Geometria analítica (Aula07 Conicas UFRRJ)

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Universidade Federal Rural de Rio de Janeiro
IC815 - Geometria Analítica
Cônicas
16 de novembro de 2023 Prof. Renan Teixeira
1. Uma breve introdução histórica
Nos seus escritos, o matemático grego Pappus de Alexandria (290-350), atribuiu ao geômetra
grego Aristeu (370-300 a.C.) o crédito de ter publicado o primeiro tratado sobre as seções cônicas,
referindo-se aos Cinco livros sobre seções cônicas de Aristeu, nos quais foi apresentado um estudo
cuidadoso das curvas cônicas e as suas propriedades.
Segundo Pappus, o matemático grego Euclides de Alexandria (325-265 a.C.), contemporâneo
de Aristeu, conhecia muito bem os cinco livros sobre as curvas cônicas e evitou aprofundar-se sobre
esse assunto na sua obra Os Elementos, de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a
obra original de Aristeu. Duzentos anos mais tarde, o astrônomo e matemático grego Apolônio de
Perga (262-190 a.C.) recompilou e aprimorou os resultados de Aristeu e de Euclides nos oito livros
da sua obra Seções Cônicas.
No entanto, a História indica que as cônicas foram descobertas pelo matemático grego Menaec-
mus (380-320 a.C. aproximadamente) quando estudava como resolver os três problemas famosos
da Geometria grega: a triseção do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Se-
gundo o historiador Proclus, Menaecmus nasceu em Alopeconnesus, na Ásia Menor (o que hoje é
a Turquia), foi aluno de Eudóxio na academia de Platão.
Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses, parábolas e hipérboles são obtidas cor-
tando um cone com um plano não paralelo à sua base. Mesmo assim, pensava-se que os nomes
dessas curvas foram inventados por Apolônio, porém traduções de antigos escritos árabes indicam
a existência desses nomes em épocas anteriores a Apolônio.
Foi Apolônio quem mostrou que bastaria um cone circular reto de duas folhas qualquer para
se obter as três (seções) cônicas; o que deveria variar era o ângulo de interseção do plano com uma
das duas geratrizes. Na verdade, basta fazer a revolução de apenas uma reta (a geratriz) para gerar
um cone de 2 folhas.
Figura 1: Descrição do cone.
1
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Definição 1Definição 1
Consideremos um cone de duas folhas, uma figura que pode ser gerada pela revolução de uma
reta g (geratriz) em torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo θ em um ponto
V, assim como apresentado na Figura 1. Chamamos de geratriz qualquer reta do cone que
passa por V. Consideremos agora o conjunto de todos os planos que não passam por V. A curva
que resulta da interseção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção cônica ou,
simplesmente, uma cônica, como apresentado na Figura 2.
Figura 2: Exemplos de seções cônicas.
Teorema 1Teorema 1
Teorema de Apolônio: Seja C um cone de duas folhas, de vértice V. Seja π um plano que não
contém V. Consideremos a cônica obtida pela intersecção de C com π. Então:
• Se π não é paralelo a nenhuma geratriz, então a cônica é uma elipse. Observe que π
corta o eixo e em um ângulo α e que θo eixo OX perpendicular à reta diretriz e contendo o foco. As-
sim, o foco é F
(p
2
,0
)
, o vértice é a origem V(0,0) e a diretriz é a reta
d : x = −
p
2
. Se P(x,y) é um ponto da parábola, então d(P,F) = d(P,d) =
d(P,P′), onde P′(−
p
2
,y), logo:
√(
x −
p
2
)2
+ y2 =
∣∣∣∣x+ p
2
∣∣∣∣(
x −
p
2
)2
+ y2 =
(
x+
p
2
)2
x2 − 2 ·
p
2
· x+
(p
2
)2
+ y2 = x2 + 2 ·
p
2
· x+
(p
2
)2
−p · x+ y2 = p · x
Portanto, temos:
y2 = 2px
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Teorema 2Teorema 2
Uma equação da parábola que tem seu foco em
(p
2
,0
)
e sua diretriz na reta x = −
p
2
é y2 = 2px.
