APOSTILA_TEORIA_DE_ERROS

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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Área de Conhecimento de Física
Semestre 2012.1
Texto de Laboratório:
Noções Sobre Teoria dos Erros
A Física é uma ciência natural que se utiliza de procedimentos teóricos e experimentais. Os procedimentos experimentais desenvolvem papel relevante dentro da Física por ser ao mesmo tempo o ponto de partida para a formulação teórica como o fator decisivo para a validação das teorias físicas. Nas atividades experimentais eliminar efeitos espúrios e medir somente efeitos relevantes não é em geral tarefa fácil.
É indispensável compreender alguns procedimentos fundamentais para a realização das atividades experimentais em Física. Nesse contexto começaremos a estudar alguns conceitos fundamentais no que chamamos de teoria dos erros. 
Procedimentos experimentais consistem resumidamente em realizar "medidas" de grandezas físicas de interesse no estudo de determinado fenômeno. Uma questão que se coloca relevante neste caso é qual a nossa confiança em relação à medida realizada? Por exemplo, ao medirmos a nossa massa em uma balança de farmácia será que o valor ali indicado é verdadeiramente o valor real de nossa massa? Como saberemos se as molas que compõem a balança é realmente uma mola perfeita? Qual a influencia do ar que está ao nosso redor nesse procedimento de medida? Essas perguntas podem ser facilmente estendidas para todos os outros procedimentos experimentais.
As grandezas podem ser medidas direta ou indiretamente, havendo, em cada caso, um modo diferente de tratar seus valores e os erros a eles associados.
Medidas diretas são as obtidas por simples comparação utilizando-se instrumentos de medida já calibrados para tal fim. Neste tipo de medida devemos distinguir dois casos: (i) a medida é feita através de uma única determinação onde o valor numérico ou é lido numa escala (régua, paquímetro, cronômetro, balança, etc.), ou é fornecido diretamente como no caso de massas aferidas. (ii) a medida é obtida através de várias determinações onde o valor numérico é dado pelo Valor Mais provável (será definido posteriormente).
Medidas indiretas são todas aquelas relacionadas com as medidas diretas por meio de definições, leis e suas consequências. Neste tipo de medidas o valor numérico assim como a dimensão e a unidade correspondentes, são encontradas através de expressões matemáticas que as ligam as medidas diretas envolvidas. Exemplo é a determinação do volume dum cilindro a partir da medida de suas dimensões.
Um problema que permeia os procedimentos experimentais é identificar qual o grau de confiança que teremos nas medidas realizadas para estudar um determinado fenômeno. Assim começaremos estudando os fundamentos da teoria dos erros que é amplamente utilizada para solucionar esta questão.
Classificação do erro de uma medida
Quando realizamos um procedimento de medida os mais variados tipos de erro são cometidos. Isso se deve a uma diversidade de causas. Sabemos que todo aparelho de medida é limitado no sentido que somente um número finito de casas decimais são observadas. Por exemplo, o nosso relógio somente marca intervalos de tempo de 1 segundo apesar de acreditarmos que o tempo evolui continuamente. Ou seja, a medida da duração de um determinado evento só poderá ser apresentada com uma casa decimal quando realizada com este relógio e sendo a unidade de tempo o segundo. Nunca saberemos de fato qual o valor real do tempo decorrido do fenômeno em questão. A esse tipo de erro denominamos de erro instrumental, ou seja, o erro associado ao aparelho de medida.
O valor do erro instrumental é definido da seguinte forma: 
Para instrumentos analógicos: a metade da menor subdivisão do aparelho.
Para instrumentos digitais: a menor subdivisão do aparelho. No caso de um cronômetro digital, que mede até os centésimos de segundos, o erro instrumental vale 0,01s.
 Outros tipos de erros muito conhecidos são os erros estatísticos, erros sistemáticos e os erros grosseiros. Vamos discutir separadamente cada um deles.
1. Erros estatísticos ou aleatórios
Erros Estatísticos são resultantes de variações aleatórias nos processos de medidas causados por fatores que não podem ser controlados. Em geral isso se deve somente ao processo de medida. Contudo, em certos casos especiais essas variações são intrínsecas à própria grandeza física que se quer medir. Voltando ao exemplo da medida da massa, erros estatísticos podem ocorrer devido a correntes de ar ou a vibrações na balança. Nesses casos esses erros podem ser eliminados isolando a balança desses efeitos externos (muito comum em balanças de precisão dos laboratórios de química).
