Gabarito EP6

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 6 – EP6 
Conteúdo: Aulas 11 e 12 
 
Resolução 
1. A conclusão abaixo está correta? 
O conjunto {(1, 0, 0), (-1, 1, 2), (0, 1, 2)} é linearmente independente pois a 
equação vetorial x(1, 0, 0) +y(-1, 1, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0) admite solução trivial 
(x = y = z = 0). 
Solução. 
A conclusão acima não está correta. Para que um conjunto 
},,,{ 21 nvvv 
seja LI, a 
equação vetorial 
02211  nnvavava 
 deve admitir apenas a solução trivial (
021  naaa 
). 
Veja que a equação acima admite soluções não triviais, por exemplo: 
1(1, 0, 0) +1(-1, 1, 2) + (-1)(0, 1, 2) = (0, 0, 0). 
 
2. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: 
(a) H = {(x, y, x)| x, y 
 
} 
(b) H = {(x, y, z, w) 
 4
| x - 3y + z = 0} 
(c) H = {(x, y, z) 
 3
| x = 3y e z = -y} 
(d) H = {(x, y) 
 2
| x - y = 0} 
(e) H = 
 simétrica.é|22 AMA x
 
Solução. 
(a) Começamos determinando um conjunto de geradores para H: Se (x, y, x) 

 H, 
então (x, y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0). Assim, todo vetor de H é combinação linear 
dos vetores (1, 0, 1) e (0, 1, 0) e, portanto, esses vetores geram H. 
Verificamos agora se o conjunto de geradores é LI: Como esses vetores são LI 
(pois não são múltiplos), o conjunto {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} é uma base de H e dim 
H = 2. 
(b) Se (x, y, z, w) 

 H, então (x, y, z, w) = (x, y, 3y –x, w) = x(1, 0, -1, 0) + y(0, 1, 
3, 0) + w(0, 0, 0, 1). Assim, todo vetor de H é combinação linear dos vetores (1, 
0, -1, 0), (0, 1, 3, 0) e (0, 0, 0, 1) e, portanto, esses vetores geram H. 
Além disso, esses vetores são LI, de fato: dados a, b, c 
 
 tais que 
a (1,0,-1,0) + b(0,1,3,0) + c(0,0,0,1) = (0,0,0,0), teremos a=b=c=0. 
Como esses vetores são LI, o conjunto 
{(1, 0, -1, 0), (0, 1, 3, 0),(0, 0, 0, 1)} é uma base de H e dim H = 3. 
 
Obs: Dependendo das substituições feitas, outras respostas podem ser obtidas. Acima, 
optamos por fazer z = 3y – x. Se escolhêssemos, por exemplo, x=3y – z, outros 
geradores seriam encontrados. 
 
(c) Se (x, y, z) 

 H, então (x, y, z) = (3y, y, -y) = y(3, 1, -1). Assim, todo vetor de H 
é combinação linear do vetor (3, 1, -1), . O conjunto formado por esse vetor é LI 
(por quê?) e, portanto, esse vetor gera H. 
 Logo {(3, 1, -1)} é uma base de H e dim H = 1. 
(d) Se (x, y) 

 H, então (x, y) = (x, x) = x(1, 1). Assim, todo vetor de H é combinação 
linear do vetor (1, 1) e, portanto, esse vetor gera H. 
Como esse vetor é LI (pois todo vetor não nulo é LI), o conjunto {(1, 1)} é 
uma base de H e dim H = 1. 
(e) Seja 
H
dc
ba
A 






, então 
cb 
. Assim, podemos escrever: 

















































10
00
01
10
00
01
0
00
0
0
00
0
cba
cb
ba
cb
ba
dc
ba
A
 
Com isso, mostramos que toda matriz de H pode ser escrita como combinação linear 
das matrizes 






00
01
, 






01
10
 e 






10
00
. Logo estas matrizes geram H. 
Precisamos verificar se os geradores encontrados são LI. Considerando uma 
combinação linear destes geradores igual a matriz nula, temos: 
.0
00
00
00
00
10
00
01
10
00
01




































cba
cb
ba
cba
 
Logo, os geradores encontrados são LI e o conjunto 
























10
00
,
01
10
,
00
01 é 
uma base para H. A dimensão de H é 3. 
 
