Lista_de_exercicio_para_de_Algebra_Superior

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Universidade Federal do Piaúı
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Matemática
Acadêmico(a): Marcelo Ayrton S. Marques NOTA
Curso: Bacharelado em Matemática Peŕıodo: 2023.2
Disciplina: Álgebra Superior Professor: Barnabé Pessoa
Lista de Álgebra Superior
1. (Resolução Questão 1 pág 94)
(a) As ráızes do polinômio x4 − 3 são as quatro ráızes quartas de 3, que são 4
√
3,− 4
√
3, i 4
√
3,−i 4
√
3. O
corpo de decomposição é o menor corpo que contém todas as ráızes do polinômio. Portanto, o corpo de
decomposição é Q( 4
√
3, i). O grau da extensão é o produto dos graus das extensões individuais. Como
Q( 4
√
3) é uma extensão de grau 4 de Q e Q(i) é uma extensão de grau 2 de Q, o grau da extensão é
4× 2 = 8. Portanto, o corpo de decomposição Q( 4
√
3, i) é uma extensão de grau 8 de Q.
(b)
(c)
2. (Resolução Questão 4 pág 94)
(a) Vamos mostrar que α, αu, αu2, . . . , αun−1 são ráızes distintas de xp−q. Assim, sendo as ráızes deste iguais
a q1/pe2πik/p para 0 ≤ x ≤ p−1 podemos escrever essas ráızes como q1/p(cos 2πk
p +i sin 2πk
p ) = q1/pe2πik/p.
Agora, para k = 0, 1 . . . , p− 1, temos
αuk = (q1/p)
(
cos
2πk
p
+ i sin
2πk
p
)
= q1/pe2πik/p
Assim, αuk é uma raiz de xp − q, e como k varia de 0 a p− 1, temos todas as p ráızes distintas.
(b) Sendo
αp − q = (q1/p)p − q = q − q = 0
(c) Mostraremos que Gal(xp − q,Q) = Q[α, u], onde Q[α, u] é menor subcorpo de C contendo α e u. Para
isso, sabemos apriori que α e u estão em Q[α, u], então resta mostrar que Q[α, u] é um subcorpo de C e
que contém todas as ráızes de xp − q.
Ora dado que Q[α, u] é gerafo pro α e u fechado sob soma, produto e inverso (exceto o inverso de 0). Além
disso, é fechado sob a conjugação complexa, pois α é real e u tem conjugado u−1 = cos
−2π
p
−i sin
−2π
p
=
cos
2π
p
+ i sin
2π
p
= u.
1
Portanto Q[α, u] é um subcorpo de C
Por fim, já mostramos que α, αu, αu2, . . . , αup−1 são ráızes distintas de xp−q e todas essa ráızes pertecem
a Q[α, u]. Assim, Q[α, u] é o corpo de decomposição de xp−q sobre Q e, portanto, Gal(xp−q,Q) = Q[α, u]
3. (Resolução Questão 6 pág 94)
(a) Vejamos, a priori, que 3
√
2 gera tanto Q[α] como Q[B], mas essa última é um produto complexo. Então,
tentaremos mostrar que podemos obter B somente manipulando α, isto é, ambos são conjuntos isomorfos.
Para tanto, se definirmos o polinômio: p(X) = X3 − 2 e percebermos que este, por sua vez, é irredut́ıvel
(Eisenstein), então segue imediatamente que Q[α] ≃ Q[β].
(b) Consideremos o polinômio minimal de α = 3
√
2 como X3− 2 e percebemos que suas ráızes são a, ωa, ω2a,
onde ω é uma raiz cúbica primitiva da unidade em C. Dáı, a forma geral de um automorfismo omega
em Q é determinada por onde omega leva a ou seja, V (a). Logo, se V (ω) = a, então Y é a identidade.
Analogamente, sendo Y (a) = ω, temos que é um automorfismo que permuta a, ωa, ω2a, pois o mesmo
racioćınio se aplica quando Y (a) = ωa.
Consequentemente, dado a =
√
2 ∈ R, NÃO há automorfismos não-triviais que permutam suas ráızes em
C. Portanto, o único automorfismo posśıvel é a identidade.
2