Incertezas Tipo B e propagação de incertezas

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MODELAGEM DO MUNDO FÍSICO 1 
 
Incertezas tipo B e propagação de incertezas 
Objetivos: 
1) Reconhecer que toda medida tem alguma incerteza associada. 
2) Identificar e relatar incertezas tipo B. 
3) Calcular incertezas de grandezas que são funções de grandezas medidas. 
1) Medida e incerteza do comprimento 
Seu grupo irá medir o comprimento dos lados de um objeto de formato aproximadamente retangular 
indicado pelo professor. 
Descrição do objeto: 
 
Como estimar a incerteza das medidas de comprimento? 
Em medidas de comprimento como essas, não há aspectos aleatórios envolvidos. Portanto, não faz 
sentido repetir a medida várias vezes, para estudar a dispersão dos valores em torno da média. Isso 
não significa, porém, que a medida não tenha incerteza. Apenas a incerteza é de uma natureza 
diferente, chamada de incerteza tipo B. 
A estimativa de incertezas tipo B é baseada nas especificações do fabricante, na qualidade da 
escala do instrumento, e na experiência técnica de quem realiza a medida. Em nosso contexto 
didático, a incerteza será estimada como metade de menor divisão da escala dos instrumentos 
confiáveis. Portanto, no caso da medida do comprimento com uma régua milimetrada, a incerteza 
será de meio milímetro. 
Relate a medida dos lados do objeto retangular. 
2) Medida e incerteza da área 
Calcule a área do objeto, expressando-a em cm2. 
Área: 
Como obter a incerteza da medida da área? Comparando a área do objeto com a área de 1 cm2, 
estime a incerteza associada à medida da área do objeto. 
2) Propagação de incertezas 
Não medimos área diretamente. A área é calculada a partir de medidas de comprimento. 
Conhecemos as incertezas dos comprimentos. É de se esperar que a incerteza da área esteja 
relacionada às incertezas das medidas dos comprimentos. 
Esse tipo de análise aparece muitas vezes nos laboratórios. Por exemplo, a densidade volumétrica 
de um corpo é a massa (M) sobre o volume (V). Se conhecemos M e V e suas respectivas 
incertezas, é de se esperar que possamos estimar a incerteza da densidade. A esse cálculo, damos 
o nome de propagação de incertezas. 
O problema geral tem a seguinte natureza: uma quantidade Y é calculada a partir de outras 
quantidades X1, X2 , …, XN, isto é: 
Y = f(X1, X2 , …, XN ). 
Se as incertezas de X1, X2 , …, XN são dadas, respectivamente, por 1, 2 , …, N , então a incerteza σ σ σ
de Y será dada pela expressão: 
 . σ
𝑌
 = ∂ 𝑓
∂ 𝑋
1
( )2
σ
1
2 + ... + ∂ 𝑓
∂ 𝑋
𝑁
( )2
σ
𝑁
2 
Existem hipóteses para a aplicação da expressão anterior. A principal delas é a independência das 
medidas de X1, X2 , …, XN . No caso da área do objeto retangular, foram feitas duas medidas 
independentes: X1 = medida de um dos lados, X2 = medida do outro lado. A função que dá a área é o 
simples produto: 
Y (Área) = f(X1,X2) = X1 * X2 . 
Usando que = X2 e = X1 , obtemos: 
∂ 𝑓
∂ 𝑋
1
∂ 𝑓
∂ 𝑋
2
 = , σ
𝑌
 = 𝑋
2
2σ
1
2 + 𝑋
1
2σ
2
2 σ
1
𝑋
1
2 + 𝑋
2
2 
pois . σ
1
= σ
2
Usando propagação de incertezas, calcule a incerteza na medida da área do objeto, expressando-a 
em cm2. Relate a medida da área segundo as normas. 
 
Exercícios gerais sobre incertezas: 
1) Uma série de valores de medições com as respectivas incertezas é exibida a seguir. Relate cada 
uma das medidas segundo as normas. 
 
A = 67,002 cm 
 = 0,023 cm σ
𝐴
 
B = 152,389 cm/s2 
 = 0,037 cm/s2 σ
𝐵
 
C = 0,173 cm3 
0,056 cm3 σ
𝐶
= 
 
D = 74,58 g 
 = 3,14 g σ
𝐷
 
E = 0,0012 m 
 = 0,0001 m σ
𝐸
 
F = 45612,98 cm/s 
 = 345 cm/s σ
𝐹
 
2) Uma bancada estava analisando a velocidade média com que a vela de um carrinho cruzava um 
sensor, depois que o carrinho era largado do repouso do alto de um trilho inclinado. O estudante mediu o 
tempo de passagem da vela oito vezes e obteve os valores: 
 
tempo (s) 
0,245 
0,235 
0,241 
0,252 
0,249 
0,238 
0,244 
0,235 
 
a) Calcule a média e a incerteza no tempo de passagem e relate o resultado da medida do tempo. 
 
b) Se o comprimento da vela era L = (0,1002 0,0005) m, obtenha a velocidade média e sua ±
incerteza usando o cálculo feito no item anterior e a expressão para propagação de incertezas. 
 
 
 
3) Um pêndulo simples é utilizado para medir o valor da aceleração da gravidade utilizando a equação: 
 
 . 𝑇 = 2π 𝐿
𝑔
 
O período T medido foi T = (1,24 e comprimento do pêndulo, Qual é o ± 0, 02) 𝑠 𝑙 = (0, 381 ± 0, 002) 𝑚.
valor obtido para g e sua incerteza?