Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo- Tópico 5

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CAMPO 
MAGNÉTICO 
 
 
 
 
 
 
 
Hugo de León Carvalho Cedro 
 
 
 
 Campo magnético 
 
2 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula Campo magnético. Nesta aula vamos abordar os 
fundamentais para o entendimento do magnetismo, desta forma vamos descrever 
o que são os polos magnéticos encontrados em materiais que possuem 
propriedades magnéticas e a sua imutabilidade pela ausência de divisão de seus 
polos. Em seguida vamos aprender a determinar como calcular a força magnética 
que atua sobre uma partícula na presença de uma indução magnética, sendo que 
as partículas que vamos tratar são partículas carregadas e em movimento. Para 
finalizar vamos determinar qual é a trajetória executada pelas partículas 
carregadas quando submetidas a uma força magnética em determinado meio. 
 
INTRODUÇÃO 
 Os fenômenos relacionados ao magnetismo, presentes na história da física desde 
o século VI a.c., são de extrema importância para diversas aplicações atuais, como 
geradores de eletricidade, sistemas de armazenamento de computadores e motores 
elétricos. A primeira constatação de um fenômeno magnético foi realizada pelos gregos 
que identificaram uma rocha que possuía a capacidade de atrair pequenos pedaços de 
ferra, essa rocha era composta de magnetita. Posteriormente, os chineses perceberam que 
uma agulha feita deste material, a magnetita, poderia se orientar livremente em uma 
superfície horizontal, mas apontando sempre na mesma direção, a partir desta observação 
inventaram a bússola, utilizada em navegações. Em 1600 o cientista William Gilbert foi 
responsável pela publicação do livro De Magnete, este é reconhecido como o primeiro 
tratado sobre o magnetismo, ou seja, a primeira descrição formal do que podiam entender 
naquele momento sobre o magnetismo. Por volta de 1810 o cientista Hans Christian 
Oersted foi responsável por conectar a eletricidade ao magnetismo através de uma análise 
experimental, nesta experiência ele percebeu que o fato da presença de uma corrente 
elétrica em um fio era capaz de alterar a direção de uma agulha em uma bússola, desta 
forma foi possível identificar uma relação entre um fenômeno elétrico e um fenômeno 
magnético. 
 
DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO E FORÇA MAGÉTICA 
 O campo elétrico é definido como a força que atua em determinado ponto do 
espaço por unidade de carga elétrica, ao longo da história, foram realizadas diversas 
tentativas de estabelecer a mesma associação para o campo magnético. 
 Campo magnético 
 
3 
 Mas, de forma diferente do campo elétrico, não foi possível encontrar uma carga 
magnética com a qual seria possível descrever as forças magnéticas da mesma maneira 
que ocorre com o campo elétrico. 
 Assim, com a análise dos materiais disponíveis, foi possível identificar que 
materiais com propriedades magnéticas, como um imã, possuem dois polos, os quais são 
denominados polo Norte e polo Sul. 
De modo análogo as cargas elétricas, vemos que os polos iguais se repelem, assim 
como os polos diferentes se atraem. Então, quando colocamos dois polos Norte em 
contato, ou dois polos Sul, estes se afastam, ao aproximar o polo Sul do polo Norte de um 
material com características magnéticas, eles se atraem, como é o caso das cargas elétricas 
com sinais iguais e opostos, respectivamente. 
Desta discussão surge naturalmente o questionamento da origem das forças 
magnéticas e da “necessidade” de existir uma carga magnética. Para a identificação dessas 
cargas, os materiais magnéticos, como um imã, foram cortados ao meio, com objetivo de 
identificar tais cargas, mas cada vez que esse tipo de material é cortado, o que resta, 
diferente do esperado, não é um pedaço contendo o polo Norte e outro contendo o polo 
Sul, na verdade cada pedaço “produz” um novo imã que mantem as características 
magnéticas do material inicial. 
Se continuamos partindo o imã, sempre em dois pedaços, cada vez menores, 
continuaremos observando esse padrão (como mostrado na figura 1), não seria possível 
isolar os polos e identificar tais cargas. 
Assim, a ideia de cargas magnéticas não levou a identificação de tais cargas, mas 
duas formas foram identificadas para descrever a origem dessas forças. A primeira está 
relacionada com a produção intrínseca de um campo magnético por partículas 
elementares, assim, um elétron possui um campo magnético como uma propriedade 
básica. 
A segunda forma está relacionada ao movimento de cargas elétricas. Assim, 
quando temos cargas elétricas em movimento, a corrente gerada é responsável por 
produzir um campo magnético no espaço. 
Seria natural definir o campo magnético de maneira análoga ao campo elétrico, 
mas em função de uma carga magnética, mas como dito anteriormente não foi possível 
identificar a existências dessas cargas, assim é necessário encontrar outra forma para 
definir a força magnética, assim como o campo magnético. 
 
