Matematica-A01

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO Série MatemáticaENSINO MÉDIO MATEMÁ TICA SÉRIE AULA 1 PROGRESSÕES Progressões são sucessões ou de números. Nas próximas aulas você estudará as Progressões Aritméticas e as Progressões Geométricas. Progressões Aritméticas Indicaremos por P.A. Progressões Geométricas Indicaremos por P.G. PROGRESSÃO ARITMÉTICA Observe a seguinte sucessão de números, dada como exemplo: ( 3, 7, 11, 15, 19, 23 ...) Verifica-se que é uma sucessão de números em que a diferença, entre um termo (a partir do 7) e seu antecessor é um valor constante igual a 4, pois: : 11 : 15 11 ==4... Nesse caso, dizemos que o valor 4 é a razão dessa sucessão a qual chamamos de Progressão Aritmética. Então: P.A. ( 3, 7. 15, 19, 23, 27 ...) é uma Progressão Aritmética de razão onde: = 3 = primeiro termo) = segundo termo) (a3 = terceiro termo) an = um termo qualquer Notação de uma P.A. Indica-se, de maneira genérica, uma P.A., da seguinte forma: ...) onde: r = r = r ... Exemplos de P.A. P.A. (1, 7. 13, 19, 25...) r=6P.A. 10, 7, 4, 1, - 2 ...) r=7 - 10 P.A. 5 , 2 5 4 2 r = 1 Observações Na P.A. 7, 13, 19...) os termos estão em ordem crescente e a razão é positiva. Essa P.A. é um exemplo de, Progressão aritmética crescente. (Repare que se a razão for positiva a P.A. será crescente). > 0 P.A. é crescente Na P.A. ( 10, termos estão em ordem decrescente e a razão é negativa. Essa P.A. é um exemplo de Progressão aritmética decrescente. (Repare que se a razão for negativa a P.A. será decrescente). r V 0 P.A. é decrescente De modo geral, Progressão Aritmética é uma sucessão de números onde a diferença entre um termo e seu antecessor é um valor constante, isto é, sempre o mesmo. Chamamos esse valor constante de razão da P.A. NOTA: Indica-se a razão da P.A. por r é igual a diferença entre um termo e o seu antecessor. EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Determine o valor da razão das seguintes pro- gressões aritméticas: d) P.A. 2 5 5 a) P.A. 5 r = 7 3 r = Comentário: Você poderia encontrar o mesmo resulta- 5 5 do 2. Identifique as sucessões que são P.A., marcando (X) b) - nos itens. a) (X) 7, 12, 17 ...) b) 3, 6, 9, 18 ...) c) (X) ( 20, 15, 10, 5, 0 ...) ou Comentário: a seqüência do item b não é P.A. pois: 1 r=1 (-5) r=6 (As diferenças não r = 6 são constantes).FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. Observe a seguinte P.A. dada como exemplo: ...) onde e r=3 = 5 3 Verifica-se, que não só no exemplo dado, mas em qualquer P.A.: r . r r . an = termo qualquer Esta é fórmula do termo geral de uma P.A. EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Determine o décimo termo da P.A. (3, 10, 17, 24 ...) OU: P.A. (3, 10, 17, 24 ...) Resolução: P.A. (3, 10, 17, 24 ...) a4 = 24 (Lembrando que a4 = quarto termo) r=7 Lembrando que r = - r = 10 - 3 = 7 = = * Observamos então que para determinar um termo qual- quer não é necessário obtê-lo a partir do 1° termo = 66 Dessa forma: Observações: uso da fórmula do termo geral pode Sendo an = termo qualquer (termo geral) ser sistematizada e aplicada de maneira direta: ax = termo qualquer No exercício 1: Então: P.A. (3,10,17,24...) Exemplos: a) = 66 b) .Cálculo de c) d) { ag = 6 e) 2. Determine o 31° termo da P.A. (-7,3,13 ...) 5. Escreva uma P.A. em que o terceiro termo é 10 e a Resolução: razão é-7. - (Escreva a P.A. até o 5° termo) { = Resolução: P.A. ...) 10 = 17 = 293 3. Assinale a alternativa correta. valor de termo da P.A. ( 13, 21, X, 37 ...) é: b) a4 = ? c) (X) 29 = d) ( ) 32 Resolução: r=8 Portanto P.A. NOTA: termos dessa P.A. podem ser calculados de outra forma. Veja: 4. Numa P.A. o vigésimo termo é 54 e o oitavo termo é 6. Calcule a razão e o r = 10 Comentário: Foram dados os valores de Sabe-se Resolução: - 7 ag 54 7 a4 = 3 48 Já encontramos r=4. Portanto P.A. (24, 17, 10, 3, 4...)PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.A. Um termo qualquer, a partir do segundo, é igual à metade da soma de dois termos a ele eqüidistantes. Observação: Metade da soma de dois números é a média aritmética entre Então: a5, ... ) + = 2 a4, a5 ) 2 2 + a4 + = = P.A. a5, ) 2 + a5 , a4 = a6 a4 = + 2 E assim por diante ... Exemplo P.A. (2,5,(8),11, 14 ...) 