manual para fisica experimental 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Campus Macaé
FÍSICA EXPERIMENTAL II
FLUIDOS, OSCILAÇÕES, ONDAS E TERMODINÂMICA
MANUAL DE LABORATÓRIO
Docentes dos laboratórios de Física
Docentes dos laboratórios de Física 2 :
Bernardo Tavares
Franciole Marinho
Raphael Púpio
Valéria Belmonte
Técnico dos laboratórios de Física:
Giovanni Belloni
Raphael Rubem Caetano
Licença: Creative Commons
Atribuição - Não Comercial - Sem Derivações 4.0 Internacional.
Você pode obter uma cópia da licença em
creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.pt_BR.
Sumário
Nota ao estudante 4
Introdução 6
1 Tubo em U 14
2 Princípio de Arquimedes 19
3 Pêndulos simples e físico 23
4 Oscilador harmônico amortecido e forçado 29
5 Vibrações numa corda 34
6 Tubo de Kundt 39
7 Calorimetria 44
8 Lei de Boyle 48
A SciDAVis 52
B Sensores 56
Bibliografia 59
Nota ao estudante
O manual de laboratório da disciplina física experimental 2 é destinado aos estudantes
inscritos nos cursos regulares da UFRJ–campus Macaé das áreas de ciência e tecnologia. O
objetivo é auxiliá-lo ao longo de todo o semestre, sendo importante a leitura prévia do conteúdo
de cada aula. O estudante poderá utilizá-lo durante a realização das experiências, assim como
um material de estudos completar, resolvendo os problemas ao final de cada capítulo, onde são
discutidos alguns conceitos discutidos em cada atividade prática. Para aprofundar o conhecimento
o leitor pode buscar as referências bibliográficas.
Este roteiro é organizado em capítulos que correspondem a cada um dos experimentos a
serem realizados no laboratório de física 2. Já na introdução é encontrada uma breve discussão
sobre os igredientes básicos que concernem à análise de dados necessária para os experimentos
propostos. Ao final encontram-se apêndices onde são encontrados alguns tópicos de auxílio: análise
de dados com um aplicativo numérico e a configuração dos sensores utilizados no laboratório.
Na tabela abaixo é mostrada a cronologia desta disciplina. O cronograma específico de
cada semestre será divulgado no início do semestre em sala de aula e por meios eletrônicos.
semana experiência tópicos
1 Tubo em U Hidrostática
2 Princípio de Arquimedes
3 Pêndulos simples e composto Oscilações
4 Oscilador harmônico amortecido e forçado
5 Prova 1 Hidrostática e Oscilações
6 Modos normais numa corda Ondas
7 tubo de Kundt
8 Calorimetria Termodinâmica
9 Lei de Boyle
10 Prova 2 Ondas e Termodinâmica
Sobre a avaliação
A frequência nos dias de aula tem caráter obrigatório, sendo exigida uma frequência mínima
de 75% do total de aulas práticas. Não cumprindo esta exigência, o estudante será reprovado por
frequência.
A reposição de aula será concedida noutra turma somente na mesma semana da experiência,
sendo necessária a anuência prévia de ambos os professores, e em caso de haver vaga na turma
em que se deseja fazer a reposição. Nesse caso o estudante deverá escrever uma declaração de
próprio punho onde conste dia, hora, experiência e a rúbrica do professor da aula; esta declaração
deverá ser entregue ao professor da turma de origem.
Ao longo do curso o estudante será avaliado em pelo menos quatro momentos distintos;
serão duas provas escritas (notas parciais P1 e P2) e dois relatórios individuais entregues ao
professor da diciplina (notas R1 e R2). A nota final (NF) será calculada atribuíndo peso de 80%
à média das notas das provas parciais e 20% à média das notas dos relatórios:
MP = 0, 5 (P1 + P2) , MR = 0, 5 (R1 +R2) ,
NF = 0, 8MP + 0, 2MR .
Fica a critério de cada professor se a avaliação por meio de relatórios será presencial ou não,
podendo também incluir outras avaliações na MR: caderno de laboratório, conduta em sala de
aula, ou outras avaliações.
Será considerado aprovado na disciplina o estudante que obtiver nota final maior ou igual à
5,0, sendo reprovado em caso contrário.
Não haverá em hipótese alguma prova final. No caso de o estudante se ausentar no dias de
uma das provas, o mesmo poderá requerer uma prova de segunda chamada (que substituirá a
nota da prova não realizada) desde que justificada (atestado médico, certificado militar, etc.).
Regras de conduta
Durante as aulas de laboratório os estudantes devem seguir algumas regras básicas para o
bom funcionamento do laboratório:
• Manter o laboratório limpo e organizado;
• Zelar pelos equipamentos do laboratório;
• Reposição de aulas devem ser agendadas por e-mail com antecedência, e fica a critério do
professor aceitá-lo em sua turma;
• O uso de calçados fechados para as atividades de laboratório é mandatório;
• É proibida a entrada de bebidas e comestíveis nos laboratórios de física;
• Siga sempre os procedimentos de conduta adequados as atividades dos laboratórios.
Introdução
Aqui serão apresentados alguns tópicos essenciais com os quais o estudante deve estar
familiarizado para uma correta análise de dados. Longe de ser um texto denso e pormenorizado,
será apenas esboçada a análise de erros convencional. O leitor interessado nos detalhes deve
recorrer às referências Tavares [2010], Taylor [2012].
Tratamento estatístico
No que corcerne as incertezas de uma medida existem as aleatórias e as sistemáticas, sendo
esta advinda da falha na calibração de algum instrumento de medida ou mesmo da falha no
procedimento da experiência, e aquelas devido às flutuações inerentes do processo de medir mas
que podem ser “suavizadas” por meio do tratamento estatístico das medições.
Admitindo que foram eliminadas todas as incertezas sistemáticas (o que nunca acontece na
prática), e que se repetiu N vezes a medição de uma mesma grandeza x em condições idênticas,
então, há apenas as flutuações aleatórias, e o teorema do limite central James [2009] (para
N →∞) garante que a medição (considerada como uma variável aleatória) terá uma distribuição
de probabilidades normal centrada em x¯ e cuja largura vale σx:
• Valor médio:
x¯ =
1
N
N∑
n=0
xi . (1)
Valor central da distribuição de probabilidades da medição da grandeza x.
• Desvio padrão:
σx =
√√√√ 1
N − 1
N∑
n=0
(xi − x¯)2 . (2)
Desvio quadrático médio de x (ou largura da distribuição de probabilidades).
• Desvio padrão do valor médio:
δx = σx¯ =
1√
N
σx . (3)
É usada quando há inúmeras estimativas para o valor médio, sendo possível calcular o valor
médio dessas estimativas bem como seu desvio padrão σx¯ = δx.
Para interpretar o resultado de uma estimativa x¯± σx deve-se introduzir primeiro a noção
de discrepância da medida em relação a um valor de referência xref:
• Discrepância:
Dx = x¯− xref (4)
Introdução 7
t 0,0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
P (%) 0 20 38 55 68 87 95,4 98,8 99,7 99,95 99,99
Tabela 1: Probabilidades relacionadas à discrepância de uma medida.
Considere a discrepância como um múltiplo do desvio padrão Dx = tσx (onde t é um número
adimensional real). A chance (probabilidade P ) de medir tal valor com uma discrepância até t
vezes maior que σx é dada pela função erro, cujo alguns de seus valores estão contidos na Tabela
1. Por outro lado, a chance de ocorrer o inverso, ou seja, de fazer uma estimativa e esta ser
encontrada fora do intervalo x¯± tσx é dada por 1− P . Por exemplo, para t = 1 a probabilidade
de a medida feita estar fora do intervalo x¯± σx é de cerca de 32%, e para t = 4 a probabilidade
(de que a estimativa caia fora da faixa x¯± 4σx) cai a 0,01%.
No primeiro caso é até aceitável que tenha ocorrido de a medida cair fora do intervalo (são
32% de probabilidade); já no segundo caso não é razoável esperar que a medida esteja fora posto
que a probabilidade é extremamente pequena (0,01%). Não há um critério harmônico entre os
físicos que diga onde está o limite entre o aceitável e o não aceitável – pode-se convencionar que
para 1, 9 ≤ t ≤ 2, 6 o resultado da medida é inconclusivo.Caso tenham sido feitas inúmeras estimativas de x¯, a discussão acima pode também ser
estendida à discrepância em termos do desvio padrão do valor médio (δx).
Propagação de incertezas
Em alguns casos dispomos da incerteza de um certo instrumento de antemão, e em outros
casos não. Quando não é conhecida a incerteza, pode-se recorrer ao tratamento estatístico
explicado anteriormente. Isso acontece, por exemplo, se você tenta medir o período do pêndulo
com um cronômetro (Experiência 3); que incerteza deve ser usada se a medida nesse caso é
altamente sensível ao atraso (ou adiantamento) de quem aperta o botão? A resposta é dada pela
equação (3)
Dizer que sabemos as incertezas de um instrumento (régua, proveta, multímetro, frequencí-
metro, etc.) quer dizer na verdade que os que estão no laboratório já foram comparados entre si
e com outros (mais confiáveis) de maneira que é possível julgar as componentes sistemáticas e
aleatórias de cada um destes. Para fins didáticos adota-se a menor medida do instrumento (seja
digital ou analógico), não excluindo, é claro, eventuais correções de outras incertezas sistemáticas,
como erro no procedimento experimental.
Até aqui foram discutidas as medidas diretas obtidas por meio da leitura da escala de um
instrumento. Todavia, grande parte do trabalho de análise de dados com o fim de verificar leis
ou propriedades físicas conhecidas envolve a obtenção de estimativas por via indireta. Daí a
necessidade de estabelecer um método de carregar as incertezas até o resultado final (que pode
ser conclusivo ou não).
