Matematica-A01

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO Série MatemáticaENSINO MÉDIO MATEMÁ TICA SÉRIE AULA 1 GEOMETRIA ANALÍTICA SISTEMA DE EIXOS CARTESIANOS Um plano é chamado PLANO CARTESIANO quando contém um sistema de eixos cartesianos X o y, isto é, dois eixos X e y que se interceptam num ponto O. Quando os eixos X e y são perpendiculares entre si, o sistema é chamado sistema cartesiano normal ou perpendicular. A figura abaixo representa um sistema cartesiano normal. y 0 X Cada ponto dos eixos e y representa um número real. Como uma reta possui infinitos pontos, para fins de estu- do, marcamos apenas os valores inteiros na graduação dos eixos, conforme figura abaixo. y 5 4 3 2 1 - -4-3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 X 1 2 3 4 5 sistema de eixos X e y divide o plano cartesiano em quatro regiões distintas, chamadas quadrantes: y 2° Quadrante 1° Quadrante 3° Quadrante QuadrantePONTO A cada ponto de um plano cartesiano associa-se um par ordenado (x,y), onde: { y são as coordenadas do ponto. é chamado abscissa do ponto. y é chamado ordenada do ponto. y P P é o ponto (Xp , yp) são as coorde- nadas de P 0 Xp X abscissa de P ordenada de P 1° Exemplo Daremos as coordenadas dos pontos marcados no plano cartesiano abaixo. y Respostas: C A A (2,3) 3 B (3,2) G (0,4) 2 B 1 H J F -3 -2-1 0 1 2 3 4 5 X 1 -2 E D -3 2° Exemplo Marcaremos no sistema cartesiano os seguintes pontos: ; E(4,0). y 4 D A 3 2 B 1 0 E 4 3 2 1 2 3 4 5 X - -2 C -3 -4 Observações: 1) o nome plano cartesiano é dado em homenagem ao matemático e filósofo francês chamado René Descartes. 2) No sistema de eixos cartesianos, o eixo X, chamado eixo das abscissas é sempre o eixo horizontal. o eixo y, chamado eixo das ordenadas, é o eixo vertical.3) Nas coordenadas de um ponto dado por um par ordenado, o primeiro valor é o da abscissa X, o 2° valor é o da ordenada y. 4) Um ponto localizado no eixo X (das abscissas) é Veja que a ordenada y é nula, isto é, igual a zero. 5) Um ponto localizado no eixo y (das ordenadas) é do tipo (0, y). Veja que a abscissa X é nula, isto é, igual a zero. 6) o ponto de intersecção dos eixos X e y é o ponto de coordenadas (0 0), chamado origem do sistema. Distância entre dois pontos Dados dois pontos distintos A e B pertencentes a um plano cartesiano, a distância entre eles é igual a medida do segmento de reta AB. Sendo A a distância dAB entre os pontos A e B, dada pela fórmula: Veja o porquê analisando a figura abaixo: y B Observe que o A ABC é A retângulo, onde: d é a medida da hipotenusa - X1) é a medida de um cateto A C - é a medida de outro cateto # Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 0 = cat2 + cat2 X1 X2 X Portanto - 1° Exemplo Calcularemos a distância entre os pontos A (1 , 3) e B(4,7) Resolução: A (1, 3) B(4,7) X2 Aplicando a fórmula, temos: = = Ilustração Observe no gráfico seguinte os pontos A e B marcados e a distância entre eles.y 7 B 6 " 5 4 3 A 2 1 1 0 1 2 3 4 5 2° Exemplo Calcularemos a distância entre os pontos E e F marcados na figura abaixo. Resolução: Na figura, temos: y F (4,3) 4 3 F 2 1 Aplicando a fórmula: 0 1 2 3 4 - E 1 -2 = = 65 Ponto Médio de um Segmento Vamos considerar um segmento de reta cujas extremidades são os pontos A e o ponto médio do segmento AB é o ponto M que o divide em dois segmentos congruentes, isto é, de mesma medida. y B = M é ponto médio M As coordenadas XM e do ponto médio M são dadas por: A + X1 e 2 2 X1 XM X2 X M + X1 , + 2 2 Exemplo Dado os pontos A (3 2) e B 4), obtenha o ponto médio do segmento AB.Resolução: A (3,2) B(5,4) M 2 2 M 5+3 2 2 ) M 2 8 2 6 ) Portanto o ponto médio é EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Represente no plano cartesiano abaixo, os seguintes b) ao 3° Quadrante. pontos: c) (X) ao eixo das abscissas. d) ao eixo das ordenadas. A B (-1 Comentário: Quando um ponto tem ordenada nula, ele localiza-se no eixo das abscissas. 3. Dados os pontos: y 6 Assinale a alternativa que contém os pontos que se B 5 localizam no 1° e 4° Quadrantes, respectivamente. 