
+ C.
 15. Seja u = 1 - 2y. Então du = - 2 dy, de modo que
 
(1 − 2y)1,3 dy = u1,3 − 12 du
= −
1
2
u2,3
2,3 + C
= −
(1 − 2y)2,3
4,6
+ C.
5.5 SOLUÇÕES Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
 16. Seja u = 3 - 5y. Então du = -5 dy, de modo que
 
5 3 − 5y dy = u1/5 − 15 du
= − 15 ·
5
6 u
6/5 + C
= − 16 (3 − 5y)
6/5 + C.
 17. Seja u = 2θ. Então du = 2 dθ, de modo que
 cos 2θ dθ = cos u
1
2 du =
1
2 sen u+C =
1
2 sen2θ + C .
 18. Seja u = 3θ. Então du = 3 dθ, de modo que ∫ sec2 3θ dθ =
 sec
2 u 13 du =
1
3 tg u + C =
1
3 tg 3θ+ C .
 19. Seja u = 3x2 - 2x + 1. Então du = 2 (3x - 1) dx, de modo que
 
3x − 1
(3x 2 − 2x + 1)4
dx = u− 4 12 du
=
1
2
u− 3
−( 3) + C
= −
1
6 (3x 2 − 2x + 1)3
+ C.
 20. Seja u = x2 + 1. Então du = 2x dx, de modo que
 
x dx
x 2 + 1
=
1
2 du
= 12 u
− 1 / 2 du = 12 2u
1 / 2 + C
= u + C = x 2 + 1 + C.
u
 21. Seja u = sen x. Então du = cos x dx; de modo que
 sen
3x cos x dx = u3 du = 14 u
4 + C = 14 sen
4 x + C.
 22. Seja u = tgθ. Então du = sec2 θ dθ; de modo que
 tg
2 θ sec2 θ dθ = u2 du = 13 u
3 + C = 13 tg
3 θ +C.
 23. Seja u = t 2. Então du = 2t dt; de modo que
 
t sen t2 dt = sen u 12 du
= − 12 cos u + C = −
1
2 cos t
2 + C.
 24. Seja u = 1 + x . Então du = dx
2 x
, de modo que
(1 + x )9
x
dx = u 9 · 2 du
= 2
u10
10
+ C
=
(1 + x )10
5 + C.
 25. Seja u = 1 + sec x. Então du = sec x tg x dx; de modo que
 
sec x tg x 1 + sec x dx = u1/2 du
= 23 u
3/2 + C
= 23 (1 + sec x )
3/2 + C.
 26. Seja u = 1 - t3. Então du = -3t2 dt, de modo que
 
t2 cos 1 − t3 dt = cos u − 13 du
= − 13 sen u + C
= − 13 sen 1 − t
3 + C.
 27. Seja u = ex. Então du = ex dx; de modo que
 
ex sen ( ex ) dx = sen u du
= − cos u + C = − cos (ex ) + C.
 28. Seja u = cos x. Então du = - sen x dx; de modo que
 
cos4 x sen x d x = u4 (−du )
= − 15 u
5 + C = − 15 cos
5 x + C.
 29. Seja u = x2 + 2x. Então du = 2(x + 1) dx, de modo que
 
x + 1
x 2 + 2x
dx =
1
2 du
u
= 12 ln |u| + C =
1
2 ln x
2 + 2x + C.
 30. Seja u = ex. Então du = ex dx, de modo que
 
ex
e2 x + 1 dx =
du
u2 + 1
= tg− 1 u + C = tg− 1 (ex ) + C.
 31. Seja u = 1 - x2. Então x2 = 1 - u e 2x dx = -du, de modo que
 