Na dedução que fizemos anteriormente, podemos trocar o eixo Ox
pelo eixo Oy. Daí, o foco será F
(
0,
p
2
)
, o vértice continuará na origem
V(0,0) e a diretriz será a reta d : y = −
p
2
. Se P(x,y) é um ponto da
parábola, então
d(P,F) = d(P,d)√
x2 +
(
y −
p
2
)2
=
∣∣∣∣y+ p
2
∣∣∣∣
x2 +
(
y −
p
2
)2
=
(
y+
p
2
)2
x2 + y2 − 2 ·
p
2
· y+
(p
2
)2
= y2 + 2 ·
p
2
· y+
(p
2
)2
x2 − p · y = p · y
Portanto, temos:
x2 = 2py
Teorema 3Teorema 3
Uma equação da parábola que tem seu foco em
(
0,
p
2
)
e sua diretriz na reta y = −
p
2
é x2 = 2py.
Exemplo 3. Dada a parábola que tem a equação y2 = 7x, encontre as coordenadas do foco e uma
equação da diretriz. Faça um esboço do gráfico.
2.2 Translação de eixos
Dizemos que ocorreu uma translação de eixos quando são escolhidos novos eixos coordenados
paralelos aos Ox e Oy são dados. Logo, podemos fazer a translação dos eixos dados Ox e Oy para
os eixos O’x’ e O’y’, com origem (h,k) em relação aos eixos dados.
Figura 7: Translação de eixos.
Um ponto P no plano, que possui coordenadas (x,y) em relação aos eixos coordenados dados,
terá coordenadas (x′,y′) em relação aos novos eixos.
Para obtermos relações entres estes dois conjuntos de coordenadas, traçamos uma reta por P
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paralela aos eixos Oy e O’y’ e também uma reta por P paralela aos eixos Ox e O’x’. Seja A o ponto
no qual a primeira reta intercepta o eixo Ox, e A’ o ponto no qual a reta intercepta o eixo O’x’; a
segunda reta intercepta o eixo Oy no ponto B e o eixo O’y’ no ponto B’.
Em relação aos eixos Ox e Oy as coordenadas de P são (x,y), as coordenadas de A são (x,0) e
as coordenadas A’ são (x,k). Uma vez que A′P = AP−AA′, temos:
y′ = y − k ou y = y′ + k
Em relação aos eixos Ox e Oy as coordenadas de B são (0,y) e as coordenadas B’ são (h,y). Uma
vez que B′P = BP−BB′, temos:
x′ = x − h ou x = x′ + h
Teorema 4Teorema 4
Se (x,y) representa um ponto P em relação a um conjunto dados de eixos e (x′,y′) é uma repre-
sentação de P, depois que os eixos são transladados para uma nova origem, tendo coordenadas
(h,k) em relação aos eixos dados, então:
x = x′ + h e y = y′ + k
ou
x′ = x − h e y′ = y − k
Estas equações são chamadas de equações de translação dos eixos.
Se uma equação de uma curva é dada em x e y então uma equação em x′ e y′ é obtida, se
substituirmos x por (x′ + h) e y por (y′ + k). O gráfico da equação em x e y, em relação aos eixos
Ox e Oy, é exatamente o mesmo conjunto de pontos que o gráfico da equação correspondente em
x′ e y′, em relação aos eixos O’x’ e O’y’.
Exemplo 4. Dada a equação x2 + 10x+ 6y + 19 = 0, encontre uma equação do gráfico, em relação
aos eixos O’x’ e O’y’, após uma translação de eixos à nova origem (-5,1).
Podemos aplicar a translação de eixos para encontrar a equação geral de uma parábola, que tem
sua diretriz paralela a um eixo coordenado e seu vértice no ponto (h,k). Em particular, tomemos a
diretriz como paralela ao eixo Oy. Se o vértice está no ponto V(h,k) então a diretriz terá a equação
x = h−
p
2
e o foco está no ponto F
(
h+
p
2
,k
)
. Consideremos os eixos O’x’ e O’y’ tais que a origem O’
esteja em V(h,k).