Em geral um procedimento bastante utilizado para reduzir os efeitos dos erros estatísticos é repetir o procedimento de medida um número finito de vezes. Com isso, se consegue minimizar o erro associado à medida de determinada grandeza utilizando corretamente o tratamento de dados.
2. Erros sistemáticos
Um Erro sistemático acontece sempre da mesma maneira em todos os resultados experimentais. Dessa forma não é possível avaliar a incerteza de um erro sistemático simplesmente fazendo repetidas medidas da grandeza física em questão. Assim se torna difícil avaliar a incerteza relativa aos erros sistemáticos. Contudo diversas causas podem provocar os erros sistemáticos e o conhecimento dessas motivações pode auxiliar a minimizar tais incertezas. Veremos alguns casos particulares.
2.1 Erros sistemáticos instrumentais
Erros sistemáticos instrumentais são provocados pela calibração equivocada do aparelho de medida. Esse motivo pode ser provocado por uma calibração defeituosa na fabricação do aparelho ou pode ser consequência de fatores como temperatura, tensão entre outros. Por isso é necessário que os aparelhos sejam fabricados com material de qualidade.
2.2 Erros sistemáticos ambientais
Erros sistemáticos ambientais são provocados por efeito do ambiente sobre a experiência. Diversos fatores podem provocar esses erros tais como temperatura, campo magnético terrestre, campo gravitacional local, ruídos eletromagnéticos, ondas sonoras entre outros. Um exemplo é o efeito da voz humana em um experimento de fotoacústica ou a influencia do campo magnético terrestre em um experimento para medir o campo magnético de uma corrente elétrica em um fio retilíneo.
Esses erros podem ser reduzidos ou praticamente eliminados se conhecermos as condições ambientais nas quais devemos realizar os procedimentos experimentais. Assim podemos em geral controlar esses efeitos e realizar os experimentos em condições ambientais favoráveis. Por exemplo, pode-se colocar isolamento acústico nos laboratórios de fotoacústica ou pode-se corrigir o resultado final conhecendo o campo magnético terrestre.
2.3 Erros sistemáticos observacionais
Erro sistemático observacional se deve a falhas no processo de observação, seja por limitação do observador seja por pequenas falhas na realização dos procedimentos experimentais.
Um exemplo típico desse erro é devido a falta de alinhamento entre o olho do observador e o indicador de leitura de um instrumento de medida, uma régua por exemplo. Outro exemplo típico de erro observacional sistemático é devido ao tempo de reação humana que é da ordem de 0,1s. Assim resultados de medidas obtidas com cronômetros acionados manualmente podem apresentar erros sistemáticos dessa ordem de grandeza.
2.4 Erros sistemáticos teóricos
Erro sistemático teórico é o erro cometido devido a utilização de fórmulas teóricas aproximadamente corretas. Isso acontece pelo fato de que na realização de um experimento algum modelo físico deve ser adotado e de acordo ao modelo adotado algum fenômeno pode ser negligenciado. Por exemplo, em um experimento utilizando pêndulo simples para determinar a intensidade do campo gravitacional local g normalmente desprezamos a resistência do ar, o que nos leva a obter um valor menor do que o que seria obtido considerando a reação deatrito.
Um exemplo clássico da física sobre esse erro foi cometido na famosa experiência de Millikan para determinar a carga do elétron, onde ele utilizou um valor para a viscosidade do ar um pouco incorreto o que levou a um valor 0,6% menor do que o atualmente aceito para o valor da carga do elétron.
3. Erros Grosseiros
Erros Grosseiros ou Erros Ilegítimos não são considerados erros dentro do contexto da teoria dos erros. São chamados de "enganos" que podem ocorrer nos cálculos ou nos procedimentos de medição. São cometidos devido à falta de atenção ou de prática do operador. Deste tipo são os erros cometidos em operações matemáticas, enganos na leitura ou escrita de dados, ou engano na leitura duma escala. A possibilidade de ocorrência desses erros pode ser bastante reduzida pela atenção do operador e pela repetição das medidas e dos cálculos. Em geral esses resultados devem ser ELIMINADOS do conjunto de dados que devem ser utilizados para o tratamento de dados. É inadmissível apresentar resultados provenientes de erros grosseiros.