3. Encontre a dimensão do espaço gerado por: 
(a) (1, -2, 3, -1) e (1, 1, -2, 3) 
(b) 3 e -3 
(c) t3 -2t2 + 5 e t2 + 3t -4 
Solução. 
Dois vetores não nulos geram um espaço de dimensão 2 se eles são linearmente 
independentes e de dimensão 1 se são linearmente dependentes. Lembre que dois 
vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um é múltiplo do outro. 
Veja o exemplo 3 da aula 11. 
(a) 2 
(b) 1 (veja que, nesse caso, o espaço gerado é 

) 
(c) 2 
 
4. Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. 
 
(a) {(x, y, z) 3 | x  y  z} é um subespaço vetorial de 3 . 
(b) [(2, -2), (-1, 2), (-1, 1)] = 2 
(c) {(1, 0, 0), (-1, 1, 2), (0, 1, 2)} é uma base do 3 . 
(d) Todo conjunto com 5 vetores em 
4
 gera 
4
. 
(e) Dados V espaço vetorial e u,v

V, se [u]=[v] (o espaço gerado pelo vetor 
u é igual ao espaço gerado pelo vetor v), então u=v. 
 
 Solução. 
(a) Falso. Por exemplo, (1, 1, 2) 

 W={(x, y, z) 3 | x  y  z}. Tomando 

 = -
1, temos -1(1, 1, 2) 

W. 
(b) Verdadeiro. [(2, -2), (-1, 2), (-1, 1)] = [(2, -2), (-1, 2)], já que 
(2,-2) = -2(-1, 1). Além disso, o conjunto {(2, -2), (-1, 2)} é LI. 
(c) Falso. Este conjunto é LD, pois (0, 1, 2) = (1, 0, 0) + (-1, 1, 2). 
(d) Falso, podemos ter um conjunto como {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(2,0,0,0), 
(0,3,0,0),(3,4,0,0)} com 5 vetores que geram um subespaço de dimensão 2 em 
4
(verifique!). 
(e) Falso. Contra-exemplo: seja V = 2 e (1,2), (-1,-2) 2 . Como (-1,-2) = (-1). 
(1,2), então [(-1,-2)] = [(1,2)]; no entanto, (1,2) 

 (-1,-2). 
 
5. Complete as lacunas: 
i. Seja 
7S
 um conjunto1 LI. 
a. 
S
 possui no máximo (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores. 
b. Retirando de 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que é LI (é LI, é LD, 
pode ser LD). 
c. Acrescentando a 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que pode ser LD 
(é LI, é LD, pode ser LD). 
d. O vetor 0 não pertence (pertence, não pertence, pode pertencer) a 
S
. 
 
ii. Seja 
7S
 um conjunto gerador. 
a. 
S
 possui no mínimo (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores. 
b. Retirando de 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que pode ser gerador 
(é gerador, não é gerador, pode ser gerador). 
c. Acrescentando a 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que é gerador (é 
gerador, não é gerador, pode ser gerador). 
d. O vetor 0 pode pertencer (pertence, não pertence, pode pertencer) a 
S
. 
 
 
 
iii. Seja 
7S
 uma conjunto Base de 
7
. 
a. 
S
 possui exatamente (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores. 
b. Retirando de 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que não é gerador (é 
gerador, não é gerador, pode ser gerador). 
c. Acrescentando a 
S
 um vetor, obteremos um conjunto que é gerador (é 
gerador, não é gerador, pode ser gerador). 
d. O vetor 0 não pertence (pertence, não pertence, pode pertencer) a 
S
. 
 