Uma equação da parábola da figura abaixo, em relação aos eixos O’x’ e O’y’ é:
y′2 = 2px′
Para obtermos uma equação desta parábola em relação aos eixos Ox e Oy, substituímos x′ por
(x − h) e y′ por (y − k) na equação anterior, que resulta em:
(y − k)2 = 2p(x − h)
O eixo desta parábola é paralelo ao eixo Ox.
Analogamente, se a diretriz de uma parábola for paralela ao eixo Ox e o vértice estiver no ponto
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V(h,k), então seu foco se encontrará no ponto F
(
h,k+
p
2
)
e a diretriz terá a equação y = k −
p
2
.
Assim, uma equação da parábola em relação aos eixos Ox e Oy será:
(x − h)2 = 2p(y − k)
O eixo desta parábola é paralelo ao eixo Oy. Essa é a demonstração do seguinte teorema:
Teorema 5Teorema 5
Se
p
2
é a distância do vértice ao foco, uma equação da parábola com seu vértice em (h,k) e com
seu eixo paralelo ao eixo Ox será:
(y − k)2 = 2p(x − h)
A parábola com o mesmo vértice e com seu eixo paralelo ao eixo Oy terá por equação:
(x − h)2 = 2p(y − k)
Exemplo 5. Encontre uma equação da parábola que tenha como sua diretriz a reta y = 1 e como
seu foco o ponto F(−3,7). Esboce o gráfico.
Exemplo 6. Dada a parábola que tem por equação y2 + 6x+ 8y+ 1 = 0, encontre o vértice, o foco,
uma equação da diretriz, uma equação do eixo e trace o esboço do gráfico.
Exemplo 7. Um esguicho (posicionado na origem) lança água e esta descreve uma parábola de V(1,
5). Calcular a altura (h) do filete de água, a uma distância 1,5 m da origem, sobre uma horizontal
Ox.
3. Elipse
Definição 5Definição 5
Elipse é o conjunto de todos os pontos P(x,y) de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é constante. Isto é, dados dois pontos distintos no plano F1 e F2 tal
que a distância d(F1,F2) = 2c e um número positivo a com a > c, então um ponto P pertence à
elipse se, e somente se,
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a
Temos uma outra forma de definirmos o conjunto de pontos que descreve uma elipse no plano:
Definição 6Definição 6
Uma elipse E de focos F1 e F2, de eixo maior medindo 2a >
∥∥∥∥−−−−→F1F2
∥∥∥∥ é o lugar geométrico
formado pelos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é igual a
2a. Ou seja, dados F1 e F2, com
∥∥∥∥−−−−→F1F2
∥∥∥∥ = 2c, e um número a > c, dizemos que P(x,y) é um
ponto da elipse E se, e somente se, ∥∥∥∥−−−→F1P
∥∥∥∥+ ∥∥∥∥−−−→F2P
∥∥∥∥= 2a
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Figura 8: Elipse.
A elipse possui os seguintes elementos:
• Os pontos F1 e F2 são denominados focos da elipse. O segmento F1F2 de comprimento 2c é
a distância focal da elipse;
• O ponto médio C do segmento F1F2 é o centro da elipse;
• O segmento A1A2 de comprimento 2a é o chamado eixo maior da elipse.
• O segmento B1B2 de comprimento 2b é o chamado eixo menor da elipse.
• A interseção da elipse E com os eixos, A1, A2, B1 e B2 são os vértices da elipse.
Figura 9: Elementos da elipse.
Além dos elementos relacionados acima, a elipse possui uma excentricidade, isto é, um nú-
mero que determina a sua forma. Ou seja, a excentricidade de uma elipse é definido como a
constante e = c
a com 0+ y2 = 2a−
√
(x − c)2 + y2
(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2
��x2 + 2cx+����c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x − c)2 + y2 +��x2 − 2cx+����c2 + y2
a2 − cx = a
√
(x − c)2 + y2
a4����−2a2cx + c2x2 = a2x2����−2a2cx + a2c2 + a2y2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
x2
a2 +
y2
a2 − c2 = 1
Logo, como a2 = b2 + c2, a forma da canônica da equação da elipse é dada por
x2
a2 +
y2
b2 = 1
Figura 10: Elipse com eixo maior sobre o eixo x.