Erro instrumental e Desvio avaliado
Em alguns casos, nos laboratórios de Física, podemos associar a uma determinada grandeza apenas o erro instrumental do aparelho. Por exemplo, para se medir o comprimento de um determinado corpo podemos usar uma régua milimetrada, sabemos que a menor divisão desse aparelho é 1mm e assim dizemos que o erro associado a medida é de ±0,5mm. Porém esse método só pode ser aplicado quando as condições para realização da medida são bastante favoráveis, não estando sujeita a erros estatísticos, sistemáticos ou grosseiros, ou seja, o aparelho pode ser considerado como a única fonte relevante de incertezas.
Em diversos procedimentos essa maneira de determinar o erro não é a mais indicada e devemos, portanto, avaliar o erro de maneira distinta, considerando outras fontes de erro. Por exemplo, quando uma pessoa realiza medidas de tempo com um cronômetro deve ser levado em conta o tempo de reação humana, que irá influenciar nas medidas. Nesses casos devemos avaliar o grau de influência de cada fonte de erro associado à medida para determinar o desvio avaliado. No exemplo de medidas de tempo citado acima, costumamos utilizar um desvio avaliado de ± 0,1s.
Valor Médio e Desvio Padrão
Vamos agora introduzir dois novos conceitos que são fundamentais para o tratamento de dados experimentais.
Nos procedimentos onde erros aleatórios são significativos devemos proceder realizando várias medições da mesma grandeza. Deve-se realizar os procedimentos com os mesmos instrumentos de medida e sob as mesmas condições ambientais. Essas medidas são chamadas de "medidas idênticas" e são em geral diferentes devido aos erros aleatórios.
Indicamos essas medidas por
x1 , x2 , x3 , ... ; xn
O valor médio é dado por
Vamos diferenciar aqui dois conceitos bastante relevantes em teoria dos erros: O valor verdadeiro e o valor médio. Espera-se que o valor médio seja mais preciso quanto maior for o número de medidas realizadas. No limite de infinitas medições o valor médio se iguala ao valor verdadeiro, ou seja:
A melhor estimativa para o valor verdadeiro, que pode ser obtida a partir de n medições idênticas, é o valor médio 
.
Essa afirmação aparentemente óbvia não é simples a priori, e não é verdadeira quando as medições não são idênticas. Um principio mais geral chamado de Método da Máxima Verossimilhança é utilizado para deduzir a afirmação acima.
O desvio di associado a uma medida xi é definido por:
A informação que é relevante aqui é saber o quanto as medidas xi se dispersam do valor médio. Um modo de obter essa informação é usando o desvio padrão. O desvio padrão é uma espécie de média das diferenças quadráticas de cada medida até a média.
O valor verdadeiro de uma grandeza (xv), assim como o erro (σ), só podem ser obtidos a partir de infinitas medições (n → ∞). Uma vez que nosso tempo é finito, podemos apenas estimar o valor mais provável (
) e o desvio padrão (s) por meio das equações acima. O desenvolvimento teórico e a justificativa para esse procedimento podem ser encontrados em qualquer livro texto básico de estatística ou alguma publicação acerca de práticas experimentais em Física.
Desvio Relativo e Discrepância Relativa
O desvio relativo S(%), da medida de uma grandeza é definido como a relação entre a dispersão s utilizada para a medida (desvio avaliado, desvio padrão, etc.) e o valor X no caso de apenas uma determinação (ou o v.m.p no caso de uma série de medidas), expresso em %. Sua expressão é
O desvio relativo tem significado somente quando as medidas são referidas a um referencial zero que tenha significado físico. Quando o referencial é arbitrário, o desvio relativo perde o sentido quando os desvios individuais forem apreciáveis em comparação ao valor da medida.
A discrepância relativa, Δ, entre duas medidas X ' e X " de uma grandeza é definida pela relação (em %).
X’ e X " podem ser os valores obtidos por dois observadores, ou X ' pode ser um valor obtido por um observador e X " um valor tabelado ou recomendado da grandeza.
Propagação de erros
Muitas vezes usaremos o valor de uma medição numa equação para determinar outra grandeza qualquer. Esses tipos de medidas são chamadas de medidas indiretas. O que fazer para determinar a incerteza associada a esses tipos de medidas? Para medidas diretas temos a incerteza do processo de medição, enquanto que para grandezas determinadas através de fórmulas temos a incerteza propagada.