 Campo magnético 
 
4 
Figura 1: Polos Norte e Sul após a divisão. 
 
Fonte: Cedro (2022). 
Experimentalmente é possível identificar que o campo magnético interage com 
partículas em movimento, assim, quando medimos a força magnética que atua sobre uma 
partícula carregada em movimento é possível perceber que a intensidade dessa força é 
proporcional à carga e ao módulo da velocidade desta carga. 
Assim, a força magnética que atua na partícula carregada é expressa por: 
�⃗�𝐵 = 𝑞�⃗� × �⃗⃗� 
(5. 1) 
Onde q representa a carga elétrica, v a velocidade desta carga e B é a densidade 
de fluxo magnético. 
Analisando cada termo dessa expressão, o primeiro ponto importante é que a força 
magnética são proporcional a velocidade e a carga elétrica. Vemos que o vetor velocidade 
pode ser dado em três dimensões, o que será importante dependendo da situação 
analisada. 
O termo B representa a densidade de fluxo magnético que será analisada 
posteriormente, mas é valido destacar que esse termo é em muitas situações discutido 
como análogo ao campo magnético, mas a densidade de fluxo magnético (também 
conhecida como indução magnética) é o campo magnético multiplicado por uma 
constante em função do meio, chamada de permeabilidade magnética. Em geral vamos 
utilizar a nomenclatura de campo magnético de modo que seja possível complementar a 
leitura com o livro texto base sem causar divergências. 
 Campo magnético 
 
5 
Outro ponto importante é que a expressão da força magnética é dada pelo produto 
vetorial da velocidade pelo vetor densidade de fluxo magnético. Assim, podemos 
expressar esse produto vetorial como: 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 
(5. 2) 
Onde o ângulo contido na expressão indica aquele formado entre o vetor 
velocidade e o campo magnético. No caso especial onde esses vetores são 
perpendiculares, temos: 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛(90) = 𝑞𝑣𝐵. 1 = 𝑞𝑣𝐵 
Assim, quando v é perpendicular a B, temos: 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 
(5. 3) 
O que nos permite escrever a indução magnética e analisar sua unidade em função 
da força magnética, da carga e da velocidade como segue: 
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞𝑣
 
(5. 4) 
Com unidades: 
𝐵 =
𝑁
𝐶. 𝑚/𝑠
= 𝑇 
(5. 5) 
Desta forma definimos a unidade de indução magnética chamada tesla, que tem 
origem no nome do cientista Nikola Tesla. Essa relação mostra que uma partícula com 
carga de 1C e velocidade 1 m/s na presença de uma indução magnética de 1 T, está 
submetida a força de 1 N. 
Em diversas situações não haverá somente a presença de um campo magnético 
atuando sobre as partículas, o campo elétrico poderá atuar em conjunto com o magnético, 
gerando uma situação na qual as partículas estão submetidas a diferentes forças, assim, a 
partícula pode ser submetida a uma força elétrica em conjunto com uma força magnética. 
Conhecida como força de Lorentz, a soma da atuação em conjunto dessas forças é dada 
pela expressão: 
�⃗� = 𝑞(�⃗⃗� + �⃗� × �⃗⃗�) 
(5. 6) 
É fácil perceber que a primeira parcela da forçaé gerada pelo campo elétrico. 
A indução magnética contida nas expressões apresentadas até o momento possui 
um valor muito grande quando pensamos em 1 T, na tabela 1 apresentamos alguns valores 
típicos para B. 
 Campo magnético 
 
6 
Tabela 1: Propriedades das partículas 
Fonte B 
Estrela de nêutrons 108 T 
Grande eletroímã 1,5 T 
Imãs permanentes 1 T 
Superfície da terra 10-4 T 
Sala blindada magneticamente 10-14 T 
Fonte: Cedro 
Relacionando as informações obtidas até o momento, temos para os materiais 
magnéticos dois polos, o polo Norte e o polo Sul, assim como forças relacionadas a 
indução magnética. Desta forma, deve existir de modo análogo ao campo elétrico, uma 
representação das forças que atuam no espaço ao longo de linhas em função desses polos, 
como acontecia com as cargas. 
Esta representação ocorre através das linhas de campo, de modo semelhante as 
linhas de campo elétrico. É importante destacar que essas linhas são contínuas, visto que 
não existe a separação entre os polos, as linhas saem do polo Norte e entram no polo Sul, 
como podemos ver na figura 2. 
Figura 2: Linhas de campo. 
 