Proposição 6. Uma elipse E de focos F1(−c,0) e F2(c,0) e eixo maior medindo 2a tem equação
x2
a2 +
y2
b2 = 1
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onde b é tal que a2 = b2 + c2. Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da
elipse (ou equação reduzida da elipse). Os números a, b e c são conhecidos como parâmetros
geométricos da elipse.
Se o eixo maior da elipse está sobre o eixo Oy, então, por um procedimento análogo ao da
proposição, obteremos a equação reduzida
Figura 11: Elipse com eixo maior sobre o eixo y.
x2
b2 +
y2
a2 = 1
Observação. Se c = 0, temos que a = b e portanto temos uma circunferência cuja equação é dada
por
x2 + y2 = r2
onde r = a = b é o raio da circunferência, isto é, a distância de qualquer ponto da circunferência
ao seu centro.
Exemplo 11. Encontre uma equação da elipse com focos (-8, 2) e (4, 2) e excentricidade 2
3 . Trace o
esboço do gráfico da elipse.
Exemplo 12. Dada a equação 25x2 + 162 + 150x − 128y − 1119 = 0, encontre:
a) Sua equação reduzida;
b) O centro;
c) Os vértices;
d) Os focos;
e) A excentricidade.
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4. Hipérbole
Definição 7Definição 7
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P(x,y) do plano de modo que a diferença, em
valor absoluto, das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2, chamados de focos, é uma constante
indicada por 2a, com a > 0. ∣∣∣d(P,F1)−d(P,F2)
∣∣∣= 2a
Figura 12: Descrição da hipérbole.
Uma outra definição pode ser encontrada abaixo:
Definição 8Definição 8
Uma hipérbole H de focos F1 e F2 de eixo transverso medindo 2a d(P,F2) e d(P,F1) −
d(P,F2) = −2a é válida quando P pertence ao ramo esquerdo, uma vez que, nesse caso, d(P,F1) a, tem-se e > 1. Ao
diminuir o valor para “a” (mantendo c fixo) a abertura da hipérbole seria maior e vice-versa. Assim,
quanto maior a excentricidade, maior será a abertura, ou seja, mais “abertos” estarão os ramos da
hipérbole. Além disso, Uma hipérbole é dita equilátera quando os parâmetros geométricos a e b
dessa hipérbole são iguais.
4.1 Forma canônica da hipérbole
Na descrição da forma canônica da equação da hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas
consideraremos que o eixo real esteja sobre o eixo Ox e o centro C da hipérbole é a origem, logo
F1(−c,0) e F2(c,0). Se P(x,y) é um ponto qualquer da hipérbole H, então, pela definição, temos
que
∣∣∣d(P,F1)−d(P,F2)
∣∣∣= 2a logo∣∣∣∣∣√(x+ c)2 + y2 −
√
(x − c)2 + y2
∣∣∣∣∣= 2a(√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x − c)2 + y2
)2
= 4a2
(x+ c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 4a2 + 2
√
(x+ c)2 + y2
√
(x − c)2 + y2
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Simplificando o lado esquerdo da equação acima temos
2x2 + 2c2 + 2y2 = 4a2 + 2
√
(x+ c)2 + y2
√
(x − c)2 + y2
x2 + c2 + y2 − 2a2 =
√{
(x+ c)2 + y2} · {(x − c)2 + y2}
Elevando ao quadrado dos dois lados da equação, temos:
4a4 − 4c2a2 = −4x2c2 + 4x2a2 + 4y2a2
x2c2 − x2a2 − y2a2 = a2c2 − a4
x2(c2 − a2)− y2a2 = a2(c2 − a2)
x2
a2 −
y2
c2 − a2 = 1
Como c2 = a2 + b2, a forma da canônica da equação da hipérbole é dada por:
x2
a2 −
y2
b2 = 1
Esta equação também é conhecida como a equação reduzida da hipérbole. Se o eixo real da hipér-
bole estiver sobre o eixo Oy, então a equação reduzida fica
y2
a2 −
x2
b2 = 1
É importante observar que, em qualquer dos dois casos representados abaixo, o gráfico da
hipérbole é simétrico em relação aos eixos x e y e em relação à origem.