O problema pode ser posto da seguinte maneira: dada uma função F = F(x, y, z) onde x, y, z, são grandezas experimentais com incertezas dadas por sx, sy e sz, independentes entre si, quanto vale a incerteza de F (SF)? 
A relação entre a incerteza de F e as incertezas de x, y e z é determinada pelo cálculo diferencial. 
Sabe-se que, quando temos uma função com várias variáveis, do tipo F = F(x, y, z), por exemplo, então uma pequena variação em F, chamada de diferencial de F, ou dF, é dada por:
,
No âmbito da teoria de erros em medidas físicas, usamos a expressão abaixo, conhecida como fórmula geral da propagação de erros:
,
onde as derivadas parciais são tomadas nos pontos 
. 
Vamos agora obter expressões para algumas funções que aparecem com mais frequência em trabalhos de laboratório.
 
i) Soma ou subtração de valores experimentais.
Seja F(x,y) = Ax ± By , onde A e B são constantes. As derivadas parciais de F são:
 
As quais, substituídas na equação SF, resultam em:
ii) Produtos de Fatores Elevados à Diferentes Potências.
Seja F(x,y) = A.xn.ym , onde n e m são valores reais conhecidos e A é uma constante. As derivadas parciais de F, são:
 
As quais, substituídas na equação SF, resultam em:
Uma expressão mais conveniente para o cálculo de SF, neste caso, é obtida dividindo-se a equação acima pela expressão de F, ou seja, por F = A.xn.ym. O resultado é
Exemplo: Para determinar o volume de um cilindro usamos a expressão:
,
foram medidos o diâmetro (d) e a altura(h), obtendo os seguintes valores:
d = 4,750±0,002cm
h = 12,35±0,05cm.
Logo o volume do cilindro será: 218,85cm2.
Como o volume foi medido indiretamente precisaremos usar a fórmula de propagação de erros para determinar a incerteza dessa medida. Como V = V(d,h), teremos:
,
onde: 
.
Substituindo na fórmula de propagação de erros obtemos:
= 0,904990907
Como a incerteza só pode ter dois algarismos significativos, o resultado do volume do cilindro deve ser escrito corretamente da seguinte forma:
V = 218,85 ± 0,91cm2.
Construção e Interpretação de Gráficos
Uma prática constante dentro da Física e da Engenharia é a representação de dados através dos gráficos, e esta utilização de gráficos podem ser formalmente definidos como dados tabulados dispostos num plano cartesiano,a sua utilização deve-se à facilidade de obtenção de informação a partir deles. Os gráficos permitem uma visualização imediata do comportamento das variáveis de um fenômeno em estudo. 
Pode-se verificar a facilidade de obtenção de informações através do gráfico comparada com a tabela. Além deste aspecto existem outras vantagens na utilização de gráficos.
Geralmente é possível se obter rápida e facilmente, através da análise gráfica, informações cuja obtenção por outras técnicas poderiam ser trabalhosas. Por exemplo, considere o problema da determinação analítica, do instante para o qual a velocidade é máxima, e do valor dessa velocidade. Por outro lado, é simples obter-se estas respostas através do gráfico. A utilização de gráficos constitui uma maneira muito fácil de se obter outros valores das variáveis dependentes e independentes, através de interpolação e extrapolação.
As técnicas usadas são extremamente úteis na comparação de dados teóricos e experimentais. Isto pode ser realizado de duas maneiras:
De forma que os dados experimentais são traçados nos gráficos, possibilita-nos que construíamos uma relação entre as variáveis;
Podemos traçar a curva teórica e a experimental num mesmo sistema de eixos, e então, compará-las.
A construção de um gráfico de fácil interpretação exige a observação dos seguintes aspectos:
Título: Por Extenso, Conciso e Explicativo: O gráfico deverá conter todas as informações necessárias à sua compreensão, evitando uma consulta ao contexto que está inserido, para se saber do que se trata. Dessa forma, deve-se escolher um título escrito por extenso que seja conciso e bem explicativo.
Os Eixos: É norma universal colocar a variável independente no eixo das abcissas e, a dependente no eixo das ordenadas. Inverter a norma de colocação das variáveis dependentes e independentes não invalida o gráfico, porém essa prática não é desejável porque introduz dificuldades desnecessárias.