O método consiste em calcular a propagação quadrática das incertezas das medidas pretéritas
(x1, x2, . . . , xN ) com a finalidade de encontrar a nova incerteza δI de uma certa medida indireta
I:
I = f(x1, x2, . . . xN ) , δI
2 =
N∑
n=1
(
∂f
∂xn
)2
δx2n . (5)
Isto se o conjunto (x1, x2, . . . , xN ) for de medidas independentes entre si; caso contrário devem
ser levadas em conta as covariâncias.
8 Manual de laboratório
Método dos mínimos quadrados
Em certas ocasiões, coleta-se no laboratório um conjunto de N dados em pares (xi, yi),
e pretende-se verificar uma relação entre essas medidas. Havendo uma relação linear entre os
observáveis x e y, ou seja, y = Ax + B, pode-se verificar essa relação por meio de um ajuste
linear (ou regressão linear), que tem como objetivo encontrar o possível intervalo de valores em
que podemos encontrar os coeficientes linear B e angular A.
Considere que para as medidas (xi, yi) ajustou-se um reta yi = axi+ b, com suas respectivas
incertezas δa e δb. Assim, os resultados do ajuste linear podem ser confrontados com os valores
conhecidos das grandezas, a saber: A = a± δa e B = b± δb.
Para fazer o ajuste linear, pode-se examinar o comportamento dos desvios dos pontos
experimentais em relação as retas, yi − axi − b, considerando a e b como variáveis. A ideia do
método dos mínimos quadrados é encontrar o extremo da soma dos desvios quadráticos dos
pontos experimentais em relação a reta, ou seja, o que se almeja é calcular os valores de a e b
para os quais o resíduo
χ2 =
N∑
i=1
(yi − axi − b)2 , (6)
é mínimo. Seguindo o procedimento usual do cálculo diferencial em duas variáveis, é necessário
que o gradiente de χ2(a, b) seja nulo. Com efeito, devem-se verificar as igualdades
∂χ2
∂a
= −2
N∑
i=1
(yi − axi − b) = 0 , ∂χ
2
∂b
= −2
N∑
i=1
(yi − axi − b)xi = 0 . (7)
Acima encontra-se um sistema de duas equações lineares nas incógnitas a e b. Ao ser definido o
centróide C = (x¯, y¯) dos dados,
x¯ =
1
N
N∑
i=1
xi , y¯ =
1
N
N∑
i=1
yi . (8)
pode-se expressar a solução desse sistema de equações da seguinte forma:
a =
N∑
i=1
(xi − x¯)(yi − y¯)
N∑
i=1
(xi − x¯)2
, b = y¯ − ax¯ . (9)
Com o fim de verificar se os dados (xi, yi) coletados têm de fato uma relação linear, pode-se
calcular o coeficiente de correlação linear :
R =
N∑
i=1
(xi − x¯)(yi − y¯)√
N∑
i=1
(xi − x¯)
√
N∑
i=1
(yi − y¯)
. (10)
É possível mostrar que −1 ≤ R ≤ 1. Havendo correlação linear entre os dados coletados, o valor
desse coeficiente será próximo da unidade, R ≈ ±1. Caso não haja, esse coeficiente terá um valor
próximo de zero.
Para ser ou não conclusiva uma investigação acerca da relação de linearidade entre dois
observáveis não é suficiente o valor de R. Qual é a chance de as grandezas x e y não terem
Introdução 9
R0
N 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
3 100 94 87 81 74 67 59 51 41 29 0
6 100 85 70 56 43 31 21 12 6 1 0
10 100 78 58 40 25 14 7 2 0,5 0
20 100 67 40 20 8 2 0,5 0,1 0
50 100 49 16 3 0,4
Tabela 2: Probabilidades relacionada à correlação linear entre duas grandezas. Células em branco
correspondem à probabilidade inferior a 0,05%.
correlação linear, e após realizada a coleta de N pares ser calculado um valor |R| > R0? A
resposta está na Tabela 2. Digamos que você finalizou o procedimento experimental da experiência
1.4 (Densidade da água), e encontrou um coeficiente R = 0, 7 após N = 10 medições do par
(m,V ) (massa e volume). A Tabela indica que se m e V não estão correlacionados a probabilidade
disso ocorrer é de apenas 2%, o que fortalece a hipótese de que as medidas estão linearmente
correlacionadas. Para fins didáticos será considerada significativa a correlação linear que dê algo
menor ou igual a 5%.
Uma vez calculados os valores a e b que determinam a melhor reta (calculada com o MMQ),
pode-se estimar as incertezas δa e δb. Considerando que a incerteza na medida x é desprezível, a
grandeza que quantifica a incerteza do observável y é a seguinte:
δy =
√√√√ 1
N − 2
N∑
i=1
(yi − axi − b)2 (11)
Note que a incerteza acima pode ser calculada para no mínimo 3 pontos, porquanto dois pontos
são suficientes para determinar uma única reta.
Usando a propagação quadráticas das incertezas,
δa2 =
N∑
i=1
(
∂a
∂yi
)2
δy2i , δb
2 =
N∑
i=1
(
∂b
∂yi
)2
δy2i , (12)
calcula-se as incertezas dos coeficientes a e b. Os resultados encontrados são:
δa = δy
√√√√√ 1N∑
i=1
(xi − x¯)2
, δb = δy
√√√√√√√√
N∑
i=1
x2i
N
N∑
i=1
(xi − x¯)2
. (13)
Portanto, para realizar o ajuste linear calculado com o MMQ deve-se usar as equações (9) para
calcular, respectivamente, os coeficientes angular e linear, assim como as equações (13) para as
incertezas correspondentes.
Para aplicar o método apresentado deve ser considerada como variável independente a
medição que possui a maior incerteza relativa, ou seja, δy/y � δx/x.
Aqui foi apresentado o MMQ mais simples, sendo possível generalizar o método para outros
casos: pode-se: (i) incluir as incertezas das medições para realizar o ajuste linear ponderado
pelas incertezas de cada medida; (ii) fazer um ajuste não-linear usando o princípio de máxima
verossimilhança (que no caso de um ajuste linear é dado pela equação (7)).
10 Manual de laboratório
Exemplo: Densidade da água
Para determinar a densidade da água utilizou-se uma balança de travessão e uma proveta
graduada (o mais comum é utilizar um único instrumento: o densímetro). Mediu-se a massa de
uma porção de água e o seu volume, sendo esta feita com uma proveta com máxima graduação de
100ml (e cuja incerteza é de 1ml), enquanto que aquela feitas feita com a balança cuja precisão é
de 0,1 g. A partir dessas medidas, construiu-se a Tabela 3 já com a massa da provata da vazia
descontada.
i m± 0, 1 (g) V ± 1 (ml)
1 24,9 25
2 29,4 29
3 33,8 34
4 39,9 40
5 44,4 45
6 49,5 50
7 55,3 56
8 59,2 60
9 64,8 66
10 70,2 71
11 74,3 75
12 81,8 83
13 89,5 90
14 94,9 96
15 98,0 100
N = 15 m¯ = 60,66 g V¯ = 61,33ml
Tabela 3: Dados obtidos pela leitura dos equipamentos.
De acordo com a definição de densidade de um fluido (mantidas temperatura e pressão
constante), o volume V do mesmo deve ser proporcionalao valor da massa m, sendo a constante
de proporcionalidade dada pela densidade ρ. Para verificar essa relação, será feito o ajuste linear
das medidas apresentadas na Tabela 3. Considere a relação linear existente entre o volume e a
massa de água,
V = ρ−1m+ 0 ↔ V = am+ b . (14)
Portanto, é possível obter indiretamente o valor da densidade da água, ρ−1 = a± δa, e de um
possível desvio da origem dos eixos, 0 = b± δb.
Coeficientes linear e angular:
A partir dos dados apresentados na Tabela 3, construiu-se a Tabela 4. Os dois valores
calculados na última linha da tabela acima são suficientes para calcular os coeficiente linear b e
angular a. É preciso, sobretudo, calcular primeiro o coeficiente angular usando a fórmula (9),
a =
N∑
i=1
(mi − m¯)(Vi − V¯ )∑N
i=1(mi − m¯)2
=
8123, 2
7967, 696
= 1,0195 cm3/g ,
Introdução 11
i m− m¯ (g) V − V¯ (ml)
1 -37,76 -35,66
2 -31,26 -31,66
3 -26,86 26,66
...
...
...
N = 15
∑
(mi − m¯)2 = 7967,696 g
∑
(mi − m¯)(Vi − V¯ ) = 8123,2 g·ml
Tabela 4: Análise estatística dos dados.
uma vez que o coeficiente linear b é calculado a partir dos valorers de a, m¯ e P¯ com a equação (9),
b = V¯ − am¯ = (61, 33)− (1, 0195)(60, 66) = −0,51 cm3
É importante destacar que é necessário calcular as incertezas de cada um desses coeficientes.
Para investigar a relação entre as grandezas medidas, calcula-se o coeficiente de correlação
linear (equação (10)):
R =
8123, 2√
7967, 696
√
8283, 33
= 0, 9999 . (15)
Observe na Tabela 2 que a probabilidade de m e V não estarem correlacionados e dar o valor
acima é menor do que 0,05%, indicando que os dados tem sim correlação linear.
Incertezas dos coeficientes linear e angular:
Uma vez construídas as Tabelas 3 e 4, pode-se elaborar a seguinte tabela:
i m2 (kg) (Vi − axi − b)2 (N)
1 620,01 0,0155
2 864,36 0,2146
3 1142,44 0,0026
...
...
...
N = 15
∑
m2i = 63 162,23 g
2
∑
(Vi − axi − b)2 = 1,594(cm3)2
Tabela 5: Análise estatística dos dados.
