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Lista de Exerc´ıcios 6
1. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule:
(a) f ′(1)
(b) f ′(0)
(c) f ′(x)
2. Seja f(x) = 2x. Pensando geometricamente,
qual o valor que voceˆ espera para f ′(a)? Ca´lcule
f ′(a).
3. Calcule f ′(a), pela definic¸a˜o, sendo daos
(a) f(x) = x2 + x e a = 1
(b) f(x) =
√
x e a = 4
(c) f(x) = 5x− 3 e a = −3
(d) f(x) = 1
x
e a = 1
(e) f(x) = 2x3 − x2 e a = 1
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao grafico
de f de abscissa indicado.
(a) f(x) = x2 e a = 2
(b) f(x) = 1
x
e a = 2
(c) f(x) =
√
x e a = 9
(d) f(x) = x2 − x e a = 1
(e) f(x) =
√
x− 3 e a = 7
5. Calcule f ′(x), pela definic¸a˜o.
(a) f(x) = 15
(b) f(x) = x2 + x
(c) f(x) = 3x− 1
(d) f(x) = x3
(e) f(x) = 1
x
6. Seja
f(x) = |x− 3|, x ∈ R.
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Mostre que f na˜o e´ deriva´vel em 3.
7. Seja
f(x) =
{
2x+ 1 se x < 1,
−x+ 4 se x ≥ 1
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Mostre que f na˜o e´ deriva´vel em c = 1.
8. Seja
g(x) =
{
x2 + 2 se x < 1,
2x+ 1 se x ≥ 1
(a) Esboce o grafico de g.
(b) Mostre que g e´ derivavel em p = 1 e calcule
g′(1).
9. Calcule g′(x) sendo g dado por
(a) g(x) = x6
(b) g(x) = x100
(c) g(x) = 1
x
(d) g(x) = x−7
(e) g(x) = 1
x3
10. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de f(x) = 1
x
no ponto de abscissa 2. Esboce o
gra´ficos de f e da reta tangente.
11. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de f(x) = 1
x2
no ponto de abscissa 1. Esboce o
gra´ficos de f e da reta tangente.
12. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g(x) = 4
√
x
(b) g(x) = 6
√
x
(c) g(x) = 8
√
x
(d) g(x) = 9
√
x
(e) g(x) = 14√x
13. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de f(x) = ex no ponto de abscissa 0. Esboce os
gra´ficos de f e da reta tangente.
14. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de f(x) = lnx no ponto de abscissa 1. Esboce
os gra´ficos de f e da reta tangente.
15. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 e´ um real
dado. Mostre que
f ′(x) = ax ln a.
16. Dados f(x), calcule f ′(x).
(a) f(x) = ex
(b) f(x) = 2x
(c) f(x) = 5x
(d) f(x) = pix
1
(e) f(x) = 7x
17. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1 e´ con-
stante. Mostre que
g′(x) =
1
x ln a
.
18. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g′(x) = log3 x
(b) g′(x) = log5 x
(c) g′(x) = logpi x
(d) g′(x) = lnx
(e) g′(x) = log7 x
19. Seja
f(x) =
{
x+ 1 se x < 2,
1 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em 2? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 2? Por queˆ?
20. Seja
f(x) =
{
x2 se x < 2,
−x2 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em 0? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 0? Por queˆ?
21. Seja
f(x) =
{ −x+ 3 se x < 3,
x− 3 se x ≥ 3
(a) f e´ cont´ınua em 3? Por queˆ?
(b) f e´ diferencia´vel em 3? Por queˆ?
Respostas
1. (a) 2
(b) 0
(c) 2x
2. 2
3. (a) 3
(b) 1
4
(c) 5
(d) −1
(e) 4
4. (a) y = 4x− 4
(b) y = − 1
4
x+ 1
(c) x− 6y + 9 = 0
(d) y = x− 1
(e) y − 2 = 1
4
(x− 7)
5. (a) f ′(x) = 0
(b) f ′(x) = 2x+ 1
(c) f ′(x) = 3
(d) f ′(x) = 3x2
(e) f ′(x) = − 1
x
2
6.
7.
8.
9. (a) g′(x) = 6x5
(b) g′(x) = 100x99
(c) g′(x) = − 1
x
2
(d) g′(x) = −7x−8
(e) g′(x) = − 3
x
4
10. y = − 1
4
x+ 1
11. y = −2x+ 3
12. (a) 1
4
4
√
x
3
(b) 1
6
6
√
x
5
(c) 1
7
8
√
x
7
(d) 1
9
9
√
x
8
(e) − 1
4
4
√
x
5
13. y = x+ 1
14. y = x− 1
15.
16. (a) f ′(x) = ex
(b) f ′(x) = 2x ln 2
(c) f ′(x) = 5x ln 5
(d) f ′(x) = pix lnpi
(e) f ′(x) = 7 ln 7
17.
18. (a) g′(x) = 1
x ln 3
(b) g′(x) = 1
x ln 5
(c) g′(x) = 1
x lnpi
(d) g′(x) = 1
x
(e) g′(x) = 1
x ln 7
19.
20.
21.
2