Lista de Exercicios 2 - Integrais curvilineas e o Teorema de Green

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Lista de Exerćıcios de Cálculo IV
Prof. André Carvalho
1. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial escalar indicado:
(a) f(x, y) = arctan(xy)
(b) f(x, y, z) = x2 − 3y2 + 4z2
(c) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2)
2. Confirme que u é uma função potencial escalar de F⃗ :
(a) u(x, y) = 2y2 + 3x2y − xy3 e F⃗ (x, y) = (6xy − y3)⃗i+ (4y + 3x2 − 3xy2)⃗j
(b) u(x, y, z) = x sin z + y sinx+ z sin y
e F⃗ (x, y, z) = (sin z + y cosx)⃗i+ (sinx+ z cos y)⃗j + (x cos z + sin y)k⃗
3. Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, de-
termine um campo escalar potencial:
(a) F⃗ (x, y) = x⃗i+ yj⃗
(b) F⃗ (x, y) = x2⃗i+ 5xy2j⃗
(c) F⃗ (x, y) = (cos y + y cosx)⃗i+ (sinx− x sin y)⃗j
(d) F⃗ (x, y, z) = (2x2y2z, 3x2y2z, x2y3 + y)
(e) F⃗ (x, y, z) = (y cosxy + yexy )⃗i+ (x cosxy + xexy )⃗j + k⃗
(f) F⃗ (x, y, z) = (yz + cosx)⃗i+ (xz − sin y)⃗j + xyk⃗
4. Seja C a curva dada pelas equações x = 2t e y = 3t2, com 0 ≤ t ≤ 1. Calcule as
seguintes integrais de linha ao longo de C:
(a)
∫
C
(x− y) dx
(b)
∫
C
(x− y) dy
5. Calcule as seguintes integrais curviĺıneas ao longo da curva C:
(a)
∫
C
6x2y dx+ xy dy
C: gráfico de y = x3 + 1, de (−1, 0) a (1, 2).
1
(b)
∫
C
(x− y) dx+ x dy
C: gráfico de x = y3, de (0, 0) a (1, 1).
(c)
∫
C
xz dx+ (y + z) dy + xz dz
C: parametrizado por x = et, y = e−t, z = e2t com 0 ≤ t ≤ 1.
(d)
∫
C
(2x− y + z) ds
C: segmento de reta de A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).
6. Calcule
∫
C
(xy) dx+ (x+ y) dy ao longo de cada curva C abaixo, de (0, 0) até (1, 3):
a) b) c) d)
7. A força em um ponto (x, y, z) é dada por F⃗ (x, y, z) = y i⃗+ z j⃗ + x k⃗.
Ache o trabalho realizado por F⃗ (x, y, z) ao longo da cúbica reversa x = t, y = t2,
z = t3, de (0, 0, 0) até (2, 4, 8).
8. (a) Mostre que a integral de linha
∫
C
y2 dx+ 2xy dy é independente do caminho.
(b) Calcule a integral ao longo do segmento de reta de (−1, 2) para (1, 3).
(c) Calcule a integral
∫ (1,3)
(−1,2)
y2 dx+ 2xy dy usando a função potencial para confirmar
que o valor é o mesmo obtido na parte b).
9. Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor:
a)
∫ (4,0)
(1,2)
3y dx+ 3x dy
b)
∫ (3,2)
(0,0)
2xey dx+ x2ey dy
c)
∫ (2,−2)
(−1,0)
2xy3 dx+ 3y2x2 dy
d)
∫ (0,1,1)
(1,0,1)
2xy dx+ x2 dy + 2 dz
e)
∫ (2,2,3)
(−1,0,0)
dy + dz
f)
∫ (1,1,1)
(−1,0,0)
ey dx + (xey + ez) dy +(
yez − 2e−2z
)
dz
10. Determine o trabalho realizado pela força F⃗ (x, y, z) = (yzexz, exz, xyexz + 1) para
deslocar uma part́ıcula ao longo da curva y =
2
x
, do ponto A = (−1,−2, 0) ao ponto
B = (−2,−1, 0).
2
Esse trabalho é maior, menor ou igual ao realizado pela mesma força para deslocar uma
part́ıcula em linha reta de A até B?
11. Calcule o trabalho realizado pela força F⃗ (x, y, z) = (2x + z + 4) i⃗ + (y2 − 3z − 1) j⃗ +
(−3y + z) k⃗ sobre uma part́ıcula, ao longo de C, de A = (2, 4, 2) a B = (2, 0, 0), onde
C é:
a) o segmento de reta AB;
b) a parábola y = z2 no plano x = 2.
12. Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais curviĺıneas:
a)
∮
C
x2 dx+ (4x+ y) dy
ao longo do triângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 0) no sentido anti-horário.
b)
∮
C
(lnx− 2) dx+ (2x+ ey) dy
ao longo da elipse x2 +
y2
9
= 1 no sentido horário.
c)
∮
C
(
y2 +
√
4− x2
)
dx+ (ln y − 4x) dy
ao longo do retângulo de vértices (0, 0), (3, 0), (3, 2) e (0, 2) no sentido anti-horário.
d)
∮
C
(x2 − y) dx+ x dy
ao longo do ćırculo x2 + y2 = 4 no sentido anti-horário.
e)
∮
C
F⃗ · dr⃗, sendo F⃗ (x, y, z) = (y, 0, 0)
e C o triângulo de vértices A(0, 1), B(3, 1) e C(2, 2) no sentido horário.
Respostas
1. a) F⃗ (x, y) =
y
1 + x2y2
i⃗+
x
1 + x2y2
j⃗
b) F⃗ (x, y, z) = 2x i⃗− 6y j⃗ + 8z k⃗
c) F⃗ (x, y, z) = 2x cos(x2 + y2 + z2) i⃗ +
2y cos(x2 + y2 + z2) j⃗ +2z cos(x2 + y2 +
z2) k⃗
2. a) conservativo; φ(x, y) =
x2
2
+
y2
2
+ C
b) e d) não conservativo
c) conservativo; u(x, y) = x cos y +
y sinx+ C
d) conservativo; u = sinx+ exyz + C
f) conservativo; u = xyz+sinx+cos y+
C
3. a) 14(2
√
2− 1) b) 0 c) −1/2
4. a)
34
7
b) 0 c)
1
12
d) 12
5. a)
15
2
b) 6 c) 7 d)
29
4
6. 412/15
7. a) −6 b) 9e2 c) 32 d) 0 e) 5
f) 2e+ e−2
3
8. 1; o trabalho é igual.
9. a) b) 2/3
10. a) 8 b) −12π c) −36 d) 8π e)
3/2
4