Material de apoio 1 2 - a2 - aluno

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8 capítulo 1
1. Conceituação Básica
O desenho é a expressão gráfica da forma, e deste modo não é possível dese-
nhar sem o conhecimento das formas a serem representadas (Carvalho, 2005 
p.11). Sendo assim, é de suma importância conhecermos os instrumentos e
materiais de desenho que iremos utilizar.
Lápis e/ou lapiseira – Geralmente 
o lápis é classificado por letras, núme-
ros ou ambos, de acordo com o grau de 
dureza da grafite (também conhecida
por mina).
Borracha – Usa-se de preferência 
uma borracha macia.
Régua – Instrumento para medir e 
traçar linhas retas. Aconselha-se o uso 
de régua transparente, graduada em 
cm e mm.
Compasso – Instrumento utilizado 
para traçar circunferências e transpor-
tar medidas.
capítulo 1 9
Esquadros – Instrumento cujo 
formato é de triângulo retângulo, um 
isósceles, e o outro escaleno. Assim 
coo a régua é aconselhável o uso de es-
quadros transparentes.
Escaleno
Isósceles
Transferidor – Instrumento utilizado para medir e marcar ângulos. Possui 
dois modelos básicos um de 180° e outro de 360°. Assim como a régua e os es-
quadros, é aconselhável o uso do transferidor transparente.
0
90
10
8020
7030
60
40
50
50
40
60 30
70 20
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90 0
90
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40320
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0
0
350
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20330
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0
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0
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0 12
0
23
0 13
0
22
0 14
0
210
150
200
160
190
170
180
180
170
190 160
200
150
210
1.1 Ponto, linha (curva e reta) e plano
O ponto, a linha e o plano são elementos básicos da Geometria, isto é, são entes 
geométricos intuitivos, portanto não possuem definição geométrica.
1.1.1 Ponto
Não possui formato nem dimensão. Pode ser representado pela intersecção de 
dois traços ou simplesmente por um toque de lápis no papel.
A
B C
D
Os pontos geométricos são sempre identificados por letras maiúsculas 
do nosso alfabeto. Por exemplo: ponto A, ponto B, ponto C, ponto D, e as-
sim sucessivamente.
10 capítulo 1
ATENÇÃO
Não podemos representar pontos geométricos por pequenos círculos vazios ou cheios.
Por quê? Porque nesses pequenos círculos cabe, infinitos pontos.
• ° errado
 . x certo
1.1.2 Linha
A linha é um conjunto de infinitos pontos. Também podemos apresentar a li-
nha como o percurso de um ponto em movimento no espaço.
Observe o exemplo a seguir:
X A
A
A A’
Veja que o ponto A se movimentou no espaço, a essa trajetória denomina-
mos linha.
A linha pode ser classificada de duas maneiras, quanto a forma e quanto ao traçado.
QU
AN
TO
 A
 F
OR
MA
Reta (ou retilínea) - possui apenas uma 
direção.
Curva (ou curvilínea) - está sempre em mu-
dança de direção, feita de forma agradável.
Poligonal (ou quebrada) - apresenta mudan-
ças de direção bruscas.
Mista (ou mistilínea) - formada por pelo 
menos dois tipos de linhas.
capítulo 1 11
QU
AN
TO
 A
O 
TR
AÇ
AD
O
Cheia (ou contínua) - o traçado é feito sem 
nenhuma interrupção.
Pontilhada - a linha é representada por 
meio de pontos.
Tracejada - a linha é representada por 
meio de traços.
Traço e ponto - a linha é representada por 
meio de traços e pontos.
Observação: As linhas são sempre identificadas com letras minúsculas 
do nosso alfabeto. Por exemplo: linha a, linha b, linha c, linha e, linha f e as-
sim sucessivamente.
1.1.3 Reta
É uma linha que possui uma única direção e ilimitada em ambos os sentidos 
de crescimento.
A reta é identificada por uma letra minúscula do nosso alfabeto, por exem-
plo reta a, reta b, reta c, e assim por diante.
Por ser ilimitada a reta pode ser representada de algumas maneiras:
r
t
ATENÇÃO
Não representar a reta com traço largo ou engrossado por vários traços sobrepostos, e sim 
com um traço fino.