Escreve-se o nome das grandezas lançadas nos eixos da abcissas e das ordenadas respectivamente, sendo que 3 aspectos precisam estar claros em relação a cada eixo:
A grandeza física a ser colocada no eixo; 
As unidades empregadas; 
Os valores numéricos da grandeza e unidades apropriadas, representadas por intervalos adequados ao longo dos eixos.
A grandeza física é escrita abaixo da abcissa e ao longo da ordenada, seguida pela unidade na qual é expressa. A grandeza física é separada de sua unidade por vírgula ou parênteses.
Os valores numéricos lançados nos eixos devem ser representados por intervalos iguais múltiplos da unidade escolhida, e, quando for necessário, ressaltar algum ponto, ou então além de representar a unidade indique estes pontos.
Escala: Deverá estar de acordo com os algarismos significativos dos dados e deverá ser escolhida de maneira que facilite a interpolação e que permita que todos os pontos experimentais fiquem contidos no papel, de forma a que o gráfico ocupe a maior extensão possível do papel não ocupando somente um canto do mesmo. 
Linearização de Curvas
Um modo conveniente de se obter os parâmetros de funções não lineares é através da linearização de curvas. A razão de procurar-se transformar gráficos não lineares em lineares é que a reta permite maior facilidade em seu traçado e maior precisão na determinação de seus parâmetros. Os tipos das funções que mais comumente expressam as leis físicas são os de potência e os exponenciais.
Para esses tipos de função, dois métodos são comumente usados para linearização: o da anamorfose e o logarítmico. 
Linearização pelo Método da Anamorfose
O método de linearização por anamorfose é utilizado quando se conhece a priori o tipo da função que relaciona as grandezas envolvidas, ou quando se pode especular sobre esse tipo. Ele consiste em fazer-se uma mudança de variável modo a transformar uma função não linear em uma linear. Por exemplo, se duas grandezas z e t são relacionadas por uma função do tipo 
, pode-se dizer que z varia diretamente com 
. Se n é conhecido e se faz 
, o gráfico de z contra u resultará em uma linha reta de equação 
, cujo coeficiente angular 
(o parâmetro da função 
) é dado por:
Linearização pelo Método Logarítmico
Este método aplica-se a funções de potência e exponenciais e consistem em tomar-se o logaritmo de ambos os membros da função que se deseja linearizar e construir-se o gráfico da expressão resultante.
Gráfico logaritmo em papel de gráfico log-log
O gráfico de uma função logarítmica é comumente construído em papel log-log. No papel log-log as escalas são logarítmicas decimais ao invés de linear e o papel pode conte uma ou ais décadas em cada eixo. Como cada década corresponde a uma ordem de grandeza, a escolha do papel é feita em função das faixas de variação das variáveis. Um tipo comum desse papel é o log-log (2x3 décadas); ele permite variações de duas ordens de grandeza no eixo das ordenadas e três no eixo abcissas.
O gráfico logarítmico, por exemplo, desta equação 
 neste tipo de papel é feito locando-se y contra x. Para calcular-se o coeficiente angular n lê-se no gráfico as coordenadas (log x1, log y1, log x2, log y3) para serem utilizados na 
. O valor de k é a ordenada da interseção da reta com o eixo x = 1 e pode ser lido diretamente no gráfico. No caso de a interseção não se dar nos limites do papel de gráfico, pode-se obter k pela 
usando-se um par de valores tirado do gráfico e o valor de calculado de n sem arredondamento.
Função de Potência
Sejam duas grandezas x e y que se relacionam por uma função de potência do tipo: 
. Se aplica o logaritmo decimal a ambos os membros desta equação, o resultado é a expressão:
Portanto, o gráfico de 
 contra 
resultará em uma reta, e se muda 
por 
e 
por 
, cujo coeficiente angular n é dado por
Onde a coordenadas dos pontos 
�� EMBED Equation.3 e 
 são lidas diretamente no gráfico. O coeficiente linear da reta é log k e o valor de k, pela própria definição de logaritmo, é dado por k = 10log k.
