Aula_04_Sistema de Equações Lineares_01(3)

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Resolução de Sistemas de Equações Lineares Métodos Diretos e Iterativos
Prof. Gilson de Souza Santos
Cálculo Numérico
Unidade 04 – Sistema de Equações Lineares 
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 Introdução
É definido como um conjunto “m” de equações que contêm “n” incógnitas, geralmente escrito na forma:
Pode ser escrito em forma matricial: A.x=B
“Sistemas de equações lineares são equações que devem ser satisfeitas simultaneamente” 
A é a matriz dos coeficientes;
• x é o vetor de incógnitas;
• b é o vetor de constantes.
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 Introdução
ou, em sua forma de matriz estendida:
Já a matriz
é uma solução para o sistema de equações se, para cada xi=xi, tem-se uma identidade numérica para o sistema A.x=B.
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 Características
Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj=0.
Um sistema de equações algébricas lineares é dito compatível, quando apresenta uma solução, e dito incompatível, quando não apresenta solução.
(Neste curso, estudaremos os sistemas de equações compatíveis, que poderão se homogêneos ou não.)
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 Características
Um sistema de equações é dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja:
E triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja:
Os sistemas triangulares têm solução trivial se os elementos da diagonal principal forem diferentes de zero.
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 Problemas na Engenharia (método da rigidez)
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 Problemas na Engenharia (circuitos elétricos)
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 Problemas na Engenharia (interpolação)
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 Métodos
Os métodos numéricos para a resolução de sistemas lineares podem ser divididos em dois grupos: métodos diretos e métodos iterativos.
Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações.
Métodos Iterativos por sua vez, geram uma seqüência de vetores a partir de uma aproximação inicial x(o), e sob certas circunstâncias esta seqüência converge para a solução do sistema, caso ela exista.
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 Gauss
Consiste em transformar o sistema linear A.x=B em um sistema triangular equivalente, U.x=C, por meio de um número de (n-1) passos.
É mais usado em sistemas lineares de pequeno e médio portes (n=30 e n=50 respectivamente).
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 Gauss
Para descrever o método seja det A  0, através do exemplo :
Estágio 1 : Eliminação x1 das equações 2 e 3.
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 Exemplo
Dado o sistema, determine a sua solução através do método de Gauss.
Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a11 como Pivô e calcula-se os multiplicadores:
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 Exemplo
Substitui-se os valores das linhas 2 e 3 de acordo com:
		L1→L1
		m21*L1+L2→L2
		m31*L1+L3 →L3
Obtendo-se:
A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2.
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 Exemplo
Construindo as novas linhas:
		L1→L1
		L2→L2
		m32*L2+L3 →L3
O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por:
De modo trivial, chega-se à solução do problema:
x1=1, x2=2, x3=3
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 Exemplo
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 Inconsistências do método
Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, não será possível encontrar a resposta ;
Pode-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema;
Valores de pivô muito próximos de 0 propagam erros de arredondamento muito facilmente, podendo até mesmo invalidar os resultados alcançados;
O ideal é que os multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1.
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 Pivotação
Muito semelhante ao método de Gauss;
Exige somente que se troque as linhas de modo que o pivô seja sempre o maior valor em módulo na matriz; 
É pouco utilizado devido ao esforço computacional antes de cada cálculo, para que seja determinado o maior pivô.
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 Exemplo
Dado o sistema, determine a sua solução através do método da Pivotação.
Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a21 ou a22 como Pivô (maior valor) e calcula-se os multiplicadores:
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 Exemplo
Substitui-se os valores das linhas 1 e 3 de acordo com:
		m1*L2 + L1 →L1
		L2→L2
		m3*L2+L3 →L3
Obtendo-se (já colocando a linha 2 no lugar da linha 1):
A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a32=-5.
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 Exemplo
Construindo as novas linhas:
		L1→L1
		m32*L3 +L2 →L2
		L3 →L3
Mais uma vez, de modo trivial chegamos até a solução do problema: x1=1, x2=2, x3=3
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 Método de Jordan
Muito semelhante ao método de Gauss;
O cálculo da pivotação leva em consideração todas as 	linhas da tabela, incluindo aquelas que já foram 	processadas, obtendo-se uma matriz diagonal no final.
Este método consiste em operar transformações elementares sobre as equações do sistema linear original até que se obtenha um sistema diagonal equivalente.
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 Exemplo
Dado o sistema, determine a sua solução através do método de Jordan.
Escreve-se o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados). Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhe-se o elemento a11 como Pivô e calcula-se os multiplicadores:
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 Exemplo
Substitui-se os valores das linhas 2 e 3 de acordo com:
		L1→L1
		m21*L1+L2→L2
		m31*L1+L3 →L3
Obtendo-se:
A partir desta matriz ampliada, repete-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2.
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 Exemplo
Construindo as novas linhas:
		m1*L2+L1→L1
		L2→L2
		m3*L2+L3 →L3
Repetindo-se o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a33=5.
E construindo-se novamente as linhas:
		m1*L3+L1→L1
		m2*L3+L2→L2
		L3 →L3
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 Exemplo
O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular
equivalente dado por:
De modo trivial, chega-se à solução do problema: x1=1, x2=2, x3=3