 
Fonte: Cedro (2022). 
Podemos destacar as seguintes características: 
• A tangente às linhas de campo mostra a direção do vetor B em cada ponto; 
• A concentração das linhas está diretamente relacionada a intensidade do campo 
magnético; 
 Campo magnético 
 
7 
• Linhas de campo afastadas indicam um campo de menor intensidade; 
• Linhas de campo concentradas indicam um campo de maior intensidade; 
• As linhas de campo se afastam do polo Norte; 
• As linhas de campo se aproximam do polo Sul; 
• As linhas de campo não se cruzam. 
 
Voltando nossa análise ao termo que indica a força magnética na equação 5.6, 
temos um produto vetorial que precisamos analisar de forma mais detalhada. Inicialmente 
é válido lembrar algumas características de um produto vetorial, tomando A e B como 
vetores. 
• Uma importante característica de um produto vetorial é seu módulo, desta forma 
temos: 
|𝐴 × 𝐵| = |𝐴||𝐵|𝑠𝑒𝑛𝜃 
• A propriedade comutativa não é válida, assim: 
𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 
• É válido que: 
𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴 
• As propriedades do produto vetorial são válidas para os vetores unitários (i, j e k) 
associados aos eixos; 
• Para multiplicação por um escalar k (observe a semelhança com 5.1) temos: 
𝑘(𝐴 × 𝐵) = 𝑘𝐴 × 𝐵 
𝑘(𝐴 × 𝐵) = 𝐴 × 𝑘𝐵 
• Para calcular o produto vetorial, podemos utilizar um determinante de uma matriz 
3x3, onde a primeira linha possui o vetor unitário, a segunda linha o vetor A e a 
terceira o vetor B, assim temos: 
|
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
| 
 Das informações apresentadas obtemos algumas informações imediatas, a 
primeira está relacionada com o módulo do vetor, se o módulo do produto vetorial está 
relacionado com o seno do ângulo, quando temos vetores na mesma direção, como dois 
vetores que estão somente no eixo x ou dois vetores somente no eixo z, o produto vetorial 
desses vetores é nulo, visto que o ângulo entre vetores que estão no mesmo eixo é 0 ou π, 
 Campo magnético 
 
8 
o que resulta no valor 0 para o seno, assim qualquer vetor que está situado na mesma 
direção de outro vetor, possui produto vetorial nulo. 
 A segunda informação está relacionada a perpendicularidade entre dois vetores, 
se os vetores são perpendiculares, o ângulo formado entre eles é de π/2, assim o seno 
desse ângulo vale 1, e o produto é dado pela multiplicação do módulo dos vetores, o que 
nos leva ao resultado de 5.3. 
 A terceira informação é relativa ao resultado do produto vetorial, com auxílio da 
figura 3, se tomamos o produto vetorial v x B, o resultado é FB, assim, vemos que o 
resultado do produto vetorial entre dois vetores é um terceiro vetor que é simultaneamente 
ortogonal aos vetores v e B, ou de modo geral, o vetor (AxB) é ortogonal ao vetor A e ao 
vetor B, o que não significa que A e B são ortogonais entre si, estes podem possuir 
qualquer ângulo. 
 Para entender como o resultado do produto vetorial é um terceiro vetor normal 
aos vetores multiplicados, é importante realizar o cálculo do determinante mencionado 
anteriormente, assim será possível “ver” este terceiro vetor. 
Figura 3: Resultado do produto vetorial v x B. 
 