Por quê? Porque a reta não possui “largura” e num traçado largo ou expeço teremos infinitas 
retas. Veja:
Correto
Errado
12 capítulo 1
Muito bem, já conhecemos ponto e reta vamos, agora, ver algumas proprie-
dades entre esses dois entes geométricos.
1.1.3.1 Pertinência
Um ponto pertence a uma reta se, e somente se, estiver representado sobre 
a reta.
rB
C
A
Observe que os pontos A e B pertencem à reta r (A ∈ r, B ∈ r), já o ponto C não 
pertence à reta r (C ∉ r).
1.1.3.2 Por um ponto passam infinitas retas
r
s
u
t
AV
Observe que pelo ponto A podemos traçar um número muito grande de re-
tas. Logo podemos concluir que o ponto A é comum à todas as retas, isto é, o 
ponto pertence simultaneamente à todas as retas.
1.1.3.3 Outra propriedade importante é que para determinarmos uma reta 
são necessários apenas dois pontos distintos (diferentes)
tBA
Pontos que pertencem a uma mesma reta são chamados de colineares.
capítulo 1 13
1.1.4 Plano
O plano é um conjunto de infinitos pontos e infinitas linhas. Sua representação 
poder ser feita de diversas maneiras, veja:
α β γ
Os planos são identificados por letras minúsculas do alfabeto grego, tais 
como α (alfa), β (beta), γ (gama) e assim por diante.
Antes de começarmos os exercícios, vamos relembrar o que estudamos nes-
te capítulo.
Se o ponto estiver contido numa reta, este ponto pertence à reta.
Por um ponto podemos traçar infinitas retas.
Um ponto é comum a duas ou mais retas se ele pertencer, simultaneamente, a es-
sas retas.
Por dois pontos distintos podemos traçar uma, e somente uma reta.
Pontos colineares são pontos que pertencem à mesma reta.
18 capítulo 2
2. Semirreta e segmento de reta
2.1 Semirreta
Como vimos no capítulo anterior, a reta é infinita nos dois sentidos. O que pode 
ocorrer quando marcamos um ponto sobre a reta?
rQ
Note que o ponto Q dividiu a reta em duas partes. Cada uma das partes é 
denominada de semirreta e ambas têm origem no ponto Q. Sendo assim, pode-
mos definir semirreta como parte de uma reta que tem origem em um ponto e 
é infinita em um só sentido.
Uma semirreta pode ser indicada de várias maneiras, veja:
a) Indicando a origem P e a reta r ( Pr
���
- lê-se: semirreta r de origem P).
r
P
b) Indicando somente a origem P ( P
��
– lê-se: semirreta de origem P).
P
c) Indicando a origem e um outro ponto que pertence à semirreta ( PQ
� ���
 – 
lê-se: semirreta de origem P e passando por Q).
P Q
Observações:
Sempre a primeira letra indica a origem da semirreta
A seta dobre as letras indica que a semirreta só pode ser prolongada em
um sentido.
2.2 Segmento de reta
Como vimos no capítulo anterior, a reta é infinita nos dois sentidos. O que 
acontece se marcarmos dois pontos distintos numa reta?
capítulo 2 19
r
P Q
Observe que uma parte da reta r ficou limitada por esses dois pontos. A essa 
parte denominamos segmento de reta, cujas extremidades são os pontos P e 
Q. Assim, podemos definir segmento de reta como parte de uma reta limitada
por dois pontos.
Um segmento de reta é indicado por suas extremidades, veja:
A B
AB (lê-se: segmento de reta AB).
Observação: A ausência da seta sobre as letras significa que o segmento de 
reta não pode ser prolongado.
2.3 Reta suporte
Denomina-se reta suporte, a reta que contém um segmento, sendo assim todo 
segmento tem a sua reta-suporte, porém não é necessária sua representação.
At
C
Reta suporte do
segmento AC
B
rD
Reta suporte do
segmento BD
2.4 Segmentos colineares
Segmentos que estão contidos na mesma reta suporte são denominados de seg-
mentos colineares.
r
A B M N
Os segmentos AB e MN estão contidos na reta r ( AB ⊂ r e MN ⊂ r ).