Na maioria das equações que expressão fenômenos físicos os expoentes são, ou frações simples, ou números inteiros, tais como 
, etc. Então, o valor calculado de n deve ser aproximado, dentro do erro experimental, para inteiro ou relação entre inteiros. Por exemplo, 0,493 ≈
; -0,991≈ -1; 1,49 ≈
.
Gráfico Exponencial em Papel de Gráfico semi-log
O papel de gráfico semi-log tem uma escala linear no eixo-x e uma logarítmica no eixo-y. Neste papel, o gráfico da 
, locando-se y versus x, resulta numa reta. O coeficiente angular dessa reta é c.log e e c pode ser calculado através da equação 
, usando-se as coordenadas do par de pontos (x1, y1), (x2, y2) lidos diretamente no gráfico (atente que na equação anterior tem-se que usar os valores de log y1 e log y2 . O valor de k é a ordenada da interseção da reta com o eixo x = 0 e pode ser lido diretamente no gráfico. No caso de não haver interseção nos limites do papel, log k pode ser obtido através da equação 
usando-se coordenadas de uma par de valores tirado do gráfico.
Função Exponencial
Se a função relacionando x e y é exponencial do tipo 
 a aplicação do logaritmo decimal a seus membros, resulta na equação:
Onde 
= 0,43429 . O gráfico de 
 contra x na equação 
 resultará numa reta e o valor de c pode ser calculado pela expressão 
Onde as coordenadas (
,
) e (
,
) são lidas diretamente no gráfico. O valor de log k é a interseção da reta com eixos x = 0 e k = 10logk.
O Método dos Mínimos Quadrados
Como já vimos, o processo de medida é constantemente ligado à parte experimental, isso ocorre porque ele constitui uma parte essencial na metodologia científica e também é fundamental para o desenvolvimento e aplicação da própria ciência.
Até agora diante de diversos conceitos temos tentado empregar o valor mais provável de uma grandeza, porém, com o Princípio dos Mínimos Quadrados será permitido, através da sistematizaçãoda teoria de medida, obter bons resultados no ajuste de outras curvas, iremos apresentar este método e seu uso para o ajuste de retas.
Em diversas situações num laboratório nos deparamos com quantidades que se relacionam entre si. Por exemplo, a pressão de uma determinada massa de gás depende da sua temperatura e do seu volume; a distensão de uma mola depende da força aplicada. Deseja-se, frequentemente, expressar essa relação sob forma matemática, por meio de uma equação que ligue as variáveis. Para auxiliar a determinação de uma equação que relacione as variáveis, um primeiro passo consiste em colecionar dados que indiquem os valores correspondentes das variáveis consideradas. Por exemplo, seja x o deslocamento de uma mola causado por uma força aplicada y para os quais temos o conjunto de n medidas:
M = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),…, (xn,yn)}
Em seguida locam-se estes pontos num plano cartesiano. O conjunto de pontos resultante é denominado diagrama de dispersão (Figura).
Neste diagrama é possível, frequentemente, visualizar uma curva regular que se aproxime dos pontos dados. Esta curva é denominada de ajustamento. A questão central para se determinar a equação da curva é encontrar a melhor curva regular de ajuste dos dados. Pode-se usar um critério individual para traçar uma curva de ajustamento que se adapte a um conjunto de dados (este critério você provavelmente já utilizou). Se for conhecido o tipo de equação dessa curva é possível obter suas constantes, mediante a escolha de tantos pontos da curva quantas sejam as constantes da equação. Assim, por exemplo, se a equação é uma reta,
y = a x + b
são necessários dois pontos escolhidos da curva (reta) de ajuste para se determinar a e b. Se a equação é de uma parábola, y = ax + bx + c, serão necessários três pontos. A desvantagem deste método é que observadores diferentes podem obter curvas e equações diferentes, já que a escolha dos pontos é arbitrária. Para evitar o critério individual de curvas de ajustamento que se adaptem a um conjunto de dados, podemos utilizar o Método dos Mínimos Quadrados que, por se tratar de um método analítico, indicará uma, e somente uma curva que melhor representa um determinado conjunto de pontos. 
Limitaremos nosso estudo ao ajuste somente de retas, embora o método possa ser também aplicado a outros tipos de curvas.
Princípio dos Mínimos Quadrados
Uma série de medidas de uma mesma quantidade de física está sujeita apenas a erros aleatórios, e o valor mais provável da quantidade medida é aquele que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
Este princípio pode ser aplicado em várias situações. Como exemplo, vamos utilizá-lo para obter a melhor estimativa (valor mais provável) para uma grandeza medida várias vezes.