Para calcular a incerteza δV , usou-se o valor calculado na última linha da Tabela 5 na
equação (11),
δV =
√√√√ 1
15− 2
15∑
i=1
(Vi − axi − b)2 = 0,35 cm3
A incerteza do coeficiente linear, δb, é calculada com a equação (13), ao substituir os valores
apropriados das últimas linhas das Tabelas 4 e 5,
δb = δV
√√√√√√√√
15∑
i=1
m2i
15
15∑
i=1
(mi − m¯)2
= 0, 35
√
(63162, 23)
15(7967, 696)
= 0,25 cm3 .
12 Manual de laboratório
E a incerteza do coeficiente angular, δa, é calculada com a equação (13), substituindo o valor
apropriado da última linha da Tabela 4,
δa = δV
√√√√√ 14∑
i=1
(mi − m¯)2
= 0, 35
√
1
(7967, 696)
= 0,0039 cm3/g .
O ajuste linear é dado pelos parâmetros e suas respectivas incertezas:
a = (1,020± 0,004) cm3/g , (16)
b = (−0,5± 0,3) cm3 . (17)
Propagação quadrática de incertezas:
O cálculo da densidade e sua respectiva incerteza são:
ρ = a−1 = 0,980 392 157 g/cm3 , δρ =
δa
a2
= 0,0042 g/cm3 (18)
A análise dos dados medidos permitiu encontrar a densidade da água,
ρ = (9,80± 0,04)× 10−1 g/cm3 , (19)
bem como o provável intervalo do valor da reta quando m = 0, que é dado por:
b = (−5± 3)× 10−1 cm3 . (20)
Confira as probabilidades contidas nas Tabelas 1 e 2 e veja que os valores de R e de b são conclusivos
quando se admite o valor de referência bref = 0; a discrepância Db = tbδb é caracterizada por
tb = 0, 7. O resultado para a densidade da água de torneira (não destilada) indica a presença de
incertezas sistemáticas.
Incertezas sistemáticas:
Na prática sempre existem incertezas sistemáticas. Nesse exemplo são por causa de alguns
fatores como: pequenas gotas de água na parede interna da proveta; marcas da escala e calibração
da balança e da proveta; etc.
As incertezas calculadas pelo MMQ (não ponderado) não levam em conta as incertezas
sistemáticas, apenas as aleatórias. Para tornar isto claro, basta confrontar a incerteza de leitura
da proveta δVtotal = 1ml com a incerteza retornada pelo ajuste linear, δValeat. = 0,4ml. Para
fazer uma estimativa mais realista com a incerteza total (sistemática e aleatória) da densidade,
aplica-se o MMQ ponderado pelas incertezas do volume (ver o Apêndice A). O resultado é dado
por
a = (1,02± 0,01) cm3/g , (21)
b = (−0,5± 0,7) cm3 , (22)
ρ = (9,8± 0,1)× 10−1 g/cm3 . (23)
Após o método ponderado veja que as discrepâncias agora são tb = 0, 3 e tρ = 1, 8, o que
permite-nos concluir que de fato há correlação linear entre m e V assim como o valor estimado
para a densidade da água reproduz o valor conhecido de ρref = 9,98× 10−1 g/cm3 (a 22 ◦C).
Introdução 13
Problemas:
1. Complete a Tabela 4 fazendo o cálculo de todos as somatórias pertinentes. Com isso calcule
os valores de a, b e R.
2. Complete também a Tabela 5 fazendo o cálculo de todos as somatórias pertinentes. Com
isso calcule os valores de δa, δb e δy.
3. Use o formato a = ( ± ) cm3/g para relatar a sua estimativa, usando apenas 1
algarismo significativo para a inceteza.
4. Use a propagação quadrática das incertezas para mostrar como calcular as fórmulas (18) e
(??).
5. Usando a sua estimativa para densidade da água determine a massa de água m0 = ρV0
contida V0 = (3,00± 0,01)× 102 ml. Escreva o seu resultado na forma padrão: m0 =
( ± ) 102 g.
1 Tubo em U
Objetivos
• Aprender a realizar a medida da massa e do volume de um líquido;
• Usar um aplicativo numérico com a finalidade de ajustar uma reta aos dados experimentais.
• Estimar a densidade da água de forma indireta;
• Aplicar a lei de Stevin para determinar indiretamente a densidade do hexano;
Introdução
A densidade de um fluido é uma propriedade que assume um dado valor em um dado ponto
(x, y, z) do espaço, isto é, refere-se a um ponto fixo do espaço e não a uma determinada partícula
do fluido. Todavia, ao considerar um fluido homogêneo, a densidade ρ do mesmo não altera de
valor em cada ponto, e com isso fica determinada pela razão
ρ =
m
V
↔ V = am+ b , (1.1)
entre uma certa quantidade de massa m e o volume V que esta substância ocupa. Note a relação
linear entre as quantidades V e m, sendo os coeficientes angular a = ρ−1 e linear b = 0.
O princípio da estática dos fluidos que utilizaremos mais adiante é a lei de Stevin [Nussens-
veig, 2002]:
A pressão a uma certa profundidade y de um fluido incompressível em equilíbrio na
presença de um campo gravitacional aumenta linearmente com a profundidade,
p(y) = p0 + ρgy . (1.2)
A origem do eixo vertical y = 0 é a interface entre o fluido (de densidade ρ) e a atmosfera onde a
pressão vale p0, quando o fluido encontra-se na presença de um campo gravitacional cujo valor da
aceleração da gravidade local é dada por g.
Para um tubo em forma de U que contém um único fluido como na figura 1.4 (a), a pressão
depende apenas da profundidade, de maneira que em qualquer profundidade abaixo da superfície
a pressão nos dois lados do tubo é a mesma. Este raciocínio é válido desde de que o tubo em U
esteja preenchido com somente um fluido tal que a densidade seja constante por todo tubo, já
que essa é uma hipótese chave na derivação da lei de Stevin (1.2).
Na figura 1.4 (b), a densidade varia abruptamente de ρ1 para ρ2 quando passamos de um
fluido para o outro, e portanto, não podemos usar a lei de Stevin para comparar as pressões em
dois líquidos diferentes. Contudo, é possível comparar as pressões em diferentes pontos dentro
de uma mesma quantidade de fluido. Considere a pressão no ponto B da figura 1.4 (b). Este
ponto está dentro do líquido 1 e está logo abaixo da interface que separa os dois fluidos. Como
consideramos um ponto B que está a uma mesma profundidade que o ponto A, a pressão nestes
dois pontos são iguais, pA = pB.
Agora considere um ponto C dentro do líquido 2 que está logo acima da interface entre os
dois fluidos. Os dois pontos B e C, estando(infinitesimalmente) próximos um do outro, devem
também estar a uma mesma pressão, pA = pB = pC .
Tubo em U 15
A B
(a)
y
0
h
hx
y
0
A
B
C
(b)
Figura 1.1: Tubo em U: (a) apenas um fluido, e (b) contendo dois fluidos.
Aplicando a lei de Stevin aos pontos A e B, e igualando suas pressões pA = pB, é possível
determinar indiretamente a densidade do fluido x,
ρx =
y − y0
yx − y0 ρ =
h
hx
ρ , (1.3)
a partir das medidas das alturas das colunas líquidas h = y − y0 e hx = yx − y0, e de uma
densidade já conhecida ρ.
Procedimento experimental
Material utilizado:
Proveta graduada; balança de travessão; água; hexano; painel graduado com tubo em U
aberto; seringa com prolongamento;
? Atenção: A proveta é um equipamento frágil feito de vidro; jamais a submeta a qualquer
esforço físico.
Densidade da água:
• Faça a medida da massa de uma proveta vazia: M0 = ( ± ) g;
• Coloque uma porção de água dentro da proveta e realize a medição do volume do líquido,
apresentado seu resultado na Tabela (1.1). Faça também a medida da massa da proveta
com água e a anote na Tabela supracitada;
M (g) δM (g) V (cm3) δV (cm3)
Tabela 1.1: Medidas diretas do experimento.
• Coloque mais água na proveta e repita a medição da massa e do volume. Termine a coleta
de dados somente quando houver obtido pelo menos cinco pares (Mi, Vi).
16 Manual de laboratório
Densidade do hexano:
• Introduza água devagar no tubo em U por uma de suas extremidades usando uma seringa
com prolongamente. Observe se as superfícies nas duas extremidades estão a uma mesma
altura;
• Lentamente coloque o hexano no tubo, também utilizando uma outra seringa com prolonga-
mento;
• Faça a medição das alturas y1 e y2 das duas superfícies livres dos líquidos (água e hexano).
Meça a altura y0 da interface entre os dois líquidos. Organize seus dados conforme mostra
a tabela abaixo;
y (cm) δy (cm)
interface
água
hexano
Tabela 1.2: Alturas medidas diretamente no tubo em U.
Análise de dados
Densidade da água:
1. Use os seus dados para determinar a massa de água contida na proveta em cada estapa e
preencha os valores na Tabela abaixo, sendo m = M −M0. (Confira o Problema 2)
massa volume
m (g) δm (g) V (ml) δV (ml)
...
ajuste linear: coef. angular: a = ( ± )ml/g
V = aρ−1 + b coef. linear: b = ( ± )ml
Densidade: água: ρ = ( ± ) g/cm3
ρ = a−1
Tabela 1.3: Medidas indiretas da experiência.
2. Utilize um PC do laboratório para ajustar uma reta aos dados contidos na Tabela 1.3 (Veja
como no Apêndice A);
3. Faça os cálculos para ajustar uma reta aos dados contidos na Tabela 1.3 aplicando o MMQ:
(a) Faça o gráfico de V vs. m, e verifique se existe a relação linear (1.1);
Tubo em U 17
(b) Escreva o coeficiente angular na forma padrão:
a = ( ± ) cm3/g;
(c) Apresente também o coeficiente linear: b = ( ± ) cm3;
(d) Anote o valor calculado para o coeficiente de correlação linear R2;
Faça o Problema 3 para entender o motivo de expressar o volume V em termos de m.