x 3 1− x 2 3 / 2 dx = 1− x 2 3/2 x 2 · x dx
= u3/2 (1 − u) −1
2
du
= 12 u
5/2 − u3 /2 du
= 12
2
7 u
7/ 2 − 25 u
5/2 + C
= 17 1 − x
2 7/2 − 15 1− x
2 5/2 + C.
 32. Seja u = x . Então du = dx2 x
, de modo que
cos x
x
dx = cos u · 2 du
= 2 senu + C = 2 sen x + C.
 33. Seja u = 2x + 3. Então du = 2 dx, de modo que
 
sen ( 2 x + 3) dx = sen u 12 du
= − 12 cos u + C
= − 12 cos (2x +3 )+ C.
 34. Seja u = 7 - 3x. Então du = - 3 dx, de modo que
 
cos (7− 3x ) dx = cos u − 13 du
= − 13 sen u + C
= − 13 sen ( 7− 3x )+ C.
SEÇÃO 5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO  5
 35. Seja u = 3x. Então du = 3 dx, de modo que
 
(sen 3α − sen3x ) dx = (sen3α − sen u) 13 du
= 13 [(sen 3α ) u + cos u] + C
= (sen 3α ) x + 13 cos 3x + C.
 36. Seja u = pt, de modo que du = p dt. Quando t = 0, u = 0; 
quando t = 1, u = p. Portanto, 
 
1
0 cos pit dt =
pi
0 cos u
1
pi du
= 1pi [sen u]
pi
0 =
1
pi (0 − 0) = 0.
 37. Seja u = 4t , de modo que du = 4 dt . Quando t = 0, u = 0;
quando t = pi4 , u = pi . Portanto,
pi/4
0 sen 4t d t =
pi
0 sen u
1
4 du
= − 14 [cos u]
pi
0 = −
1
4 (−1 − 1) = .
1
2
 38. Seja u = 1 + 1x , de modo que du = −
dx
x 2 . Quando x = 1,
u = 2; quando x = 4, u = 54 . Portanto,
4
1
1
x 2
1 + 1
x
dx = 5/42 u
1/2 (−du )
= 25/4 u
1/2 du = 23 u
3/2
2
5/4
= 23 2 2 −
5 5
8
= .4 23 −
5 5
12
 39. Seja u = 2x + 3, de modo que du = 2 dx. Quando x = 0, 
u = 3; quando x = 3, u = 9. Portanto, 
 
3
0
dx
2x + 3
=
9
3
1
2 du
u
= 12 ln u
9
3 =
1
2 (ln9 − ln 3)
= 12 ln
9
3 =
1
2 ln 3 (ou ln 3).
 40. Seja u = 2x - 1. Então du = 2 dx, de modo que
 
1
0
(2x − 1)10 0 dx =
1
− 1
u100 1
2 du
=
1
0
u100 du
uma vez que o 
integrando é uma
função par
=
1
101
u101
1
0
= .
1
101
 41. Seja u = 1 - 2x. Então du = -2 dx, de modo que
 
− 4
0 1− 2x d x =
9
1 u
1 / 2 − 12 du
= − 12 ·
2
3 u
3/ 2 9
1
.− 13 (27 − 1) = −
26
3
 42. Seja u = x4 + x. Então du = (4x3 + 1) dx, de modo que
 
1
0 x
4 + x 5 4x 3 + 1 dx = 20 u
5 du
=
u6
6
2
0
=
26
6
= .
32
3
 43. Seja u = x3 - x. Então du = (3x2 - 1) dx, de modo que
 
3
2
3x 2 − 1
(x 3 − x )2
dx =
24
6
du
u2
= −
1
u
24
6
= −
1
24
+
1
6
= .
1
8
 44. A área sob o gráfico de y = sen de 0 a 4 é 
 
A 1 = 40 sen x dx. A área sob o gráfico de
y = 2x sen x de 0 a 2 é
A 2 =
2
0
2x sen x d x
u = x 2, du = 2x dx,
u = x para 0 ≤ x ≤ 2
=
4
0
sen u du.
 Uma vez que a variável de integração é irrelevante, A1 = A2.