Suponha que efetuamos o seguinte conjunto de medidas de uma quantidade física cujo valor verdadeiro é x.
M = 
�� EMBED Equation.3 
Então os erros nas medidas são: 
E a soma dos seus quadrados:
E (x) = 
E (x) = 
O valor verdadeiro, 
, é uma quantidade desconhecida que o experimento visa determinar. Dentre todos os possíveis valores que 
 pode assumir, o Princípio dos Mínimos Quadrados estabelece que a melhor escolha seja a daquele valor que torna E = E (x) um mínimo, ou seja, devemos resolver a seguinte equação para 
.
E (x) = 0
A solução desta equação, a ser denotada por 
, será a melhor escolha para 
. Substituindo (1) em (2) temos:
Então teremos:
 ou
A solução desta equação do 1º grau é 
Esta é média aritmética 
 das medidas. Esta é a quantidade que você usou (intuitivamente) como 
o valor mais provável de uma grandeza. Aqui, este conceito foi deduzido do Princípio dos Mínimos Quadrados.
Dedução das Equações dos Mínimos Quadrados
Em uma experiência na qual se efetuaram N medidas, têm-se um conjunto de N pares ordenados (Xi, Yi), os quais, quando representados graficamente, fornecem uma reta. Deseja-se ajustar estes dados com a equação: y = a + bx, onde os coeficientes a e b devem ser tais que minimizem a diferença entre os valores medidos yi e os correspondentes valores calculados y(xi) dados pela equação acima. Na realidade, deseja-se extrair destes valores mais prováveis para a e b, uma vez que a determinação exata destes não é possível a partir de um número finito de medidas.
É necessário estabelecer um critério para minimizar as diferenças e aperfeiçoar o cálculo dos coeficientes. Os desvios 
 entre cada valor medido e o valor calculado correspondente são
Uma boa escolha dos coeficientes a e b torna estes desvios relativamente pequenos. No entanto, a soma destes desvios não fornece uma boa indicação do quanto os dados se aproximam dos valores calculados a partir da equação da reta, uma vez que grandes desvios positivos podem ser contrabalançados por grandes desvios negativos, fornecendo um valor pequeno para a sua soma, mesmo quando o ajuste é ruim. Poder-se-ia utilizar a soma dos módulos dos 
, mas isto acarretaria dificuldades para uma solução analítica. Sendo assim, serão considerados os quadrados dos desvios.
O método dos mínimos quadrados é um dos métodos possíveis para aperfeiçoar a escolha dos coeficientes, sendo bem aceito experimentalmente.
A probabilidade de se encontrar o conjunto de medidas obtidas para quaisquer valores estimados dos coeficientes a e b pode ser calculada a partir da expressão:
P(a,b) = 
Onde 
 é o desvio padrão para cada medida 
 e onde se assumiu que a distribuição de probabilidade é gaussiana. Nesta expressão, o símbolo 
representa o produto da N probabilidades individuais de se obter cada valor medido 
.
Os melhores valores para os parâmetros a e b da reta são aqueles que maximizam a probabilidade P(a,b), o que é equivalente a minimizar a soma na exponencial desta expressão.
Representado a soma na exponencial por x², tem-se:
O valor mínimo da função acima é encontrado igualando-se a (zero) as derivadas parciais de 
em relação a cada um dos coeficientes:
Assumindo-se o caso particular mais simples, no qual, os desvios padrão são iguais 
, obtêm-se, após algumas manipulações algébricas, as expressões:
Resolvendo para a e b, tem-se:
B=
Ainda resta a questão de se saber se o valor de 
 é mínimo ou máximo para os parâmetros a e b encontrados. Isto pode ser resolvido examinando-se as derivadas segundas de 
 em relação a a e b. Se elas forem positivas, quando os valores de a e b forem nelas substituídos, 
possui um mínimo para esses valores; se negativas, 
 possui um máximo; se nulas, 
 tem um ponto de inflexão que pode ser um mínimo, um máximo ou nenhum deles. Ao se substituir as equações anteriores nas derivadas segundas, encontram-se valores positivos para as mesmas, o que comprova serem estes os valores mais prováveis que ajustam os dados experimentais à equação da reta.
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