4. Apresente a sua estimativa para a densidade da água na forma padrão (equação (1.1)):
ρ = ( ± ) g/cm3 (veja o Problema 4, e faça o Problema 5 como lição de casa).
5. Adote como valor verdadeiro a densidade da água ρágua = 9,98× 10−1 g/cm3. Calcule a
incerteza percentual da medida, |ρ− ρágua|/ρágua.
Densidade do hexano:
1. Utilize as alturas medidas de forma direta (Tabela 1.2) para encontrar as alturas das colunas
líquidas h e hx. Coloque esses valores na tabela abaixo;
h (cm) δh (cm) ρ (g/cm3) δρ (g/cm3)
água
hexano
Tabela 1.4: Medidas indiretas do tubo em U.
2. A partir da equação (1.3) e os valores contidos na tabela 1.4, determine o valor da densidade
do hexano;
3. Propague as incertezas de h, hx e ρ com o objetivo de determinar a incerteza da densidade
do hexano (c.f. Problema 6);
4. Use o formato ρx = ( ± ) g/cm3 para relatar a sua estimativa;
Problemas
1. Partindo da lei de Stevin (1.2), mostre como chegar à equação (1.3) quando o tubo contém
dois líquidos que não se misturam.
2. Por meio da propagação quadrática das incertezas das massas M0 e Mi, mostre que
δmi =
√
δM20 + δM
2
i
3. Calcule a incerteza relativa do volume deslocado, δV/V , e verifique que esta é maior que
a incerteza relativa da massa, δm/m. Para tal utilize cada par (mi, Vi) contido na tabela
Tabela 1.3.
Como regra, a medição com maior incerteza relativa é que deve ser expressa em termos da
outra medição do par.
4. Por meio da propagação quadrática das incertezas mostre que
δρ =
δa
a2
é a incerteza da medida da densidade da água.
18 Manual de laboratório
5. Leia as intruções no Apêndice e faça todos os cálculos do ajuste linear V = am + b.
Compare os seus resultados com os respectivos valores que foram calculados numericamente
pelo PC.
6. Demostre que a incerteza relativa da densidade obtida no tubo em U é dada por
δρx
ρx
=
√(
δh
h
)2
+
(
δhx
hx
)2
+
(
δρ
ρ
)2
7. Escreva os resultados de suas estimativas para as densidades da água e do hexano em
notação científica utilizando kg/m3 (SI).
8. Determine a incerteza relativa da densidade da água, δρ/ρ; escreva-a em termos de porcen-
tagem. Faça o mesmo cálculo para a incerteza relativa da densidade do hexano, δρx/ρx;
também escreva o valor em porcentagem. Compare essas incertezas relativas, e decida qual
método de mediação tem maior precisão.
9. Adote como valor verdadeiro a densidade do hexano ρH = 6,55× 10−1 g/cm3. Calcule o
erro percentual da medida, |ρx − ρH |/ρH , e responda: A medição foi acurada?
10. Use as suas estimativas de ρ e ρx para estimar a massa de 5× 102 ml de água e hexano,
respectivamente.
2 Princípio de Arquimedes
Objetivos
• Reconhecer que a força de empuxo independe do material imerso num fluido;
• Aprender a aplicar o método dos mínimos quadrados, e a utilizar um aplicativo para realizar
um ajuste linear;
• Verificar a validade do princípio de Arquimedes em condições controladas no laboratório;
• Determinar de forma indireta a densidade de um fluido.
Introdução
Sempre que um objeto está total ou parcialmente imerso num fluido em repouso, há uma
força de interação entre os mesmos (objeto e fluido). Se o objeto exerce uma força ~F sobre o
fluido, então o fluido reage exercendo sobre o objeto uma força ~E = −~F . Mais ainda, a força de
empuxo ~E tem direção perpendicular a superfície do fluido, e sentido para o exterior deste. Isto
está de acordo com a Lei de Stevin – equação (1.2) – porquanto há uma força resultante sobre o
corpo imerso devido à pressão exercida ao longo de toda a sua superfície.
Muito antes de se tornar conhecida a Lei de Stevin, Arquimedes de Siracusa forneceu uma
explicação simples para este fenômeno, postulando uma relação linear entre a intensidade da
força de empuxo E = | ~E| e o volume V de fluido deslocado pelo objeto:
E = ρgV , ↔ V = aE + b . (2.1)
O coeficiente de proporcionalidade a = (ρg)−1 é dado pelo inverso do produto da densidade do
fluido ρ com a aceleração da gravidade g. E o coeficiente linear deve ser (em teoria) nulo, b = 0.
Veja o Problema 3 para entender o porquê de o volume V ser expresso em termos de E. Convém
destacar que a intensidade da força não depende do material de que é feito o corpo de prova, mas
tão somente do volume de fluido que este desloca.
Nessa experiência serão feitas medidas (indiretas) do par de grandezas (Ei, Vi) com os
objetivos de verificar a validade da relação linear (2.1) e de determinar a densidade do fluido:
ρ = (ag)−1.
20 Manual de laboratório
Procedimento experimental
Material utilizado:
Dinamômetro tubular; proveta graduada; corpo de
prova; suporte para suspender o corpo; água.
Montagem:
Certifique-se de que a haste está bem fixa, e prenda o
dinamômetro (D) na haste da torre. Suspenda o corpo de
prova (C) usando o ganchodo dinamômetro.
Atenção: A proveta é um equipamento frágil feito de
vidro; jamais a submeta a qualquer esforço físico.
Coloque uma porção de no máximo 100ml de água
dentro da proveta (P). Mergulhe totalmente o corpo (C)
dentro da proveta e verifique se a água transborda. Em
caso afirmativo, esolha a porção de água mais adequada.
torre
C
D
P
Realize a coleta de dados seguindo os passos a seguir:
• Faça a leitura do volume de água contido na proveta. Anote sua medida na forma padrão:
V0 = ( ± )ml;
• Verifique se o dinamômetro está calibrado. Em seguida suspenda o dinamômetro no suporte,
e prenda o corpo de prova no gancho. Leia a escala e anote sua medida para a intensidade
do peso do corpo de prova: P0 = ( ± )N.
• Com cuidado, mergulhe totalmente o objeto na água contida na proveta. Ao ler a escala do
dinamômetro, observe que aparentemente o peso do objeto diminuiu. Ao mesmo tempo a
leitura da escala na proveta aumentou. Anote na Tabela 2.1 ambos, o volume U e o peso
aparente W lidos nas escalas (com suas respectivas incertezas).
W (N) δW (N) U (ml) δU (ml)
Tabela 2.1: Medidas diretas do experimento.
• Regule a altura do objeto, mexendo com cuidado no parafuso preso a haste, para deixar
uma parte do objeto fora da água, e anote novamente o par de dados na Tabela 2.1.
• Repita o passo anterior até que se tenha pelo menos cinco pares de dados.
Análise de dados
1. Para preencher a tabela a seguir, determine o volume de líquido deslocado em cada etapa,
V = U − V0, assim como a magnitude do empuxo, E = P0 −W . Coloque na Tabela os
dados em unidades do SI (Problema 2).
Princípio de Arquimedes 21
empuxo volume
E (N) δE (N) V (ml) δV (ml)
...
ajuste linear: coef. angular: a = ( ± )ml/N
V = aE + b coef. linear: b = ( ± )ml
Densidade: água: ρ = ( ± ) g/cm3
ρ = (ag)−1
Tabela 2.2: Medidas indiretas da experiência.
2. As incertezas δV e δE contidas na Tabela 2.2 devem ser preenchidas usando a propagação
quadrática das incertezas que está descrita na introdução 5 (c.f. Problemas 3 e 4)
3. Verifique se os dados que foram coletados possuem correlação linear (equação (10)). Em
caso negativo, realize novamente o procedimento experimental.
4. Faça o ajuste linear – método dos mínimos quadrados, equações (9) e (13) – expresso na
equação (2.1):
(a) Determine o coeficiente angular a do ajuste, e o escreva na forma padrão: a =
( ± ) 10−4 m3/N.
(b) Encontre o coeficiente linear b do ajuste linear: b = ( ± ) 10−5 m3.
(c) Faça o gráfico de V versus E utilizando um aplicativo de dados científicos (ver o
apêndice A).
5. Apresente a sua estimativa para a densidade da água com sua respectiva incerteza: ρ =
( ± ) 103 kg/m3. (c.f. o Problema 5).
Problemas
1. Se o dinamômetro não estiver calibrado, haverá ou não um erro sistemático em suas medidas
de empuxo? Justifique.
2. Explique como fazer a mudança de unidades: 1ml = 10−6 m3.
3. Verifique que a incerteza relativa do volume deslocado, δV/V , é maior que a incerteza
relativa do empuxo, δE/E. Para tal utilize cada par (Ei, Vi) contido na tabela Tabela 2.1.
Como regra, a medição com maior incerteza relativa é que deve ser expressa em termos da
outra medição do par.
4. Mostre que as incertezas do volume de líquido deslocado e do empuxo (Tabela 2.2) devem
ser calculadas com as seguintes fórmulas:
δV =
√
δU2 + δV 20 , δE =
√
δW 2 + δP 20 .
22 Manual de laboratório
5. Explique o porquê de a incerteza da densidade da água é obtida pela fórmula:
δρ = ρ
√(
δa
a
)2
+
(
δg
g
)2
.
6. Escreva o resultado da sua estimativa para a densidade da água em notação científica
utilizando kg/m3.