20 capítulo 2
2.5 Segmentos não colineares
Os segmentos que não estão contidos numa mesma reta suporte são denomi-
nados de segmentos não colineares.
At
C B
rD
2.6 Segmentos consecutivos
Denominamos segmentos consecutivos os segmentos que possuem uma 
extremidade comum. Os segmentos consecutivos podem ser colineares ou 
não colineares.
P R
Q
Observe que a extremidade Q é comum aos dois segmentos, isto é,Q perten-
ce tanto ao segmento PQ quanto ao segmento QR
Q PQ
Q QR
∈
∈
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ .
2.7 Segmentos não consecutivos
Os segmentos que não possuem extremidades em comum são chamados de 
segmentos não consecutivos.
A
C B
D
Antes de começarmos os exercícios, vamos relembrar o que estudamos nes-
te capítulo.
Semirreta é parte de uma reta que têm origem em um ponto e é infinita em um
só sentido.
Segmento de reta é parte de uma reta limitada por dois de seus pontos.
Reta suporte é a reta que contém o segmento
Segmentos colineares são aqueles que estão contidos em uma mesma reta suporte.
Segmentos não colineares são aqueles que não estão contidos em uma mesma
reta suporte.
Segmentos consecutivos são aquele que possuem uma extremidade em comum.
Segmentos não consecutivos são aqueles que não possuem uma extremidade em
comum.
24 capítulo 3
3. Polígonos
3.1 Polígonos
Você já estudou as linhas poligonais e sabem que elas podem ser abertas ou 
fechadas. Sabe também que elas são formadas por segmentos de reta consecu-
tivos e não colineares. Assim, o conjunto da linha poligonal fechada simples e 
sua região interna é chamado de polígono.
Linha poligonal fechada simples
+
Região interna
Polígono
É importante lembrar que a palavra polígono é de origem grega onde 
poli significa “muito” e gono significa ângulo, logo polígono significa “mui-
tos ângulos”.
Agora vamos ver a diferença de um polígono convexo e de um côncavo 
(não convexo).
Polígono convexo: todos os ângulos internos são convexos, isto é, ângulos 
menores que 180°
Polígono côncavo (não convexo): possui ângulo interno maior que 180°
Uma maneira prática de verificar se um polígono é convexo ou não, é traçar-
mos uma reta que cruze o maior número de lados do polígono. E verificar se o 
segmento determinado pelos lados do polígono. Se o segmento estiver contido 
na região interna do polígono esse polígono é convexo, caso contrário é cônca-
vo (não convexo). 
capítulo 3 25
Veja os exemplos a seguir:
 Polígono Convexo Polígono côncavo (não convexo)
3.2 Elementos de um polígono
Observe o polígono a seguir:
Lado
Diagonal
Ângulo
interno
Ângulo
externo
Vértice
Lado: segmento de reta que une dois vértices consecutivos.
Vértice: ponto de intersecção de dois lados.
Diagonal: segmento de reta com extremidades em dois vértices 
não consecutivos.
Ângulo interno: ângulo na região interna do polígono; formado por dois la-
dos consecutivos.
Ângulo externo: ângulo na região externa do polígono; formado por um 
lado e o prolongamento de outro.
3.3 Classificação dos polígonos
Vamos classificar os polígonos de acordo com o número de lados ou o número 
de ângulos que ele possui.
Seu nome começa pela indicação do número de lados termina em látero 
(lado) ou gono (ângulo).
26 capítulo 3
Veja a tabela a seguir, apresentando alguns polígonos:
TRIÂNGULO TRI = 3 Dodecágono DO + DECA = 12
QUADRILÁTERO QUADRI = 4 Tridecágono TRI + DECA = 13
PENTÁGONO PENTA = 5 Tetradecágono TETRA + DECA = 14
HEXÁGONO HEXA = 6 Pentadecágono PENTA + DECA = 15
HEPTÁGONO HEPTA = 7 Hexadecágono HEXA + DECA = 16
OCTÓGONO OCTO = 8 Heptadecágono HEPTA + DECA = 17
ENEÁGONO ENEA = 9 Octodecágono OCTO + DECA = 18
DECÁGONO DECA = 10 Eneadecágono ENRA + DECA = 19
UNDECÁGONO UM + DECA = 11 Icoságono ICOSA = 20
3.4 Triângulos
Já sabemos que cada polígono recebe um nome próprio de acordo com o nú-
mero de seus lados.