Fonte: Cedro (2022). 
Uma forma diferente e rápida de realizar o cálculo do produto vetorial e 
determinar a direção e sentido do vetor gerado pelo produto vetorial é através da regra 
da mão direita, esta regra é essencial para o desenvolvimento de diversas questões 
relacionadas ao eletromagnetismo. 
Com auxílio da figura 3, se colocarmos o dedo indicador da mão direita na direção 
e sentido de v, com esse dedo fixo apontarmos o dedo médio na direção e sentido de B, 
naturalmente o dedo polegar irá apontar para cima, na direção e sentido de F, assim 
 Campo magnético 
 
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criamos a mesma relação de eixos mostrada nessa figura, o que é importante nessa 
descrição é que também criamos uma forma de calcular o sentido e a direção de F. 
Se utilizarmos essa regra, temos que o primeiro vetor do produto vetorial está 
associado com o dedo indicador, o segundo com o dedo médio e o polegar é o resultado 
desse produto vetorial em direção e sentido (sinal). 
Em geral a informação importante que tiramos desse cálculo é o sentido, 
representado pelo sinal. Analise novamente a equação 5.1, ela é o produto vetorial 
representado pela figura 3, o único termo que não aparece é a carga, mas isto não é um 
problema, pois ela entra como uma constante, então basta multiplicar esse valor no final. 
Toda essa discussão sobre o produto vetorial é essencial, visto que a forma 
matemática para determinar a força magnética depende dele. A princípio temos um fator 
simplificador, vamos analisar situações em que a velocidade da partícula será sempre 
perpendicular a direção da indução magnética, assim podemos utilizar a regra da mão 
direita para determinar a direção da força magnética que atua sobre a partícula, 
posteriormente podemos calcular o módulo dessa força utilizando a expressão 5.3, visto 
que o seno vale 1. 
Ainda, é válido reforçar que a figura 3 é muito semelhante a representação dos 
eixos x, y e z no espaço, a ideia é realmente lembrar dessa distribuição dada por regras da 
álgebra linear e geometria analítica. Assim nessa figura a velocidade está no eixo x, a 
indução no eixo y e a força no eixo z. 
 Antes de prosseguir, relembre a tabela 2, em diversas situações vamos necessitar 
da massa e carga das partículas próton e elétron. 
Tabela 2: Propriedades das partículas 
Propriedades Próton Elétron Nêutron 
Massa 1,673. 10-27 9,109. 10-31 1,673. 10-27 
Carga 1,602. 10-19 -1,602. 10-19 0 
Fonte: Cedro 
 Vamos analisar a seguinte situação, temos um próton que está em movimento no 
eixo x com uma energia de 1,673. 10-18 J, na direção e sentido do eixo y é possível 
identificar uma indução magnética de 10mT, nosso objetivo é determinar o módulo da 
força magnética que atua no próton, assim como sua direção e sentido. 
 Vemos que a velocidade não foi fornecida, mas é simples calcular o módulo da 
velocidade, já que a partícula possui a energia fornecida e essa energia deve ser cinética, 
pois p próton está em movimento. 
 Campo magnético 
 
10 
 Assim, calculamos: 
𝐾 =
𝑚𝑣²
2
↔ 𝑣 = √
2𝐾
𝑚
= √
2.1,673. 10−18
1,673. 10−27
= 44721,35 𝑚/𝑠 
𝑣 = 4,5 . 104 𝑚/𝑠 
 Com esse valor podemos calcular o módulo da força magnética. 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 = 1,602. 10−19. 4,5 . 104. 10. 10−3 
𝐹𝐵 = 7,2. 10−17 𝑁 
A direção e sentido podem ser determinados pela regra da mão direita, com 
indicador na direção e sentido do eixo x (para fora do papel), dedo médio para a direita 
(direção e sentido do eixo y), assim o polegar aponta para cima, de modo semelhante a 
figura 3, então a força possui valor positivo e aponta verticalmente paracima com a 
intensidade calculada. 
 Agora, vamos analisar a mesma situação, mas com um elétron no lugar do próton. 
A primeira situação está relacionada ao cálculo da velocidade, seguimos o mesmo 
processo, com o diferencial que a massa do elétron é muito menor que a massa do próton, 
assim, temos: 
𝐾 =
𝑚𝑣²
2
↔ 𝑣 = √
2𝐾
𝑚
= √
2.1,673. 10−18
9,109. 10−31
= 1916582,9 𝑚/𝑠 
𝑣 = 1,9 . 106 𝑚/𝑠 
Percebemos que a velocidade do elétron com essa energia é maior que a do próton, 
assim, com o valor da velocidade vamos calcular o módulo da força magnética. 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 = 1,602. 10−19. 1,9 . 106. 10. 10−3 
𝐹𝐵 = 3. 10−15 𝑁 
 Observe que calculamos o módulo e por este motivo o sinal do elétron não foi 
considerado, para calcular a direção e sentido vemos que a relação do produto vetorial 
passa de kA x B para -kA x B, desta forma a direção da força continua a mesma, mas seu 
sentido é modificado. 
Então, de modo semelhante a figura 3, a força possui direção vertical, paralela ao 
eixo z, mas com sentido para baixo, não mais para cima como ocorreu com o elétron. 
 Para finalizar, vamos observar a trajetória do elétron nessa situação, vemos que a 
força é sempre perpendicular a partícula, assim como a indução magnética. Esta 
 Campo magnético 
 