7. Adote como valor verdadeiro a densidade da água ρref = 1,00 g/cm3. Calcule a incerteza
percentual da medida, |ρ− ρref|/ρref, e responda: A medição foi acurada?
3 Pêndulos simples e físico
Objetivos
• Verificar a isocronicidade de um pêndulo no regime de pequenas oscilações;
• Estimar o período do pêndulo por meio da repetição de medidas em condições idênticas.
• Aplicar o método dos mínimos quadrados, utilizar um aplicativo de PC para realizar um
ajuste linear;
• Determinar a intensidade da aceleração da gravidade local.
• Determinar o momento de inércia de alguns objetos.
Introdução
O comportamento dinâmico de um pêndulo (mostrado na Figura 3.1) quando é desconside-
rada a força de arrasto do ar compreende dois comportamentos distintos: rotação ou oscilação.
No primeiro caso a energia (E > 2mgL) contida no sistema é suficiente para haver uma rotação
contínua ao redor do ponto de suspensão. Já no segundo caso, a energia (E < 2mgL) determina
um movimento oscilatório entre dois pontos de retorno – onde a amplitude é máxima e a velocidade
da massa é nula.
t(s)
θ(rad)
(b)
T
T
T
T
+θ0
−θ0
Figura 3.1: Pêndulo simples (a) que consiste num corpo de massa m suspensa por um fio de massa
desprezível e comprimento L, cujo ponto de suspensão é mantido imóvel; a energia potencial
gravitacional é nula para θ = 0; (b) gráfico da posição em função do tempo.
Para pequenas oscilações do pêndulo, em que θ � 1 em rad, o movimento é harmônico:
o período de cada oscilação é o mesmo, independente da amplitude. A mecânica Newtoniana
Nussensveig [2002] determina que o período depende apenas do comprimento do fio e da intensidade
da aceleração da gravidade:
T = 2pi
√
L
g
, ↔ T 2 = aL+ b . (3.1)
24 Manual de laboratório
Observe que para estabelecer uma relação de linear é conveniente usar o período elevado ao
quadrado. Assim, o coeficiente de proporcionalidade entre T 2 e L é dado por a = 4pi2/g. E o
coeficiente linear (teórico) é nulo, b = 0. É possível concluir então que o período não depende da
massa do corpo em oscilação (no regime de pequenas oscilações).
Serão realizadas medidas diretas do par de grandezas (Li, Ti) com a finalidade de verificar
a validade da relação linear (3.2) e de estimar o valor de g = 4pi2/a no laboratório.
Procedimento experimental
Material utilizado:
Objeto cilíndrico; linha delgada; suporte com transferidor
montado sobre um tripé; cronômetro; régua/trena; Objeto
sólidos: disco, aro, triângulo.
Montagem:
Monte o suporte e verifique se o mesmo está estável. Separe
cerca de 1m de linha/fio (F) e a prenda com um nó no gancho
do cilíndro (O). A outra extremidade deve ser presa no suporte
de maneira que não haja qualquer movimento do ponto de
suspensão.
Observe que ao abandonar o objeto (a patir do repouso)
pode ocorrer de o movimento não ser plano, ou ainda que haja
uma rotação do cilíndro em torno do eixo de simetria deste.
Em qualquer um destes casos treine o lançamento visando
minimizar esses efeitos porquanto não há previsão para isso
no modelo teórico apresentado.
Para observação e coleta de dados do pêndulo físico prenda
o suporte apropriado, que encaixa no pequeno furo do objeto.
torre
F
O
θ
Regime isócrono:
• Posicione o pêndulo a uma inclinação fixa (menor que 10◦) e solte-o a partir do repouso. Em
seguida utilize o cronômetro para medir o intervalo de tempo entre 5 oscilações completas.
Anote na Tabela 3.1 o comprimento do fio L e o tempo t = 5T ;
Utilize comprimentos maiores que 1,0m, medidos do ponto de suspensão ao centro de massa
do cilíndro.
L (cm) δL (cm) t (s)
Tabela 3.1: Medidas diretas para o regime isócrono.
Pêndulos simples e físico 25
• Mantendo o mesmo comprimento, repita o item anterior outras quatro vezes e anote as
cinco medições para o tempo de complete a coluna cujo cabeçalho é t;
• Regule o comprimento do fio, e torne a fazer oscilar a massa como nos passos anteriores;
anote novamente o par de dados na Tabela 3.1. Repita todo o procedimento feito até que
se tenha pelo menos oito linhas preenchidas na Tabela acima.
Regime não-isócrono:
• Faça a medição do comprimento do fio e anote: L0 = ( ± ) cm;
• Posicione o pênduloa uma inclinação de 5◦ e solte-o a partir do repouso. Em seguida utilize
o cronômetro para medir o intervalo de tempo entre 5 oscilações. Anote na Tabela 3.2 a
amplitude θ0 e o tempo t = 5T ;
θ0 (rad) δθ0 (rad) t (s)
Tabela 3.2: Medidas diretas para o regime não isócrono.
• Mantendo a mesma amplitude, repita o passo anterior mais duas vezes; assim as a colunas
t estará preenchida com cinco amostras;
• Repita os passos anteriores alterando apenas a amplitude (10◦, 15◦, 20◦, 25◦);
Pêndulo físico:
Para cada objeto com geometria diferente fixe o furo do mesmo no suporte.
• Posicione o objeto a uma inclinação fixa (menor que 10◦) e solte-o a partir do repouso. Em
seguida utilize o cronômetro para medir o intervalo de tempo entre 10 oscilações completas.
Anote na Tabela 3.3 a distância s e o tempo t = 10T ;
s (cm) δs (cm) t (s)
disco
aro
triângulo
Tabela 3.3: Medidas diretas para o período de pêndulos físicos.
• Com o mesmo objeto, repita o item anterior outras quatro vezes e complete as três colunas
cujo cabeçalho é t;
• Troque de objeto e torne a fazer oscilar a o mesmo como nos passos anteriores; anote
novamente o tempo na Tabela 3.3. Repita todo o procedimento feito até aqui para cada um
dos objetos disponíveis.
26 Manual de laboratório
Análise de dados
Regime isócrono:
1. Para preencher a tabela a seguir é preciso realizar o tratamento estatístico das medidas
de período (c.f. os Apêndices e A); para cada linha da Tabela 3.4 determine o período
dividindo por 5 o valor médio das cinco oscilações:
T =
1
5
t¯ =
1
5
5∑
i=1
ti .
L (cm) δL (cm) T (s) δT (s) T 2 (s2) δ(T 2) (s2)
ajuste linear: coef. angular: a = ( ± ) s2/m
T 2 = aL+ b coef. linear: b = ( ± ) s2
Tabela 3.4: Medidas indiretas no regime isócrono.
2. A incerteza de cada medição é dada pela incerteza padrão:
δT =
1√
5
√√√√ 1
5− 1
N∑
i=1
(
ti − t¯
5
)2
=
1
5
√
5
σt .
É improvável que δT < 0,01 s, isto é, que a incerteza padrão seja menor que a incerteza do
cronômetro; caso isto ocorra, use a incerteza do cronômetro.
3. Complete as duas últimas colunas da Tabela 3.4, onde consta T 2 e δ(T 2) = 2TδT .
(ver o Problema 3)
4. Faça o ajuste linear com a ajuda de um PC – apêndice A – expresso na equação (3.2):
(a) Determine o coeficiente angular a do ajuste, e o escreva na forma padrão: a =
( ± ) 102 s2/m.
(b) Encontre o coeficiente linear b do ajuste linear: b = ( ± ) s2.
(c) Faça o gráfico de T 2 vs. L utilizando um aplicativo de dados científicos (ver o apêndice
A).
5. Aplique o método dos mínimos quadrados e certifique-se de que você sabe calcular os
coeficientes a, b e R.
6. Apresente a sua estimativa para a magnitude da aceleração da gravidade:
g = ( ± ) 103 m/s2. (c.f. o Problema 4).
Pêndulos simples e físico 27
Regime não-isócrono:
• Complete a Tabela 3.5 seguindo os mesmos passos anteriores com o fim de obter as medidas
de período:
T =
1
5
t¯ =
1
5
5∑
i=1
ti , δT =
1√
5
√√√√ 1
5− 1
N∑
i=1
(
ti − t¯
5
)2
=
1
5
√
5
σt .
θ (rad) δθ (rad) T (s) δT (s)
Tabela 3.5: Medidas indiretas no regime isócrono.
• Verifique para quais valores de amplitude o período das oscilação do pêndulo é isócrono.
Pêndulo físico:
1. Para preencher a tabela a seguir é preciso realizar o tratamento estatístico das medidas de
período (c.f. os Apêndices e A); para cada linha da Tabela 3.3 determine período dividindo
por 10 o valor médio das cinco oscilações:
τ =
1
10
t¯ =
1
10
10∑
i=1
ti .
s (cm) δs (cm) T (s) δT (s) k (cm) δk (cm)
disco
aro
triângulo
Tabela 3.6: Medidas dinâmicas para os raios de giração dos pêndulos físicos.
2. A incerteza de cada medição é dada pela incerteza padrão:
δT =
1√
5
√√√√ 1
5− 1
N∑
i=1
(
ti − t¯
10
)2
=
1
10
√
5
σt .
3. Complete a Tabela 3.6, calculando o raio de giração e sua respectiva incerteza.
(ver o Problema 8.)
T = 2pi
√
Mgs
I
, I = Mk2 ↔ k = 2pi
T
√
gs . (3.2)
Use o valor de g estimado anteriormente.
28 Manual de laboratório
Problemas
1. Discuta em grupo quais erros sistemáticos podem estar presentes: momento angular da
massa em torno de seu eixo de simetria; movimento não planar do pêndulo; forças de arrasto;
etc.