Figura 14: Hipérbole com eixo real sobre o eixo Ox e sobre o eixo Oy.
Exemplo 13. Dada a equação 16x2 − 25y2 = 400, encontre:
a) Sua equação reduzida;
b) O centro;
c) Os vértices;
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d) Os focos;
e) A excentricidade;
f) As equações das assíntotas.
Exemplo 14. Encontre o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole de
equação 9x2 − 4y2 − 18x − 8y − 31 = 0. Esboce o gráfico.
Por fim, segue uma resenha das equações das curvas cônicas com translação de eixos:
Eixo focal Ox Eixo focal Oy Curva
(y − k)2 = 2p(x − h) (x − h)2 = 2p(y − k) Parábola
(x − h)2
a2 +
(y − k)2
b2 = 1
(x − h)2
b2 +
(y − k)2
a2 = 1 Elipse
(x − h)2
a2 −
(y − k)2
b2 = 1
(y − k)2
a2 −
(x − h)2
b2 = 1 Hipérbole
Tabela 1: Resumo das equações das cônicas
Problemas propostos
Exercício 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um
esboço.
a) P : y2 = 4x.
b) P : y2 + 8x = 0.
c) P : x2 + 6y = 0.
d) P : 5y2 = 8x.
e) P : 5x2 = 8y.
f) P : 5x2 = 16y.
Exercício 2. Obtenha, em cada caso, uma equação da parábola de vértice (0,0), conhecendo
seu parâmetro p e a localização do foco.
a) p = 2
3 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
b) p = 4
3 e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas.
c) p = 1 e o foco está no semi-eixo negativo das abscissas.
d) p = 1
2 e o foco está no semi-eixo positivo das ordenadas.
Exercício 3. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V (0,0),
utilizando as informações dadas.
a) O foco é (8,0).
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b) A diretriz tem equação y = 2.
c) O ponto (4,7) pertence à diretriz e o eixo é Ox.
d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
Exercício 4. São dados, em cada caso, o foco e a diretriz de uma parábola. Obtenha uma
equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da parábola deva satisfazer.
a) F(2,3) e r : x = 0.
b) F(3,1) e r : y+ 3 = 0.
c) F(−4,−2) e r : 2x+ y = 3.
Exercício 5. São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse.
Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da elipse deva
satisfazer.a) a= 4, F1 = (−3,2) e F2 = (−3,6).
b) a= 3, F1 = (−1,−1) e F2 = (1,1).
c) a= 3, F1 = (−1,−1) e F2 = (1,1).
Exercício 6. Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos
eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a me-
dida dos eixo menor e a excentricidade. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do
computador, para comparar.
a) 4x2 + 169y2 = 676
b) x2 +
2y2
3
= 8
c)
x2
4
+
y2
2
= 0
d) 8x2 + 3y2 = 24
e)
3x2
5
+ y2 = 9
f) x2 + 4y2 = 1
g) 5x2 + 9y2 = 45
h) 3x2 + 5y2 = 15
i) 4x2 + 9y2+ 1 = 0
j) 16x2 − 4+ 4y2 = 0
Exercício 7. Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:
a) O centro é O, os focos estão em Ox, o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
b) O centro é O, os focos estão em Oy, o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
c) Os focos são (0,6) e (0,−6), e o eixo maior mede 34.
d) Os focos são (5,0) e (−5,0)e um dos vértices é (−13,0).
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e) Os focos são (−1,0) e (1,0) e um dos vértices é (0,
√
2).
f) As extremidades do eixo menor são (0,4) e (0,−4), e a amplitude focal é 8 5.
g) Os focos são (0,2
√
3) e (0,−2
√
3), e a amplitude focal é 2.