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informação de força perpendicular nos leva a pensar em uma trajetória circular, na qual a 
força é sempre perpendicular ao movimento da partícula. 
 Assim, podemos associar a força com a força centrípeta através da seguinte 
expressão: 
𝐹 =
𝑚𝑣²
𝑟
 
(5. 7) 
 Continuando nossa associação, também sabemos que a força magnética é qvB, o 
que nos leva a: 
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 =
𝑚𝑣²
𝑟
 
(5. 8) 
 Assim, o raio associado a trajetória circular em que a partícula se move na 
presença de uma força magnética é: 
𝑞𝑣𝐵 =
𝑚𝑣²
𝑟
↔ 𝑟 =
𝑚𝑣²
𝑞𝑣𝐵
 
 Desta forma, o raio associado a força magnética que atua em uma partícula 
carregada em movimento na presença da indução magnética é: 
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
 
(5. 9) 
 A partir desse resultado podemos calcular o raio da trajetória circular do elétron e 
do próton que se movem com uma força magnética atuando sobre eles, você deve 
encontrar valores próximos de 0,01 m. 
 Ainda, com essas informações podemos determinar a massa de um íon acelerado 
por uma diferença de potencial, isto pode ser realizado utilizando uma câmara na qual 
existe uma indução magnética em seu interior. 
 A força magnética à qual o íon está submetido cria a trajetória circular no interior 
da câmara, assim o íon entra por um orifício e percorre uma distância x em uma trajetória 
circular de metade de uma circunferência. 
 Sua entrada com velocidade é realizada com auxílio da aceleração produzida pela 
diferença de potencial V, desta forma a massa do íon é calculada em função da distância 
percorrida no interior da câmara, a indução magnética, o valor da carga e a diferença de 
potencial, derivada das expressões apresentadas, o cálculo da massa do íon pode ser 
realizado através da expressão: 
 Campo magnético 
 
12 
𝑚 =
𝑞𝑥²𝐵²
8𝑉
 
(5. 10) 
 Tente demonstrar esse resultado utilizando as seguintes informações: 
• A expressão deduzida para o raio da trajetória circular: 
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
 
• A conservação de energia e as relações entre energia cinética e potencial; 
• A relação entre energia potencial elétrica e o potencial elétrico; 
• A relação do raio com a distância percorrida no interior da câmara. 
Com um pouco de álgebra será possível demonstrar o resultado acima. 
 
RESUMO 
 
Nesta aula você aprendeu os princípios do magnetismo, começando pelos 
conceitos de indução magnética e polos em um material com propriedades 
magnéticas, para em seguida, através do conhecimento matemático do produto 
vetorial e sua consequente interpretação física determinar a direção e sentido de 
uma força magnética que atua em uma partícula carregada em movimento, 
percebendo que a direção e sentido desta força são dependentes da direção e 
sentido da velocidade da partícula e da indução magnética atuante. Posteriormente 
conseguimos determinar a trajetória da partícula carregada em movimento quando 
submetida a uma força magnética através das relações entre força magnética e 
força centrípeta. Com isto, somos levados aos principais resultados matemáticos 
e suas interpretações físicas desta aula, expressos pelas duas equações seguintes: 
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞𝑣
 
�⃗� = 𝑞(�⃗⃗� + �⃗� × �⃗⃗�) 
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
 
 
 
 
 
 Campo magnético 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
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Curitiba: Intersaberes, 2017. 
 
 
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NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson education do Brasil, 2012. 
 
 
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RAMOS, A. Eletromagnetismo. São Paulo: Blucher, 2016. 
 
 
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YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo, Sears e Zemansky: 
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