4 3 a) ( ) 2 C A b) (X) DeB 1 F c) ( ) 0 H -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 X d) ( ) A e 1 E Comentário: ponto D (1,5) localiza-se no 1° Quadrante -3 e o ponto B (5,-1) localiza-se no Quadrante. Portanto, D -4 os pontos D e B localizam-se, respectivamente, no 1° e Quadrantes. 4. Calcule a distância entre os pontos A (1 4) e B (4, 8) Comentários: A 5 do C 5 Resolução: equivale a 2 = 2,5 que é o ponto A(1,4) e B(4,8) médio entre as ordenadas 2 e 3. Da mesma que é a ordenada do ponto D - 2 equivale 7 = = que é o ponto médio entre as ordenadas = = 2. ponto P (- 5, 0) pertence = 5 a) ( ) ao 2° Quadrante.5. Calcule a distância da origem ao ponto P (-1,8) Como temos Comentário: Origem é o ponto (0,0) V = P (-1,8) (Elevando-se ao quadrado ambos os membros, os radicais são X1 X2 eliminados) = 9 dop = - 4y = 32 6. A distância entre os pontos P (- 3) e Q (5,2) é y=8 a) (X) /37 b) ( ) V 11 Como consideramos o ponto P (0, y) e y = 8, então c) ( ) V 27 temos P Portanto o ponto d) ( ) V 26 8. perímetro do triângulo cujos vértices são A 2), Resolução: B (-1 3) e C (3, 6) é igual a (-1,3) Q a) ( ) b) ( ) X1 c) (X) 10 d) ( ) 5+V2 Comentário: Perímetro de uma figura é a soma das medidas dos lados. Então o perímetro do triângulo ABC é 7. Determine um ponto P do eixo das ordenadas que é eqüidistantes dos pontos A (0 e B (4 5). Resolução: Comentário: Um ponto do eixo das ordenadas é do tipo Calculando temos: (0 , y), então vamos considerar o ponto P como Sendo P eqüidistante de A e B, então temos A e B (-1 3) X1 Resolução: P A X1 X1 5Como o perímetro do AABC a) ( ) (2 b) ( ) então temos: Resolução: Na questão temos: Portanto a alternativa é a correta. 9. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmen- Consideramos B pois não sabemos suas to AB cujas extremidades são A (1 , 2) e B (7,-6). coordenadas, as quais Resolução: têm que ser calculadas. A (1,2) e B(7,-6) Sendo M (3, 5) o ponto médio do segmento AB. Então, X2 Temos (-1,6) Sabemos que as coordenadas do ponto médio M são e dadas por 2 e Então: = 2 y+6=5.2 x-1=3.2 y+6=10 Portanto o ponto médio y=10-6 y=4 10. ponto M (3 , 5) é ponto médio do segmento AB onde o ponto A é A (-1 6). Então o ponto B é represen- Como as coordenadas do ponto B são então o tado pelo par ordenado ponto B y) é representado pelo par ordenado 4). EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Calcule a distância (dAB) entre os pontos A e B repre- b) y sentados em cada gráfico A 2 a) 1 y 0 1 2 3 4 5 X 1 A 3 -2 B 2 B 1 0 1 2 3 4 5 6 X 2. Calcular o perímetro do triângulo cujos vértices são A3. Calcule X, sabendo que a distância entre A (x, 2) e 5. valor de X para que o ponto 1) seja o ponto 4. ponto médio do segmento AB onde A 1) e médio do segmento AB onde A (-4, 2) e B b) ( ) c) ( ) M (4,3) CHAVE DE RESPOSTAS 1. b) y a) A y 2 1 A 3 0 1 2 3 4 5 2 B 1 -2 B 0 1 2 3 4 5 6 Comentário: ponto A tem coordenadas (2 3) e o Comentário: Os pontos A e B têm coordenadas A (0, 2) ponto B tem coordenadas (6 , 1). Essas coordenadas estão indicadas no gráfico pelas linhas tracejadas. Então a distância entre A e B será A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é 32 2 16 2 8 2 Então 4 2 2 2 (2,3) e (6,1) 25 X1 Substituindo esses valores na fórmula, temos: 2. Calcular o perímetro do triângulo cujos vértices são = 20 2 A -1), B (2 , 3) e C 10 2 = 5 5 1 = Comentário: triângulo ABC tem os lados AB, BC e AC. o perímetro p desse triângulo é então med (AB) + med (BC) + med (AC) ou sejaCálculo de 4. o ponto médio do segmento AB onde A (3,1) e = Resolução: o ponto médio M de um segmento AB é dado por: B(2,3)eC(5,4) Temos A (3 1) e então M 2 Cálculo Portanto a alternativa b é a correta. = V 25 + 25 = 5. valor de para que o ponto M (x 1) seja ponto médio do segmento AB onde A 2) e B é Como o perímetro p é dado por p = então a) Comentário: Vamos calcular ponto médio M do seg- mento AB e compará-lo com M (x 1). obtendo assim o valor de X. 3. Resolução: Resolução: M + como M 2 Elevando os dois membros ao quadrado: Como temos Portanto a alternativa a é a correta.