2. Explique por que foi escolhido fazer a medição de cinco oscilações para cada estimativa do
período ao invés de uma única? Dica: Compare o tempo médio de reação (∼ 200ms) do
experimentador com um típico período do pêndulo (∼ 1 s).
3. Mostre que as incertezas d(T 2) devem ser calculadas com a seguinte fórmula:
δ(T 2) = 2TδT .
4. Aplique a propagação de incertezas para mostrar que
δg =
4pi2
a2
δa .
5. Faça uma estimativa do período de um pêndulo de comprimento (5,37± 0,01)× 10−1 m
usando o seu ajuste linear para o regime de oscilação isócrona: T = ( ± ) s
6. Adote como valor verdadeiro a aceleração da gravidade gv = 9,78m/s2. Calcule a incerteza
percentual da sua estimativa, |g − gv|/gv.
7. Para realizar um outro possível ajuste linear basta tomar o logarítmo em ambos os lados
da equação (3.2),
log T =
1
2
logL+ log
(
2pi√
g
)
↔ log T = a logL+ b
Nesse contexto, num gráfico Log–Log contruído como log T vs. logL é observada uma
relação linear. Mais ainda, a inclinação do gráfico deve ser a = 1/2 e o coeficiente linear
é que fornece o valor da aceleração da gravidade: g = 4pi2 e−b. Como exercício, faça uma
estimativa para g por meio desta regressão linear.
8. Calcule a seguinte expressão para a incerteza do raio de giração (medição dinâmica) aplicando
a propagação de incertezas:
δk = k
√(
δT
T
)2
+
(
δs
s
)2
+
(
δg
g
)2
.
9. Utilize as medidas dos raios de giração encontrados e da massa de cada objeto para fazer
uma estimativa do momento de inércia I = Mk2 de cada um deles.
4 Oscilador harmônico amortecido e forçado
Objetivos
• Observar um movimento harmônico sujeito a efeitos dissipativos;
• Aprender a utilizar um sonar com o objetivo de monitorar oscilações;
• Estimar o período das oscilações harmônicas;
• Quantificar o tempo de relaxação de uma oscilação amortecida por meio do ajuste de uma
exponencial; determinar o fator Q;
• Observar o efeito de uma perturbação periódica no tempo sobre um oscilador amortecido.
Introdução
As oscilações livres de qualquer sistema físico real sempre decaem com a passagem do
tempo, ou seja, é inevitável a presença de dissipação da energia mecânica em sistemas oscilantes.
Nessa experiência será investigada a introdução de forças dissipativas no movimento harmônico
simples.
yeq
t(s)
y(cm)
+Y0 +Y0 e
−γt/2
−Y0 −Y0 e−γt/2
Figura 4.1: Gráfico da posição em função do tempo para o movimento harmônico amortecido do
sistema massa–mola–disco.
Um sistema massa–mola é o protótipo de oscilações harmônicas, e quando é acoplada uma
placa junto à massa a força de arrasto aumenta consideravelmente. Considere uma mola de massa
m e constante elástica k que suspende uma carga de massa M conforme mostra a Figura 4.1.
Admitindo uma força de resistência do ar proporcional à velocidade do sistema, −bv, sendo b o
coeficiente de amortecimento, a equação de movimento do sistema é dada por:
d2y
dt2
+ γ
dy
dt
+ ω20 (y − yeq) = F (t) , onde ω0 =
√
k/mef γ = b/mef . (4.1)
Destaca-se que a massa efetiva mef depende das massas da carga, da placa e da mola. A posição
vertical y(t) é dada pela solução formal da equação diferencial de segunda ordem (não-homogênea)
30 Manual de laboratório
escrita acima acrescida da posição de equilíbrio. No regime de amortecimento subcrítico (γ/2 < ω0)
as soluções são: Nussensveig [2002]
y(t) = yeq + Y0 e
−γt/2 cos(ωt+ ϕ) , onde ω =
√
ω20 −
γ2
4
. (4.2)
As constantes Y0 e ϕ são usadas para o ajuste das condições iniciais.
Observeque as envoltórias (linhas tracejadas na Figura 4.1) são dadas pelas funções
Y (t) = ±Y0 e−γt/2. Com a finalidade de realizar um ajuste linear pode-se tomar o logarítmo do
valor absoluto da envoltória (A(t) = |Y (t)|):
lnA(t) = −γ
2
t+ lnA0 ↔ lnA(t) = at+ b . (4.3)
Num gráfico lnA(t) vs. t espera-se observar uma reta de inclinação negativa. Nesse ajuste o
coeficiente angular está relacionado com a taxa de dissipação: γ = −2a, enquanto que o coeficiente
linear fornece o logarítmo da amplitude inicial do oscilador, b = lnA0.
Procedimento experimental
Material utilizado:
Torre de suspensão; mola helicoidal e placa acrílica com engate; sensor de posição (ultrassom),
cabos serial e USB; Interface analógica/digital, PC e aplicativo; Bobina, cabos e gerador de sinal
(elétrico) harmônico. (Para saber os pormenores consulte o manual Ramos [b].)
Antes de começar o experimento ligue o PC na bancada do laboratório e faça o login na
conta de aluno.
Montagem:
Posicione na parte superior da torre o suporte
para molas, e o deixe a cerca de 1m da base da torre.
Coloque a bobina (B) no suporte escuro, e passe a
mola (k) através da bobina. Com cuidado prenda o
engate no disco acrílico (M).
Posicione o sensor de posição (S) voltado para
cima acoplando o mesmo na parte baixa da torre.
Ajuste a distância entre o disco acrílico e o sonar: a
distância deve ficar em torno de 50 cm. Verifique se
o sonar aponta para o centro do disco.
Conecte o sensor na interface por meio de um
cabo serial. Use o cabo USB para conectar a inter-
face de laboratório na porta USB do PC. Encerre a
montagem conectando a bobina no gerador de sinal
(G).
y
yeq
y = 0
y(t)
torre
k,m
M
GB
S PC
Inicie o aplicativo CidepeLab 4 no PC, e configure o sensor de posição (leia o apêndice B).
Abra uma janela no menu Ferramentas » Osciloscópio. É necessário ajustar a escala clicando no
botão propriedades – “ícone prancheta”. Entre com os seguintes parâmetros: Tempo total: 20 s;
amostragem: 1ms; Escala do sensor: entre 0,4m e 0,6m.
Oscilador harmônico amortecido e forçado 31
Coloque o sistema para oscilar na direção vertical (a amplitude de oscilação não precisa ser
muito grande!). Inicie e finalize a obtenção dos dados no osciloscópio usando os botões play e
stop, respectivamente.
Salve os dados e abra uma janela de gráfico no menu Ferramentas » Gráfico. Clique para
selecionar os dados que se encontram no painel configuração » Curvas, e arraste o mesmo até a
janela de gráfico. Observe se é possível reconhecer as oscilações amortecidas (se necessário ajuste
as escalas clicando em propriedades – “ícone prancheta”).
Período das oscilações:
1. Com a finalidade de medir o período das oscilações do sistema massa–mola ligue o sonar e
monitore o movimento oscilatório conforme feito anteriormente.
2. Na janela Gráfico clique no botão mostrar coordenadas – “ícone linhas azuis”. Utilize o cursor
do mouse para localizar o primeiro máximo (ou mínimo), e anote a coordenada horizontal
(tempo t) que aparece logo abaixo do gráfico. Anote também a cordenada horizontal t′ do
último máximo (ou mínimo). Conte o número N de oscilações entre os máximos (mínimos)
anotados.
3. Calcule a sua estimativa para o período, T = (t′ − t)/N . Anote o período encontrado:
T = ( ± ) s
4. Estime a incerteza de sua medição do período do sistema massa–mola–disco com base na
resolução do cursor na janela gráfica, i.e., verifique a diferença entre coordenadas para o
menor movimento horizontal que pode ser executado.
Decaimento das oscilações:
Utilize um dos gráficos anteriores da posição vertical do sistema medida por meio do sonar.
5. Na janela Gráfico clique no botão ajuste vertical. Eleve ou abaixe o gráfico das oscilações
com o fim de centralizá-la em torno da origem y = 0.
6. Também na janela Gráfico clique no botão mostrar coordenadas – “ícone linhas azuis”. Utilize
o cursor do mouse para localizar o primeiro máximo (ou mínimo), e anote as coordenadas
horizontal e vertical, t1 e y(t1) = Y (t1), que aparecem logo abaixo do gráfico.
7. Preencha na Tabela 4.1, colocando o tempo t e valor absoluto da posição medida An =
A(tn) = |Y (tn)|.
t (s) δt (s) A (cm) δA (cm)
período: T = ( ± ) s
Tabela 4.1: Medidas diretas para o decaimento das oscilações.
8. Repita a leitura para cada máximo (mínimo) que aparece no gráfico; complete a tabela até
que se tenha pelo menos uma dezena de pares (tn,An).
9. Utilize suas estimativas anteriores para o tempo e a posição.
32 Manual de laboratório
Oscilações forçadas (ressonância):
10. Quando o gerador de sinais é ligado será exercida uma força variável no tempo F (t) =
A cos(2piν) sobre o sistema (por meio da interação magnética entre o campo da bobina e o
ímã no disco). Para colocar o oscilador em ressonância ligue o gerador de sinais (G).
11. Configure a forma da onda para um sinal harmônico: botão wave » 1 ; e a banda de
frequência: botão range » 1. Certifique-se de que o potencial V nos terminais da bobina é
máximo (quase 10V). Aperte a tecla run e comece a observar o oscilador...
12. Ajuste a frequência ν, varrendo algumas frequências em torno de 1Hz. Torne a colocar o
sistema em repouso e o solte, observando se o sistema sai da posição de equilíbrio. Verifique
que a amplitude dessas oscilações aumenta quando ν se aproxima (ou se afasta) da fequência
de ressonância.
