Cônicas

Prévia do material em texto

Cônicas 
 
 
Parábola 
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano 
eqüidistantes de F e d. 
 
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que 
nenhum ponto pertença a d, temos: 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 
 
 
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 
 
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 
 
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é 
parabólica. 
 
Elementos 
 
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: 
 
• foco: o ponto F 
 
• diretriz: a reta d 
 
• vértice: o ponto V 
 
• parâmetro: p 
 
 Então, temos que: 
 
• o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. 
 
 Assim, sempre temos . 
 
• DF =p 
• V é o ponto médio de 
 
 
Equações 
 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal 
 
 
 
Como a reta d tem equação e na parábola temos: 
• ; 
 
• P(x, y); 
 
• dPF = dPd ( definição); 
 
 obtemos, então, a equação da parábola: 
 
y2 = 2px 
 
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal 
Nessas condições, a equação da parábola é: 
 
 
y2 = -2px 
 
 
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical 
 
 
 x2=2py 
 
 
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical 
 
 
 x2= - 2py 
 
 
 
 
Elipse 
 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre 
F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e 
F2 seja sempre igual a 2a. 
 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 a, temos e > 1. 
 
 
Equações 
 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox 
 
 
F1 (-c, 0) 
F2 ( c, 0) 
 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
 
 
Obtemos a equação da hipérbole: 
 
 
 
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy. 
 
Nessas condições, a equação da hipérbole é: 
 
2 2
2 2
1
y x
a b
− = 
 
 
Hipérbole eqüilátera 
 
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: 
 
 
 
a = b 
 
Assíntotas da hipérbole 
 
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. 
 
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é 
. 
 
Equação 
 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
a) eixo real horizontal e C(0, 0) 
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: 
 
b) eixo vertical e C(0, 0) 
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: 
 
 
 
 
Cônicas Transladadas 
 
Parábola com vértice (h,k) e eixo paralelo ao eixo x 
 
2(y k) 4p(x h)− = − aberta à direita 
 
2(y K) 4p(x h)− = − − aberta à esquerda 
 
Parábola com vértice (h,k) e eixo paralelo ao eixo y 
 
2(x h) 4p(y k)− = − aberta para cima 
 
2(x h) 4p(y k)− = − − aberta para baixo 
 
Exemplo 
 
Determine o gráfico da equação y2 – 8x – 6y – 23 = 0. 
 
Sol.: A equação envolve termos quadráticos em y mas nenhum em x, logo primeiro 
colocamos todos os termos de y em um lado y2 – 6y = 8x + 23. 
 
A seguir completamos quadrados nos termos em y adicionando 9 em cada lado 
(y – 3)2 = 8x + 32. 
 
Finalmente, pondo em evidência ao lado direito, temos (y – 3)2 = 8(x + 4). 
 
Temos h = -4, k = 3 e p = 2. Assim o gráfico é uma parábola com vértice (-4,3) 
aberta à direita. Uma vez que p = 2, o foco está 2 unidades à direita do vértice, o que 
o localiza no ponto (-2,3); e a diretriz está 2 unidades à esquerda do vértice o que 
significa que sua equação é x = -6. 
 
 
 
 
Elipse com centro (h,k) e eixo maior paralelo ao e ixo x 
 
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
− −+ = com b ≤ a 
 
 
Elipse com centro (h,k) e eixo maior paralelo ao e ixo y 
 
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
b a
− −+ = com b ≤ a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Descreva o gráfico da equação 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0. 
 
Sol.: Esta equação envolve termos quadráticos em x e y; assim agrupemos os 
termos com x e os termos com y em um lado e a constante em outro: 
(16x2 – 64x) + (9y2 – 54y) = -1. 
 
Completando quadrados, obtemos 16(x2 – 4x + 4) + 9(y2 – 6y + 9) = -1 + 64 + 81 
⇒ 16(x – 2)2 + 9(y – 3)2 = 144. 
 
Dividindo toda a equação por 144, obtemos: 
2 2(x 2) (y 3)
1
9 16
− −+ = . 
 
h = 2, k = 3, a2 = 16 e b2 = 9. Assim a equação é uma elipse com centro (2,3) e 
eixo maior paralelo ao eixo y. Uma vez que a = -4, o eixo maior estende-se 4 
unidades acima e 4 unidades abaixo do centro. Desse modo os extremos são 
(2,7) e (2,-1). Tendo em vista que b = 3, oeixo menor estende-se 3 unidades à 
esquerda e 3 unidades à direita do centro, assim seus extremos são (-1,3) e 
(5,3). Uma vez que 2 2c a b 16 9 7= − = − = . Os focos situam-se 
7 unidades acima e abaixo do centro, localizando-se nos pontos (2,3+ 7 ) e 
(2,3- 7 ). 
 
 
 
Hipérbole com centro (h,k) e eixo focal paralelo a o eixo x 
 
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
− −− = 
 
Hipérbole com centro (h,k) e eixo focal paralelo a o eixo y 
 
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
a b
− −− = 
 
 
 
Exemplo 
 
Descreva o gráfico da equação x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0. 
 
Sol.: Esta equação envolve termos quadráticos em x e y, dessa forma 
agrupemos os termos em x e y em um lado e colocaremos a constante no 
outro: (x2 – 4x) – (y2 – 8y) = 21. 
 
Deixamos para você verificar que, completando quadrados, esta equação fica: 
2 2(x 2) (y 4)
1
9 9
− −− = 
h = 2, k = 4, a2 = 9 = b2. Assim, a equação representa uma hipérbole com 
centro em (2,4) e eixo focal paralelo ao eixo x. Uma vez que a = 3, os vértices 
são localizados 3 unidades à esquerda e à direita do centro, ou seja nos 
pontos (-1,4) e (5,4). 
 
2 2c a b 9 9 3 2= + = + = , logo os focos estão localizados 3 2 unidades à 
esquerda e à direita do centro ou nos pontos (2-3 2 ,4) e (2+3 2 ,4). 
 
As equações das assíntotas podem ser encontradas a partir da equação 
2 2(x 2) (y 4)
0
9 9
− −− = . Isto pode ser escrito como y – 4 = ± (x – 2), donde 
resultam as assíntotas y = x + 2 e y = -x + 6. 
 
Bibliografia: 
http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php. 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte, Vol 2. 6º Ed – Porto Alegre: Bookman, 2000.