6. 
a) Determine o espaço S gerado pelos vetores 
1v
= (1,1,2), 
2v
 = (3,0,3) e 
3v
= (1,4,5) de 
3
. 
b) Determine uma base B para S. 
c) Dê um exemplo de um vetor de S e escreva esse vetor como combinação linear dos 
vetores de B. 
d) Estenda B para uma base de 
3
. 
 
Solução: 
a) Seja (x,y,z) pertencente ao espaço gerado pelos vetores dados, então existem escalares 
a, b e c tais que: 
(x,y,z) = a (1,1,2) + b (3,0,3) + c (1,4,5) 
 
A equação vetorial acima leva ao sistema 








zcba
yca
xcba
532
4
3
, em que as variáveis são a, 
b e c. 
Abaixo apresentamos a matriz inicial e a matriz final do escalonamento: 





















zyx
xy
x
z
y
x
000
330
131
532
401
131
 
Assim, para que o sistema seja possível, devemos ter –x-y+z = 0, logo, o espaço gerado 
pelos vetores dados é o plano de equação –x-y+z = 0, em notação matemática: 
S = [(1,1,2), (3,0,3), (1,4,5)] = {(x,y,z) 
3
| -x-y+z=0}. 
 
b) A dimensão de um plano em 
3
 é 2 (justifique!), assim precisamos de dois vetores 
LI para compor uma base de S. Podemos considerar os vetores (1,1,2) e (3,0,3) qua são 
LI (pois não são múltiplos). Logo o conjunto 
B={(1,1,2), (3,0,3)} é uma base de S. 
 
Obs: 
 Poderíamos ter resolvido como foi feito no exercício 1. 
 Poderíamos ter tomado quaisquer outros dois vetores (LI) cujas entradas (ou 
componentes) satisfazem a equação do plano. 
 Procure entender a diferença entre os dois conjuntos [(1,1,2), (3,0,3)] e {(1,1,2), 
(3,0,3)}. 
 
c) O vetor (1,4,5) pertence a S (pois -1 -4 +5 = 0). Sejam a e b escalares tais que (1,4,5) 
= a. (1,1,2) + b (3,0,3). 
 A equação vetorial acima leva ao sistema 








532
4
13
ba
a
ba
, cuja única solução é 
a = 4 e b = -1. 
Logo, (1,4,5) = 4. (1,1,2) + (-1) (3,0,3). 
 
d) Para estender B a uma base de 
3
, precisamos determinar um vetor v=(x,y,z) tal que 
o conjunto {(1,1,2), (3,0,3),v} seja LI. 
Os vetores desse conjunto serão LI se o determinante da matriz formada por eles 
(escrevendo-os como linhas ou como colunas) for diferente de zero: 
 
0303
211

zyx
  3x + 6y – 3y – 3z ≠ 0  3x +3y – 3z ≠ 0  - x – y + z ≠ 0. 
Veja que a última desigualdade nos diz que o vetor v não pode pertencer ao plano 
gerado pelos dois primeiros vetores. Assim, podemos escolher v = (1,1,1). 
Logo, {(1,1,2), (3,0,3), (1,1,1)} é uma base de 
3
. 
 
7. Considerando a base 
      1,0,2,0,1,1,0,0,1A
 de 
3
, determine: 
a) As coordenadas de 
 4,1,2 v
 em relação à base A. 
b) O vetor u, sabendo que 












2
3
2
][ Au
. 
Solução. 
a) Sejam 
cba ,,
 tais que 
)1,0,2()0,1,1()0,0,1()4,1,2( cba 
. Essa igualdade 
resulta no sistema 








4
1
22
c
b
cba
 cuja solução é 
1,5  ba
 e 
4c
. Assim, 













4
1
5
][ Av
. 
b) Neste item, foram dadas as coordenadas de u em relação à base A. Assim, 
u = 2.(1,0,0) + 3.(1,1,0) + (-2).(2,0,1) = (1,3,-2).