13. Tente encontrar o valor aproximado onde a amplitude de oscilação é máxima! Anote essa
frequência, νres = ( ± )Hz.
14. Ligue novamente o sonar e observe no PC a posição do sistema: (i) o sistema sai da antiga
posição de equilíbrio e a amplitde cresce linearmente com o tempo (regime transiente); (ii) na
presença de arrasto, o sistema atinge um regime estacionário; (iii) próximo da ressonância,
ν = νres + ∆ν, observa-se o fenômeno de batimentos; (iv) havendo ressonância, ν ≈ νres, é
observada a oscilação do sistema em fase com a força externa F (t). Proceda como anterior-
mente (passo 2) e anote o período do sistema na ressonância: Tres = ( ± )Hz.
Análise de dados
Período das oscilações:
1. Calcule a frequência do oscilador amortecido: ω = 2pi/T . Apresente o seu resultado na
forma padrão: ω = ( ± ) s−1 (c.f. o Problema 3)
2. Calcule também a frequência linear correspondente, f = 1/T , e a relate na forma usual:
f = ( ± ) s−1.
Decaimento das oscilações:
3. Faça o ajuste linear expresso na equação (4.3) (c.f. as equações (9) e (13)):
(a) Determine o coeficiente angular: a = ( ± ).
(b) Encontre o coeficiente linear: b = ( ± ).
(c) Faça o gráfico de lnA vs. t em uma folha de papel milimetrado.
4. Faça o ajuste linear com a ajuda de um PC – apêndice A. Construa um gráfico em escala
log-linear para os dados contidos na Tabela 4.1.
5. Determine a taxa de decaimento exponencial: γ = ( ± ) s−1.
6. Determine a amplitude inicial do oscilador: A(t = 0) = ( ± ) cm.
7. Calcule a frequência natural de oscilação do sistema: ω0 = ( ± ) s−1.
(veja a equação (4.2))
8. Compare as suas medições de γ e ω0, e verifique se é fraco o amortecimento gerado pelo
resistência do ar: γ � ω0.
Oscilador harmônico amortecido e forçado 33
9. Determine o fator de mérito do oscilador:
Q = 2pi
ω0
γ
.
Apresente o seu resultado na forma usual: Q = ( ± ) (c.f. o Problema 4).
Oscilações forçadas (ressonância):
10. Compare os valores νres e fres = 1/Tres obtidos na (ou bem próximo da) ressonância.
11. Compare a frequência da força externa νres na (ou bem próximo da) ressonância com a
frequência natural f0 = ω0/2pi do sistema. Esses dois valores são compatíveis?
Problemas
1. Verifique que função de posição y(t) = e−γt/2[ c1 cos(ωt)+c2 sen(ωt) ] é a solução da equação
(4.1), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Nussensveig [2002]
2. Repita a medição do período realizando a obtenção dos dados cinco vezes. Faça o tratamento
estatístico (valor médio, desvio padrãoe erro padrão do valor médio) desse conjunto de
medidas e confronte com sua estimativa para a incerteza do período.
3. Mostre que a incerteza da frequência de oscilação ω deve ser calculada com a expressão:
δω =
2pi
T 2
dT
4. Explique o porquê de a incerteza do fator Q ser calculada com a fórmula
δQ = Q
√(
δω0
ω0
)2
+
(
δγ
γ
)2
.
5. A partir de sua medida γ determine o tempo de relaxação Tr = γ−1 do sistema com sua
respectiva incerteza: Tr = ( ± ) s. (Obs.: O tempo de relaxação quantifica o
tempo necessário para que a amplitude diminua para cerca de 37% de seu valor inicial, ou
melhor, A(Tr) = A0/e.)
5 Vibrações numa corda
Objetivos
• Preparar e observar os modos normais de uma corda tensa;
• Realizar medições num frequencímetro digital;
• Relacionar a velocidade de propagação de uma onda com a tensão na mesma;
• Fazer uma estimativa para a impedância de uma corda por meio de um ajuste linear.
Introdução
Diversos fenômenos da natureza podem ser explicados por meio da teoria ondulatória,
seja na propagação de matéria (cordas, molas e água), de gradientes de pressão (som), e de
campo eletromagnético (rádio, luz, raios X e gamma). Em cada caso é possível mostrar que tais
propagações (quando unidimensionais e com pequenas amplitudes) obedecem a equação de ondas:
Nussensveig [2002]
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0 , v =
√
T
µ
. (5.1)
No caso específico de uma onda transversal numa corda, em que os desvios em relação a posição
de equilíbrio y = 0 são (pequenos e) perpendiculares a direção de propagação, a velocidade v da
onda fica completamente determinada pela magnitude da força de tensão T a que está submetida
a corda e pela densidade linear de massa µ (ou seja, depende do meio de propagação).
λ3 =
2
3L
λ2 = L
λ1 = 2L
Figura 5.1: Modos normais de vibração em uma corda.
As possíveis soluções da equação (6.1) são desvios transversais em y que progridem (sentido
+x) ou regridem (sentido −x). Se pulsos são gerados continuamente em uma das extremidades da
corda, estes atingem a outra extremidade fixa (y(L, t) = 0) e retornam com uma adição de fase pi
(podendo ocorrer interferência construtiva ou destrutiva). Dependendo da frequência de pulsos
enviados pode-se estabelecer uma situação de ressonância, em que deixam de ser observadas
ondas progressivas e surgem os modos normais de vibração da corda – Figura 5.1.
Uma maneira heuristica de determinar a forma de um modo normal n numa corda é reco-
nhecer que o comprimento L deve acomodar exatamente um número inteiro de meio comprimento
Vibrações numa corda 35
de onda λn. A partir dessa constatação as ondas estacionárias são tais que L = nλn/2 (sendo
n = 1, 2, . . . o número de ventres/antinodos e n + 1 o número de nodos). As frequências para
essas ondas transversais estacionárias são:
λn =
2L
n
↔ fn = v
2L
n , ↔ f = an+ b . (5.2)
É possível notar que o coeficiente angular de um ajuste linear entre as medições (n, fn) tem que
ser igual a velocidade de propagação da onda na corda: v = 2aL.
Por fim, após a coleta de pares (Tk, vk) variando a tensão, pode-se confrontar essa medida
com a relação v = Z−1 T , onde Z = T/v =
√
Tµ é a impedância da corda. Veja que a impedância
quantifica a relação de linearidade existente entre a velocidade de propagação de uma onda na
corda e a tensão aplicada: v = cT + d. Essa quantidade Z desempenha um importante papel na
transmissão e reflexão de ondas entre cordas com impedâncias diferentes (c.f. Nussensveig [2002],
cap. 5, Problemas 11 e 12).
Procedimento experimental
Material utilizado:
Gerador de impulsos mecânicos com transdutor eletromagnético e frequencímetro; haste,
alinhador com duas mufas e sistema de acoplamento vertical; dinamômetro, massas e gancho;
régua/trena; corda de prova. (Consulte Ramos [c] para mais detalhes.)
Montagem:
Rosqueie a haste (na marcação A) do gerador de
impulsos mecânicos. Fixe um alinhador à haste com
duas mufas a uma altura maior que 60 cm.
Prenda uma extremidade da corda no sistema de
acoplamento vertical logo acima do gerador; aperte
o manípulo para prender a corda; passe a corda por
cima das mufas e coloque o gancho no outro extremo
da corda, suspendendo uma pequena massa (cerca
de 50 g).
Conecte o gerador à tomada e selecione a faixa
de frequências F1 Ligue a chave geral e faça alguns
testes variando a amplitude e a frequência com a
finalidade de encontrar a onda estacionária com um
único ventre (modo fundamental).
haste
alinhador
corda
m
gerador
acoplamento
Observe a formação da onda transversal estacionária conforme a frequência perturbativa se
aproxima (ou se afasta) da frequência de ressonância da corda. Veja que é necessária bastante
concentração (e paciência!) por parte do experimentador para alcançar a ressonância. De todo
modo, familiarize-se com o gerador de impulsos e note que a função F2 tem maior sensibilidade
que a função F1, e por essa razão é mais difícil encontrar os harmônicos de ordem mais alta.
Outro empecilho é que a amplitude de ressonância diminui conforme é aumentada a ordem do
harmônico.
36 Manual de laboratório
Coleta de dados:
• Verifique se o dinamômetro está calibrado. Utilize o dinamômetro para medir a intensidade
da força peso da massa: T = ( ± )N.
• Utilize uma trena para medir o comprimento da corda entre as suas extremidades fixadas:
L = ( ± ) 10−1 m.
• Ajuste o gerador de impulsos mecânicos para produzir oscilações com frequência próxima
de 10Hz (Função F1), e regule a intensidade em torno da metade.
? Atenção: Antes de ligar o equipamento certifique-se de que a corda está bem fixada.
• Ligue a chave geral do gerador e procure a frequência fundamental (n = 1), varrendo a
banda de frequências 10Hz – 40Hz. Após encontrá-la, desligue o gerador de funções e anote
os dados na Tabela 5.1
• Para continuar a preencher a tabela abaixo, siga os passos anteriores procurando pelas
outras ressonâncias (n = 2, 3, 4, . . .).
modo frequência
n f (Hz) δf (Hz)
1
2
...
tensão: Tk = ( ± )N
comprimento: L = ( ± ) 10−1 m
ajuste linear: coef. angular: ak = ( ± )Hz
v = akT + bk coef. linear: bk = ( ± )Hz
velocidade: corda: vk = ( ± )m/s
vk = 2akL
Tabela 5.1: Medidas diretas para a onda numa corda.
• Coloque outra massa no gancho e repita os passos anteriores; organize seus dados como na
Tabela 5.1. Tenha o cuidado de não alterar o comprimento da corda. Termine a coleta de
dados quando houver pelo menos quatro tabelas completas.