5+11 2 2 2 + 2 14 Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma destes. 1° Exemplo P.A. ( 5 , 7,9,11,13, 15 ) Extremo Extremo (5, 7, 9, 11, 13, 15) 9 7 + 13 = 20 5 + 15 = 20 Observa-se que nesta P.A., a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é sempre igual a 20.EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Os elementos 5, X e 31 são três termos seqüentes de Percebe-se que 1 e 25 são dois termos do uma P.A. Calcule X. daí: Resolução: P.A. (5, X, 31 ...) + 2 + 2 36 2 X = 5 31 = 18 Resolução: a4 = ? 2. Calcule o 4° termo de uma P.A., sabendo-se que o 1° = 1 a4 = termo é 1 e o 7° termo é 25. 2 = 25 Comentário: Pode-se esquematizar a P.A. dada, assim: 1 + 25 a4 = 2 P.A. (1, a4 a5, 25 ...) 26 a4 = 13 2 OUTRA NOTAÇÃO DOS TERMOS DE UMA P.A. Considerando-se que é um termo qualquer de uma P.A., o seu sucessor e o seu antecessor é onde r é a razão da P.A. Dessa forma: são três termos seqüentes de uma P.A. Da mesma forma, para representar cinco termos seqüentes de uma P.A., faz-se: Exemplos (Aplicação da notação dada) Determinaremos três termos seqüentes de uma P.A., sabendo-se que a soma deles é 12 e o produto 28. Resolução: Sejam a, b e c os termos seqüentes. P.A. (a,b,c) , . b . C = 28 Fazendo a b. C igual a - X + tem-se: a + b + = 12 X 12 + X + = 12 3x = 12 12 x = 4 3mas = Agora tem-se x = 4 e r P.A. (a,b,c) P.A. P.A. (1,4,7) para P.A. P.A. P.A. (4+3),4,(4-3)) P.A. (7,4,1) EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Marque (X) nas alternativas em que a seqüência de 5. Determinar a posição do número 148 na P.A. (1,4,7...) números é uma P.A. 6. Assinale a alternativa correta. a) ( ) (3, 9, 15, 21, 27 ...) Os valores x, y e Z da P.A. ( 7, y, 15, ) b) ( ) (4, 10, 15, 19, 23 ...) São respectivamente: c) ( ) 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...) d) ( ) a) 6, 9, 17 e) ( ) 2, 5, 9, 13 ...) b) ( ) 3, 7, 19 c) 3,11,19 2. Determine o valor da razão da P.A. (-5,5,15 ...) d) ( ) 4, 9, 3. Calcular os valores da (2, 6, 10, X, 18, 30) 7. Determine três termos seqüentes de uma P.A. cres- cente, sabendo-se que a soma deles é 18 e o produto 4. Calcule o centésimo primeiro termo da P.A. 120.CHAVE DE RESPOSTAS 1. Marque (X) nas alternativas em que a seqüência de 2. Determine o valor da razão da P.A. ( 5, 5, 15 ...) números é uma P.A. a) (X) (3, 9, 15, 21, 27 ...) b) ...) c) (X) ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...) r=5+5 d) ou e) ( ...) Comentário: Toda P.A. tem uma razão r constante. Verificando: 3. Calcular os valores e y da P.A. 6, 10, X, 18, 22, y, 30 ) As diferenças são iguais. Resolução: ( 6, 10, X , 18, 22, y Portanto a seqüência é uma P.A. 21 - 15 = 6 de razão r = 6. 27 - 21 = 6 10 + 18 22 + 30 y = 2 2 28 b) (4, 10, 15, 19, 23 ...) 2 As diferenças não são iguais: Portanto a seqüência não é uma P.A. 4. Calcule o centésimo primeiro termo da P.A. 7, 11, 15 ...) c) = r As diferenças são iguais. 7 r = 4 Portanto a seqüência é uma P.A. = 7 + 100 4 de razão r = 1. = 7 + 400 = 407 d) ) - As diferenças são iguais. 5. Determinar a posição do número 148 na P.A. (1, 4, 7 ...) Portanto a seqüência é uma P.A. Resolução: de razão r = 8. P.A. (1,4,7 ...) r = 3 As diferenças não são todas iguais. Portanto a seqüência não é umaConclusão: e Z = 19. Portanto y e Z são respectivamente 3. A alternativa c é a correta. 7. Determine três termos seqüentes de uma P.A. cres- cente, sabendo-se que a soma deles é 18 e o produto 3n = 147 + 3 120. 3n = 150 Comentários: . Se uma P.A. é crescente, então a sua razão é positiva, isto é, r > 0. Três termos seqüentes de uma P.A. são 148 é qüinquagésimo termo da representados 6. Assinale a alternativa correta. Resolução: A soma dos termos é 18, então: Os valores y e Z da P.A. (x, 7 São respectivamente: a) ( ) 6, 9, 17 b) ( ) 3, 7, 19 18 c) (X) 3,11,19 d) ( o produto dos termos é 120, então: Resolução: Na P.A. (x, 7 y 15 temos: como y = 11 2 2 Então com y = 11 a P.A. fica: P.A. ou 16 Como a P.A. é crescente consideramos Ainda na P.A. apenas r=4 + Z Para P.A. P.A. (6-4,6,6+4) 11 P.A. (2,6,10)