179_ICF1-gaba-ep1-cederj-2004-2

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IF/UFRJ 
2o Semestre de 2004 Introdução às Ciências Físicas I 
1
 Gabarito dos Exercícios Programados I (EP1) 
Gabarito dos Exercícios Programados 1 
 
1. Discussão com o tutor no Pólo. 
2. Individual. 
 
Exercício 1 
Os triângulos AMN e PMN da figura a seguir são semelhantes ? 
Justifique a sua resposta. 
 
Para verificarmos se os triângulos AMN∆ e PMN∆ são semelhantes, precisamos verificar se 
eles satisfazem as condições: os ângulos correspondentes são dois a dois congruentes ou os lados 
homólogos são proporcionais. 
 
 
 
Explicitamente, as condições acima podem ser satisfeita duas hipóteses: 
1a Hipótese 
• γα ≡ , δβ ≡ . 
 
• 
NP
NA
MN
MN
PM
AM == 
 
2a Hipótese 
δα ≡ , γβ ≡ 
MP
AM
MN
NA
PN
MN == 
 
Vamos considerar a segunda condição: 
1. Os lados do triângulo AMN∆ valem: 
10=AM 6=MN 8=NA . 
2. Os lados do triângulo PMN∆ valem: 
 6156 22 =+=∆= PMNdohipotenusaPM 6=MN . 5=NP
Assim temos na primeira hipótese: 
5
81
6
6
61
10 ====
NP
NA
MN
MN
PM
AM
 
8 5
A 
N 
M
6 
10 
α
δ
γ
β
P 
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Logo, os lados homólogos NÃO são proporcionais: 
NP
NA
MN
MN
PM
AM ≠≠ e, como conseqüência os 
triângulos e não são semelhantesAMN∆ PMN∆ . 
 
2a Hipótese 
δα ≡ , γβ ≡ 
1
6
6 ==
PN
MN
;
3
4
6
8 ==
PN
NA
;
61
10=
MP
AM
. 
 
Logo, os lados homólogos NÃO são proporcionais: 
MP
AM
PN
NA
PN
MN ≠≠ e, como conseqüência os 
triângulos e não são semelhantesAMN∆ PMN∆ . 
 
 
Exercício 2 
 
O triângulo representado na figura abaixo possui os seguintes lados: , 
e . 
111 CBA∆ cma 21 =
cmb 31 = cmc 31 =
a. Desenhe esse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b1=3cm c1=3cm 
h1
a1=2cm 
b. Calcule a altura que é perpendicular ao lado desse triângulo. 1h 1a
 O triângulo acima é isósceles, ou seja, possui dois lados iguais. A altura divide o lado ao 
meio: 
1h 1a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular a altura vamos usar o Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
3cm 
1h
1cm 
cmhhh 22228191313 1
2222
1
2
1
22 =⇒×==−=−=⇒+=
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c. O segundo triâgulo , também representado na figura abaixo, 
semelhante ao triangule 
222 CBA∆
111 CBA∆ tem um dos lados igual a . Calcule o 
valor dos outros lados. 
cma 12 =
 
 
 
 
 
 
 
 Quando dois triângulos são semelhantes a relação de proporcionalidade entre as alturas é ,
 a mesma relação entre os lados. 
⇒=
2
1
2
1
a
a
h
h
 ⇒×==
2
122
1
2
12 a
a
hh cmh 22 = 
Utilizando novamente o teorema de Pitágoras para o esse segundo triângulo, temos: 
cm
a
hb
2
3
2
3
4
9
4
12
2 2
22
22
2
2
2 ===+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+= . 
 
Usando semelhança entre os triângulos, podemos calcular o lado : 2c
cmcc
b
b
c
c
2
3
2
2
2
3
3 1
2
2
1
2
1 ==⇒=== 
Os valores dos lados do segundo triângulo são: 
cma 12 = ; cmb 2
3
2 = e cmc 2
3
2 = 
 
Exercício 3 
 
1. No triângulo da figura 2 calcule αsen , αcos e αtan . 
 
5
3==
hipotenusa
aopostocatetosen αα 
 
5
4cos ==
hipotenusa
aadjacentecateto αα 
 
4
3tan == α
αα
aadjacentecateto
aopostocateto
 
2. Sabendo que o seno dos ângulos 30º, 45º e 60º são respectivamente iguais a 
2
1
, 
2
2
 e 
2
3
determine os cossenos e as tangentes desses ângulos. 
 
c2b2
h2
a1
3 
5 
α 
4 
Figura 2 
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 Vimos no texto que o seno e o cosseno de ângulos complementares são iguais, ou seja, 
βα cos=sen , onde . Assim, podemos determinar os valores do cosseno de um 
ângulo a partir do seno desse ângulo pela expressão:
o90=+ βα
( ) ββ cos90 =−sen . Dessa forma, temos: 
 
 Ângulo Seno Cosseno Tangente
30º 
2
1
 
2
3
 3
1
 
45º 
2
2
 
2
2
 1
60º 
2
3
 2
1
 3 
 
a figura acima temos dois triângulos semelhantes ilustrados a s ir: 
Usando seme ângulos, podemos escrever: 
 
3. Demonstrar a expressão da obtenção do tamanho da mancha luminosa, L, da página 20 do 
Módulo 1 e discutir as incertezas indiretas expressas no Lmin e Lmax. 
 
 
N egu
 
 
 
 
 
 
lhança de tri
a
d
ba
L =+ )( 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+=⇒
a
bd
a
b
a
adba
a
dL 1)( 
 
as. O
A incerteza indireta na medida de L é obtida de maneira conservadora (você aprederá a 
maneira correta em disciplinas futuras) obtendo-se os valores máximo e mínimo para L. Esses 
valores dependem das medidas diretas de a, b e d e de suas respectivas incertez valor 
mínimo Lmin é obtido quando o denominador assume o maior valor, ou seja, aa δ+ e o 
numerador ve o menor possí l, ou seja, quando as medidas de d e b assume valor 
estimado, 
m o menor
dd δ− e bb δ+ : 
d
a
L
b
a+b
d 
a 
L 
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( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−+−=
aa
bbdL d δ
δδ 1min 
 
De modo análogo, para a obtenção de Lmax devemos inserir valores das incertezas das 
variáveis a, b e d, de modo a obter o maior valor de L. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+++=
aa
bbdL d δ
δδ 1)(max 
 
 
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	Exercício 2