Exercício 8. Em cada caso, determine os vértices, os focos, e a medidas dos eixos maior e
menor da elipse.
a) E : 16x2 + 25y2 = 400
b) E : x2 + 9y2 = 9
c) E : 50− y2 − 2x2 = 0
d) E : 3x2 + 4y2 − 12 = 0
Exercício 9. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição
de um de seus focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra (que são, respectivamente, a menor
e a maior distância da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distância focal da
trajetória da Terra, 0.50 · 107 km; medida do eixo maior, 30.00 · 107 km.
Exercício 10. Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum
dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas dos eixos real e
imaginário e a excentricidade. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador,
para comparar.
a) 9x2 − 4y2 = 36
b)
9x2
25
− y2 + 9 = 0
c) x2 + 2y2 = 1
d) 25x2 − 100y2 = 0
e) 5x2 − 9y2 − 45 = 0
f) x2 − y2 + 1 = 0
Exercício 11. Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo imagi-
nário e equações das assíntotas da hipérbole:
a) 25x2 − 144y2 = 3600
b) 16x2 − 25y2 = 400
c) y2 − x2 = 16
d) 9y2 − 4x2 = 36
e) 3x2 − y2 = 3
f) x2 − y2 − 1 = 0
Exercício 12. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole.
a) Os vértices são (2,0) e (−2,0), e os focos, (3,0) e (−3,0).
b) Os vértices são (−15,0) e (15,0) e as assíntotas têm equações 5y − 4x = 0 e 5y+ 4x = 0.
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c) Os focos são (−5,0) e (5,0), e a amplitude focal é 9
2 .
d) Os focos são (−5,0) e (5,0) e as assíntotas têm equações 2y = x e 2y = −x.
e) Os focos estão no eixo Oy, as assíntotas têm equações 2y + 3x = 0 e 2y − 3x = 0, e o eixo
imaginário mede 8.
Exercício 13. São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole.
Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da hipérbole
deva satisfazer.
a) a= 3, F1 = (3,−3) e F2 = (3,7)
b) a= 3, F1 = (3,4) e F2 = (−1,−2)
Exercício 14. Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole.
a) Os focos são (−13,0) e (13,0), e a excentricidade, 13
12 .
b) Os vértices são (0,−4) e (0,4), e a excentricidade,
√
2.
c) A excentricidade é 2, e as assíntotas têm equações y = 2x e y = −2x.
d) As extremidades do eixo imaginário são (−2,0) e (2,0), e a excentricidade é 2√
5
.
e) As assíntotas têm equações y = x√
3
e y = − x√
3
, e a excentricidade é 2.
Exercício 15. Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos
(a, b, c ou p) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais:
centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.
a) 2x2 + 3y2 − 8x+ 6y − 7 = 0.
b) 16x2 + 16y2 − 16x+ 8y − 59 = 0.
c) 4x2 − 5y2 + 12x+ 40y+ 29 = 0.
d) y2 − 4x+ 10y+ 13 = 0.
Exercício 16. Associe a cada equação de cônica da coluna da esquerda as equações de cônicas
congruentes a ela da coluna da direita.
(a) 4x2 + y2 + 8x − 10y+ 13 = 0.
(b) 4x2 − 3y2 + 24x − 12y+ 17 = 0.
(c) 4x2 − 5y2 + 12x+ 40y+ 29 = 0.
(d) y2 − 4x+ 10y+ 13 = 0.
(A) (y′)2 − 4x′ = 0
(B) 4(x′)2 − 5(y′)2 + 100 = 0.
(C) 4(x′)2 + (y′)2 − 16 = 0.
(D) 4(x′)2 − 3(y′)2 − 7 = 0.
18
	Uma breve introdução histórica
	Parábola
	Forma canônica da parábola
	Translação de eixos
	Elipse
	Forma canônica da elipse
	Hipérbole
	Forma canônica da hipérbole