O polígono com o menor número de lados é o triângulo, que é formado por 
três segmentos de reta consecutivos e não colineares.
capítulo 3 27
3.4.1 Classificação dos triângulos
Os triângulos são classificados de acordo com as medidas dos lados e dos ân-
gulos internos.
De acordo com os lados temos:
Triângulo equilátero (equi = igual, látero = lado): possui os três lados iguais 
(congruentes).
3,2 cm
3,
2 
cm
3,2 cm
Triângulo isósceles: possui dois lados iguais (congruentes).
1,8 cm
3 
cm
3 cm
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.
5,5 cm
3 cm
5 cm
De acordo com as medidas dos ângulos internos temos:
Triângulo acutângulo: as medidas dos ângulos internos são menores que 
90° (ângulos agudos).
Ângulos agudos
(menor que 90º)
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso (ângulo maior que 90° e 
menor que 180°)
Ângulos obtuso
Triângulo retângulo: possui um ângulo reto (90°)
Ângulo reto (90º)
É importante lembrar que para classificar um triângulo, devemos conside-
rar tanto seus lados quanto seus ângulos.
3.5 Quadriláteros
Chamamos de quadrilátero, qualquer polígono com quatro lados. Sendo as-
sim, todo quadrilátero possui quatro lados, quatro vértices, quatro ângulos in-
ternos e duas diagonais.
Vértice
Ângulo interno
Lado
Diagonais
3.5.1 Classificação
Para facilitar a classificação, vamos dividir os quadriláteros em três grandes 
grupos, são eles: trapezoides, paralelogrâmicos e trapézios.
Trapezoides: são quadriláteros que não apresentam nenhum paralelismo 
entre seus lados.
Paralelogrâmicos: são quadriláteros onde seus lados opostos são paralelos.
Os quadriláteros paralelogrâmicos (Fiorano, apud Junior 1996, p.159) são: o 
quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo.
Quadrado
Losango Paralelogramo
Retângulo
3.5.2 Propriedades dos quadriláteros
As propriedades a seguir, serão muito úteis para a construção de quadriláteros, 
portanto, muita atenção.
Quadrado
O quadrado possui:
Lados congruentes (iguais)
Quatro ângulos retos (90°)
Diagonais congruentes (iguais),
se encontram no ponto médio e são 
perpendiculares entre si.
Retângulo
O retângulo possui:
Lados opostos congruentes (iguais).
Quatro ângulos retos (90°).
Duas diagonais iguais que se encontram no ponto médio.
Losango
O losango possui:
Quatro lados congruentes (iguais).
Ângulos opostos congruentes (dois agudos e dois obtusos).
Duas diagonais (uma maior e outra menor) que se encontram no ponto
médio, formando um ângulo reto (90°).
Paralelogramo
O paralelogramo possui:
Lados opostos congruentes (iguais).
Ângulos opostos congruentes (dois agudos e dois obtusos)
Duas diagonais com medidas diferentes e se encontram no ponto médio.
3.6 Trapézios
Trapézios: Os trapézios são quadriláteros que possuem apenas dois lados para-
lelos entre si, que são chamados de bases (maior e menor) 
Base menor
Base maior
Altura
3.6.1 Classificação
Os trapézios são classificados em isósceles, retângulo e escaleno.
Trapézio isósceles: os dois lados não paralelos são congruentes (iguais), 
como consequência os ângulos das bases são iguais entre si.
Trapézio retângulo: um dos lados não paralelos é perpendicular (forma um 
ângulo de 90°) com as bases. 
Trapézio escaleno: os lados não paralelos são diferentes entre si.
Observação: O trapézio retângulo também é escaleno.
3.7 Polígonos regulares
Chamamos um polígono de regular, quando ele apresenta todos os lados con-
gruentes (iguais) e todos os ângulos internos de mesma medida.
3.7.1 Construção de polígonos regulares
Existem diferentes maneiras de se construir um polígono regular. Vamos estu-
dar o processo de construção a partir do ângulo central.
