AP2-ProbEst-2015-1-gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
2
a
. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2015 
Profa. Keila Mara Cassiano 
 
 (gabarito) 
 
1. (2,0 pontos) Se A e B são eventos independente, Pr(A)=0,80, Pr(B)=0,50, pede-se 
determinar: 
a. (0,6) 
b. (0,7) 
c. (0,7) 
 
Solução: 
a) Se A e B são independentes, então: . 
 
 
b) . 
Outra forma: Como A e B são independentes, então: 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) O chefe do setor de compras de uma empresa trabalha com 3 grandes 
distribuidoras de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 60% dos pedidos, 
o distribuidor 2 é responsável por 25% dos pedidos e o distribuidor 3 responde por 15% dos 
pedidos. Dos registros gerais de compras, sabe-se que 5% dos pedidos chegam atrasados. A 
proporção dos pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 
2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. Calcule a porcentagem de 
pedido com atraso: 
a. (0,6) Do distribuidor 1; 
b. (0,7) Do distribuidor 2; 
c. (0,7) Do distribuidor 3. 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: 
A: a compra foi realizada através do distribuidor 1; 
B: a compra foi realizada através do distribuidor 2; 
C: a compra foi realizada através do distribuidor 3; 
D: O pedido chegou com atraso. 
Estamos interessados em Pr(D|A), Pr(D|B) e Pr(D|C). 
Temos: 
Pr(A)=0,60, Pr(B)=0,25 Pr(C)=0,15, Pr(D)=0,05. 
Mais ainda: 
 e . Logo: 
 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos: 
 
 
 
Colocando todos em função de , temos: 
 
 
 
Substituindo os valores conhecidos, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Dada a figura abaixo, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 4 
k 
x 
 
 
 
a. (0,5) O valor de k para que este seja um gráfico de uma função de densidade ; 
b. (1,0) O valor de x tal que ; 
c. (0,5) 
 
Solução: 
 
a) Para que seja uma função de densidade, é necessário que: 
 1) . Isso ocorre, porque todo o gráfico está acima do eixo x. 
 2) A área abaixo da curva de é igual à 1. Esta área é a área do triângulo cuja base é 
 e altura é . Como a área do triângulo é , então 
. Mas para ser densidade, , 
Logo: 
 
 
 
 
b) A figura abaixo representa a área referente a . 
 
 
 
Novamente, precisamos da área do triângulo, neste caso o hachurado. A altura agora é a função no 
ponto . Para isso, precisamos da equação da reta. Dados os pontos e , existem várias 
formas de encontrar a equação da reta. Uma delas é a resolução do determinante: 
 
Logo: a altura do triangulo no ponto x é ) 
Assim, a área do triangulo é: 
 
 
Como estamos interessados em , então: 
 
 
 
 
 
c) 
 
4 
2/3 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Em determinada máquina ocorrem defeitos cujos tempo de reparo pode durar 1, 
2, 3 ou 4 horas. Levando em consideração que a probabilidade de ocorrência de qualquer um 
dos defeitos é a mesma, determine: 
a. (0,6) A distribuição de probabilidade dos tempos de reparos; 
b. (0,7) O tempo médio de reparo e o desvio padrão deste tempo de reparo; 
c. (0,7) São 15 horas e o expediente do técnico se encerra às 17 horas. Determine a 
probabilidade de que o técnico não precise fazer hora extra para terminar o conserto 
desta máquina. 
 
 
Solução: 
 
a) Seja X a variável aleatória: “tempo de reparo de defeitos da máquina”. 
Os valores que X pode assumir são: 1, 2, 3 ou 4. 
As respectivas probabilidades de X assumir estes valores são as respectivas probabilidades de 
ocorrência dos referidos defeitos. Como estas ocorrências são equiprováveis e a soma das 
probabilidades tem que ser 1, então . 
Assim, a distribuição de probabilidades contendo os valores de X e as suas respectivas 
probabilidades é: 
 1 2 3 4 
 1/4 1/4 1/4 1/4 
 
b) o tempo médio de reparo é a média da variável X. Ou seja: 
 
 
Tempo médio de reparo: 2,5 horas. 
 
c) Se o técnico só tem 2 horas, então queremos saber a probabilidade de o tempo de reparo ser 
menor ou igual à 2 duas horas. 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) O diâmetro X de rolamentos de esferas fabricados por certa fábrica é 
normalmente distribuído com média de 0,614 cm e desvio padrão de 0,0025 cm. O lucro L 
de cada esfera depende de seu diâmetro de tal modo que: L = 0,10, se a esfera é boa, L = 
0,05, se a esfera é recuperável e L = - 0,10, se a esfera é defeituosa. Considera-se boa a 
esfera cujo diâmetro está entre 0,61 cm e 0,618 cm, recuperável se o diâmetro está entre 
0,608 cm e 0,61 cm ou entre 0,618 cm e 0,62 cm e defeituosa, a esfera cujo diâmetro é 
menor que 0,608 cm ou maior que 0,62 cm. 
Considere uma esfera sorteada aleatoriamente. Determine: 
a. (0,5) A probabilidade de ela ser boa; 
b. (0,5) A probabilidade de ela ser recuperável; 
c. (0,5) A probabilidade de ela ser defeituosa; 
d. (0,5) O lucro médio. 
 
Solução: 
 
 
a) 
 
 
 
Pr(boa)=0,8904. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pr(recuperável)=0,0932. 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
Pr(defeituosa)=0,0164. 
 
d) Com as probabilidades encontradas na acima, podemos construir a tabela de distribuição de 
freqüência do lucro: 
 
L 0,10 0,05 -0,10 
p(L) 0,8904 0,0932 0,0164 
 
O lucro médio é dado pela esperança. 
 
 
 
E(L)=0,09206. 
 
 
 
Anexo: 
Parte da tabela de distribuição normal padrão. 
 
 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 
 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
 
 
3,10 ou 
+ 0,4999