AP1_GP_1_2015_gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Os aˆngulos de um triaˆngulo ABC esta˜o em ordem de grandeza crescente.
Sabendo que a diferenc¸a entre o segundo e o primeiro e´ igual a` diferenc¸a entre o terceiro e o segundo e,
ainda que, o menor vale
2
3
do maior, determine os aˆngulos desse triaˆngulo. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Denote BÂC = a, AB̂C = b e AĈB = c. Do enunciado temos que a ordem de grandeza dos
aˆngulos e´ crescente, enta˜o considere a < b < c. Ainda conforme enunciado, temos:
i) a diferenc¸a entre o segundo e o primeiro e´ igual a` diferenc¸a entre o terceiro e o segundo, enta˜o
b− a = c− b ⇒ 2b = a+ c (1)
ii) o menor vale
2
3
do maior, enta˜o
a =
2c
3
(2)
Da soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo temos
a+ b+ c = 180◦ (3)
Substituindo (1) em (3) temos
b+ 2b = 180◦ ⇒ b = 180
◦
3
= 60◦ (4)
De (1), (2) e (4) temos
a+ c = 120◦ ⇒ 2c
3
+ c = 120◦ ⇒ 5c
3
= 120◦ ⇒ c = 3 · 120
◦
5
= 3 · 24◦ = 72◦
Portanto a =
2c
3
=
2 · 72◦
3
= 2 · 24◦ = 48◦, b = 60◦ e c = 72◦.
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Na figura, AB e´ um diaˆmetro, a corda AM e´ o lado de um triaˆngulo equila´tero
inscrito e BN o lado do quadrado inscrito. Calcule a medida do aˆngulo α. Justifique suas respostas.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Soluc¸a˜o 1: Observe que
_
BN= 90◦, pois BN e´ lado do quadrado.
_
AM= 120◦, pois AM e´ o lado
de um triaˆngulo equila´tero. Como AB e´ diaˆmetro, enta˜o
_
AN= 180◦−
_
BN= 180◦ − 90◦ = 90◦.
E
_
BM= 180◦−
_
AM= 180◦ − 120◦ = 60◦. Da´ı
α =
_
NAM −
_
MBN
2
=
(120◦ + 90◦)− (90◦ + 60◦)
2
=
210◦ − 150◦
2
=
60◦
2
= 30◦.
Soluc¸a˜o 2:
Observe que podemos usar que OM̂P = ON̂P = 90◦ pois as semirretas PN e PM sa˜o tangentes
a circunfereˆncia. Portanto basta calcular o aˆngulo NÔM . Como BN e AM sa˜o, respectivamente,
os lados do quadrado e do triaˆngulo inscritos na circunfereˆncia, temos que
NÔB =
_
BN= 90◦ e MÔB = 180◦−
_
AM= 180◦ − 120◦ = 60◦
Do quadrila´tero PMON vem que α +NÔM = 180◦ ⇒ α = 180◦ − (90◦ + 60◦) = 30◦.
Questa˜o 3 [2,0 pt]: Em um trape´zio iso´sceles ABCD, as bissetrizes dos aˆngulos da base CD
formam um aˆngulo que mede 100◦. Calcule o valor das medidas dos aˆngulos do trape´zio.
Soluc¸a˜o:
Seja o trape´zio iso´sceles ABCD de bases AB e CD, trace as bissetrizes DE e CE, onde E e´ o
ponto de encontro dessas bissetrizes.
Temos que Ĉ = D̂, pois o trape´zio ABCD e´ iso´sceles.
Denote ED̂A = a, enta˜o ED̂A = ED̂C = EĈB = EĈD = a, e
100 + a+ a = 180◦ ⇒ 2a = 180◦ − 100◦ ⇒ a = 80
◦
2
= 40◦.
Logo Ĉ = D̂ = 2a = 80◦ e  = B̂ = 180◦ − 80◦ = 100◦.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Considere dois hexa´gonos regulares congruentes, ABCDEF e AHIJKL,
conforme as figuras.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
a) (0,7) Utilizando a Figura 1, justifique por que x = 90◦.
b) (0,8) Utilizando a Figura 1, calcule o valor de y. Justifique suas respostas.
c) (1,0) Utilizando a Figura 2, calcule o valor de z = m(AD̂J). Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
a) O aˆngulo interno do hexa´gono regular e´ Ai =
180◦(6− 2)
6
=
180◦ · 4
6
=
180◦ · 2
3
= 120◦, mas
LÂH = Ai = 30
◦ + x ⇒ x = Ai − 30◦ = 120◦ − 30◦ = 90◦.
b) Na figura observe o hexa´gono ABCMKL, que na˜o e´ regular.
Os aˆngulos B̂, Ĉ, K̂ e L̂ sa˜o aˆngulos internos de hexa´gonos regulares.
Como a soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono de n lados e´
Si = 180
◦(n− 2), enta˜o a soma dos aˆngulos internos de
ABCMKL e´: Si = 180
◦(6− 2) = 180◦ · 4 = 720◦. Logo
x+ 4 · Ai + y = 720◦ ⇒ 90◦ + 4 · 120◦ + y = 720◦ ⇒ y = 720◦ − 480◦ − 90◦ = 150◦
c) Como os hexa´gonos regulares sa˜o congruentes, enta˜o AD = AJ .
Logo o triaˆngulo ADJ e´ iso´sceles. Ale´m disso, AD e AJ sa˜o bissetrizes,
respectivamente, de FÂB e LÂH, enta˜o JÂH = 60◦,
Ou seja, JÂH = JÂB + 30◦ ⇒ JÂB = 30◦.
De maneira ana´loga LÂD = 30◦.
De a) vem LÂB = 90◦ = LÂD +DÂJ + JÂB. Portanto DÂJ = 30◦.
Assim o valor pedido e´ z = m(AD̂J) =
180◦ − 30◦
2
= 75◦.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 4
Questa˜o5 [1,5 pts]: Na figura a seguir temos o segmento AD que e´ congruente a CD e AB que
e´ congruente a BC. Mostre que DÂB = DĈB, justificando todas as suas respostas.
Soluc¸a˜o: Seja a figura dada, tal que AD ≡ CD e AB ≡ BC.
Da´ı ∆ABD ≡ ∆CBD, pois
AD ≡ CD
AB ≡ BC
BD comum
pelo crite´rio LLL, enta˜o DB ≡ DB. Logo os aˆngulos opostos ao lado DB sa˜o congruentes.
Ou seja, DÂB = DĈB.
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