Utilizamos este processo quando conhecemos a circunferência circunscri-
ta. Isto é, a circunferência que passa por todos os vértices do polígono.
O processo é muito simples, basta dividir os 360º da circunferência pelo nú-
mero de lado do polígono. Deste modo, encontramos o valor do ângulo central 
e, a partir dele, construímos o polígono. Veja o exemplo.
Vamos construir o hexágono regular (6 lados) a partir de uma circunferência 
de raio 3 cm.
1° passo: Traçamos a circunferência
2º passo: Dividir 360° por 6.
360
6
0
 = 60°
3º passo: Com o auxílio do trans-
feridor, marcamos o ângulo central de 
60°, obtendo o arco AB� .
60º
B
AO
4º passo: Com o auxílio do compasso, transportamos esse arco ao longo da 
circunferência até completarmos uma volta inteira.
60º
BC
FE
AD O
5º passo: Com o auxílio da régua unimos os pontosmarcados e obtemos o 
hexágono regular.
BC
FE
AD O
5. Lugares geométricos
Todos os lugares possuem características que permitem sua localização e identifi-
cação, como por exemplo os satélites, orbitando em torno de nosso planeta Terra. 
Em Desenho Geométrico, tais características estão relacionadas com as proprieda-
des de figuras e são chamadas de Lugares Geométricos. Assim, podemos conceituar 
lugar geométrico como o lugar dos pontos de um plano que possuem determinadas 
propriedades e que são os únicos a possuírem tal característica.
5.1 Lugar geométrico 1 (L.G.1) – Par de retas paralelas
Um par de retas paralelas é o lugar geométrico dos pontos de um plano que 
estão sempre a mesma distância (equidistante) em relação a uma reta dada.
EXEMPLO
Determine o liugar geométrico dos pontos que distam 20 mm da reta r.
r
L.G. dos pontos
distantes 20 mm da
reta r
r’
r”
5.2 Lugar geométrico 2 (L.G. 2) – Mediatriz
Chamamos de mediatriz o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão 
sempre aà mesma distância (equidistante) de dois pontos conhecidos.
Veja:
Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B.
B
mtz
A
AB
Qualquer ponto da mediatriz (mtz AB ) tem a mesma distância em relação 
aos pontos A e B.
5.3 Lugar geométrico 3 (L.G. 3) – Bissetriz
Chamamos de bissetriz o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão 
sempre aà mesma distância (equidistante) de duas retas dadas.
É importante observar que as duas retas dadas podem ser concorrentes (se 
“cruzam”) ou paralelas.
Veja:
Dadas as retas r e s, determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes 
das retas.
a) Retas concorrentes
btz
btz
r
s
b) Retas paralelas
a
b
d
d
btz
Em ambas situações, qualquer ponto que pertence a uma das bissetrizes 
(btz) terá a mesma distância em relação às retas dadas.
5.4 Lugar geométrico 4 (L.G. 4) – Circunferência
Chamamos de circunferência o lugar geométrico dos pontos de um plano que 
estão sempre a mesma distância (equidistante) de um ponto conhecido.
C
A
B
D r
r
r
Combinando esses quatro lugares geométricos que acabamos de estudar, 
determinaremos propriedades para pontos do plano.
A seguir, faremos alguns exemplos para tornar mais clara a combinação en-
tre os lugares geométricos.
Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes (mesma distân-
cia) de A e B e que estejam a 2,0 cm da reta r.
A
B
r
1º Passo:
Vamos associar àas condições do enunciado os lugares geométricos que co-
nhecemos. Neste caso a 1ª condição é o L.G. 2 (mediatriz) e a 2ª condição é o 
L.G.1 (retas paralelas).
Traçamos a mediatriz do segmento AB , obtendo, assim, os pontos que sa-
tisfazem a 1ª condição.
A
B
r
2º Passo
Traçamos o par de retas paralelas que dista, 2,0 cm da reta r, obtendo assim, 
os pontos que satisfazem a 2ª condição.
A
P1
P2
B
r
r”
r’
Observe que na intersecção das retas paralelas com a mediatriz, estão os 
pontos (P1 e P2) que atendem simultaneamente às duas condições, isto é, os 
lugares geométricos procurados.
Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes das retas r e s e
que esteja a 3,0 cm da reta t.
s
r t
1º Passo:
Vamos associar às condições do 
enunciado os lugares geométricos que 
conhecemos. Neste caso a 1ª condição 
é o L.G. 3 (bissetriz) e a 2ª condição é o 
L.G.1 (retas paralelas).
Primeiramente vamos traçar as bis-
setrizes dos ângulos formados pelas 
retas r e s, obtendo assim, os pontos 
que satisfazem a 1ª condição.
s
r t
btz rs
btz rs
2º Passo
Traçamos a reta paralela que dista 3,0 cm da reta t, obtendo, assim, os pon-
tos que satisfazem a 2ª condição.
s
r
P1
P2
tt’
btz rs
btz rs
Observe que na intersecção das bissetrizes com as retas paralelas, estão nos 
pontos (P1 e P2) que atendem simultaneamente às duas condições, isto é, os 
lugares geométricos procurados.
58 capítulo 6
6. Tangência e concordância
6.1 Tangência
Observando o mundo, a natureza etc., percebemos formas que nos dão a ideia 
de círculos e retas que se encontram em apenas um ponto. Essa relação de po-
sição é chamada de tangência.
6.1.1 Tangência entre reta e circunferência
Se uma reta e uma circunferência são tangentes entre si, o raio da circunferên-
cia e a reta são perpendiculares no ponto de tangência.
A
T
Reta tangente
Ponto de tangência
t
6.1.2 Tangência entre circunferências
Se duas circunferências são tangentes entre si, existem três pontos “notáveis” 
que devem ser colineares (pertencem a mesma reta), os dois centros e o ponto 
de tangência.
Temos duas situações a considerar: quando as circunferências se tangen-
ciam externamente e quando elas se tangenciam internamente.
6.1.2.1 Tangentes externas
Se as circunferências se tangenciam externamente (tangentes externas), a dis-
tância entre seus centros é igual à soma dos raios.
A
r1 r2
B
Como podemos observar, a distância entre os centros é igual à soma das 
medidas dos raios, ou seja, AB = r1+ r2.
6.1.2.2 Tangentes internas
Se as circunferências se tangenciam internamente (tangentes internas), a dis-
tância entre os centros é a diferença entre os raios,
A B T
AT r
BT r
AB r r
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒ = −1
2
1 2
6.2 Concordância entre uma reta e uma circunferência
Podemos definir concordância como a união de objetos por meio de retas, ou 
circunferência, satisfazendo a propriedade da tangência.
Veja a seguir alguns exemplos.
O2O1
O2
O1
r A
B
C
s
Observe que os traçados em concordância têm origem nas construções de 
retas e circunferências.
Então, como construir um arco em concordância com uma semirreta, sen-
do dados: o ponto de concordância, a semirreta e a medida do raio?
Considere uma semirreta a partir do ponto A (ponto de concordância) e o 
raio de 2,0 cm. A partir de A, construa o arco AB� .
1º Passo
Pelo ponto A, levante uma perpendicular.
A
2º Passo
Com o compasso, marque 2,0 cm, na reta perpendicular, encontrando dois 
pontos O1 e O2, em seguida trace os arcos AB� e AB� .
A
O1
O2
B
B’
6.3 Concordância entre duas circunferências
Concordar dois arcos implica dizer que devemos uni-los de tal maneira que se 
possa passar de um para o outro sem uma mudança de direção, isto é, sem an-
gulações bruscas, respeitando sempre a propriedade da tangência.
Como exemplo, vamos construir 
um arco concordante com um arco 
dado, sendo o ponto de concordância 
o ponto A e a medida do raio igual a
1,5 cm.
A
C
B
1º Passo
Traçar a reta que passa pelos pon-
tos A e C. Em seguida, marcamos 1,5 
cm a partir do ponto A, obtendo o pon-
to O.
A O
C
B
2º Passo
Traçamos o arco �AB com o centro
no ponto O.
A O
P
C
B
Observe que podemos traçar um outro arco AP� seguindo os mesmos pas-
sos. Veja.:
A
O
O’
P
P’
C
B