Análise de dados
1. Verifique se os seus dados coletados na Tabela 5.1 (e todas as outras) possuem correlação
linear (equação 6.1). Em caso negativo, realize novamente o procedimento experimental.
2. Para cada tensão aplicada na corda: faça o gráfico de f vs. n utilizando um aplicativo de
dados científicos (ver o apêndice A), e realize o ajuste numericamente.
3. Para cada tensão aplicada na corda: aplique o MMQ (equações (9) e (13)) para fazer o
ajuste linear dado pela expressão (5.2):
Vibrações numa corda 37
(a) Determine o coeficiente angular: a = ( ± )Hz.
(b) Encontre o coeficiente linear: b = ( ± )Hz.
(c) Faça o gráfico de f vs. n numa folha de papel milimetrado, e trace a reta ajustada no
mesmo.
(d) Confronte o seu resultado para o ajuste linear com o que foi retornado pelo aplicativo.
(e) Apresente sua estimativa para a velocidade de propagação da onda na corda com sua
respectiva incerteza:
vk = ( ± )m/s. (c.f. a equação (5.2) e o Problema 3).
4. Apresente as suas medidas (Tk, vk) como na Tabela 5.2.
tensão velocidade
T (N) δT (N) v (m/s) δv (m/s)
ajuste linear: coef. angular: c = ( ± ) s/kg
v = cT + d coef. linear: d = ( ± ) s/kg
impedância: corda: Z = ( ± ) 10−2 s/kg
Z = c−1
Tabela 5.2: Medidas indiretas para a onda numa corda.
5. Relate a sua estimativa para a impedância da corda:
Z = ( ± ) kg/s. (c.f. o Problema4).
Problemas
1. Discuta em grupo as possíveis fontes de erro sistemático: calibrações do dinamômetro, da
régua e do frequencímetro; alinhamento vertical da corda. Para cada instrumento utilizado
estime a ordem de grandeza da incerteza relativa de suas medidas.
2. Foi comprovada a validade da relação linear (5.2)? Justifique sua resposta com os seus
dados experimentais e gráficos.
3. Mostre que a incerteza da velocidade da onda deve ser calculada por meio da seguinte
fórmula:
δv = v
√(
δa
a
)2
+
(
δL
L
)2
.
Verifique se algumas das incertezas pode ser desprezada. Justifique a sua resposta.
4. Calcule a propagação das incertezas para a impedância da corda. A resposta é a seguinte:
Z = c−1 , δZ =
δc
c2
.
Verifique se algumas das incertezas pode ser desprezada. Justifique a sua resposta.
38 Manual de laboratório
tensão velocidade
T (N) δT (N) v2 (m/s)2 δv2 (m/s)2
ajuste linear: coef. angular: α = ( ± ) s/kg
v2 = αT + β coef. linear: β = ( ± ) s/kg
densidade: corda: µ = ( ± ) 10−3 kg/m
µ = α−1
Tabela 5.3: Medidas indiretas para a onda numa corda.
5. Calcule a incerteza relativa δZ/Z, e verifique a precisão de sua medida.
6. A partir da Tabela 5.2 represente as suas medidas (Tk, v2k) na Tabela 5.3:
Determine a densidade linear de massa da corda: µ = ( ± ) kg/m.
(c.f. a equação (5.2).)
6 Tubo de Kundt
Objetivos
• Observar o fenômeno de ressonância de uma onda estacionária no tubo de Kundt;
• Aprender a utilizar um gerador áudio harmônico, e medir a frequência no mesmo;
• Aprender a usar um sensor acústico para medir intensidade e frequência;
• Determinar quantitativamente a velocidade do som no ar.
Introdução
Uma onda acústica é caracterizada pelo deslocamento longitudinal u(x, t) das partículas
que constituem o meio de propagação, sendo que os desvios espaço-temporais estão relacionados
(no caso unidimensional) pela equação de ondas: Nussensveig [2002]
∂2u
∂x2
− 1
v2
∂2u
∂t2
= 0 , v =
√(
∂P
∂ρ
)
eq
. (6.1)
A velocidade da onda depende das características do meio, sendo (∂P/∂ρ)eq a taxa de variação
da pressão do fluido com a densidade do mesmo quando em equilíbrio. Ou seja, a velocidade do
som depende da pressão e da temperatura do meio.
LA
λ = 2LA
λ = LA
λ = 23LA
Tubo aberto
LF
λ = 4LF
λ = 43LF
λ = 45LF
Tubo fechado
Figura 6.1: Ressonâncias no tubo de Kundt; o desenho traçado corresponde a pressão ao longo
do tubo e não a onda sonora em si, que é longitudinal.
O tubo de Kundt é um equipamento utilizado para estimar a velocidade de propagação
de uma onda sonora. Neste uma onda plana é produzida em uma das extremidades do tubo
cilíndrico que contém pó de cortiça. Para algumas frequências específicas são produzidas ondas
estacionárias no interior do tubo com a extremidade oposta ao auto-falante aberta ou fechada.
As vibrações do ar produzem diferenças de pressão entre as seções retas do tubo capazes de
40 Manual de laboratório
movimentar as partículas de cortiça (longitudinalmente) que acabam se amontoando em pequenas
pilhas abaixo da posição dos nós da onda estacionária, conforme mostra a figura abaixo.
Considerando que as extremidades do tubo de comprimento LA estão abertas, então as
ressonâncias são obtidas para LA = nλ/2 (sendo n = 1, 2, . . . o número de nodos). As frequências
capazes de gerar as ressonâncias no tubo são:
λn =
2L
n
↔ fn = vA
2LA
n , ↔ f = an+ b . (6.2)
Note que a partir do coeficiente angular de um ajuste linear entre as medições (fn, n) se consegue
determinar a velocidade do som: v = 2aLA.
Se, por outro lado, uma das extremidades do tubo de comprimento LF está fechada, as
ressonâncias são obtidas para LF = (2n− 1)λ/4 (sendo n = 1, 2, . . .). Nesse caso as frequências
que dão origem às ressonâncias no tubo são:
λn =
4LF
2n− 1 ↔ fn =
vF
4LF
(2n− 1) ↔ f = c(2n− 1) + d . (6.3)
A velocidade do som, vF = 4cLF pode ser estimada com o valor do coeficiente angular de um
ajuste linear entre as medições (fn, 2n− 1).
Procedimento experimental
Material utilizado:
Tubo acústico de vidro temperado; pó de cortiça; um gerador de áudio harmônico e um
auto-falante; sensor acústico; um conjunto de cabos de ligação; uma trena/régua e um termômetro.
(A explicação detalhada do equipamento pode ser encontrada em Ramos [c].)
Montagem:
O gerador de ondas harmônicas digital possui
uma chave para ligar (e desligar) o aparelho e ou-
tras duas para ligar os autofalantes. São três as
funções disponíveis, cada uma varrendo uma banda
de frequências pré-definida. A incerteza da medida
da frequência (informada pelo fabricante) é de 5% do
valor da medição. Há um regulador de intensidade
para cada auto-falante.
Espalhe uma pequena quantidade de pó de cortiça
no interior do tubo. Verifique a distância entre o auto-
falante e a extremidade do tubo, que deve ser pouco
menor que 5 cm. Conecte os cabos do auto-falante
no gerador.
Ligue a chave geral e faça alguns testes variando
a amplitude e a frequência, observando as partículas
dentro do tubo aberto.
auto-falante
suporte
tubo
gerador
Coloque o sensor acústico no interior do tubo (com bastante cuidado), e em seguida conecte
o cabo de áudio na entrada de microfone no PC. Inicie o aplicativo Acústica 3.0, e configure a
banda de frequência, janela de tempo, etc... (veja como no Apêndice B). Procure as frequências
Tubo de Kundt 41
de ressonância usando o sensor posto que esse permite uma varredura mais precisa. A intensidade
pode ser ajustada para um nível baixo (afinal, ninguém quer sair do laboratório com zumbido
nos ouvidos!)
Ouça a intensidade aumentando (e veja na tela do microcomputador a intensidade) quando
a frequência se aproxima da frequência ressonante, e diminuindo quando se afasta. Aqui deve-se
ter paciência fazendo um “ajuste fino” no potênciômetro para determinar cada frequência de
ressonância no tubo (esteja este aberto ou fechado).
Coleta de dados:
Tubo aberto–aberto (A):
• Utilize uma trena para medição do comprimento do tubo: LA = ( ± ) 10−1 m.
Meça o diâmetro do tubo: 2R = ( ± ) 10−1 m (c.f. Problema 5). Anote a
temperatura do laboratório usando um termômetro: θ = ( ± ) 10−1 ◦C (c.f.
Problema 4).
• Ligue o auto-falante (com instensidade moderada) e procure a frequência fundamental
(n = 1), varrendo a banda 180Hz – 200Hz. A primeira ressonância é encontrada quando
houver um acúmulo de pó no meio do tubo. Desligue o gerador de funções e anote os dados
na Tabela 6.1
modo frequência
n f (Hz) δf (Hz)
1
...
comprimento: LA = ( ± ) 10−1 m
diâmetro: 2R = ( ± )m
temperatura: θ = ( ± ) ◦C
ajuste linear: coef. angular: a = ( ± )Hz
f = an+ b coef. linear: b = ( ± )Hz
velocidade: tubo aberto: vA = ( ± )m/s
vA = 2aLA
Tabela 6.1: Medidas diretas no tubo aberto–aberto.
• Para continuar a preencher a tabela abaixo, siga os passos anteriores procurando (com o
sensor acústico e intensidade baixa) pelos harmônico n = 2, 3, 4. Observe o movimento
longitudinal das partículas, o que é característico de ondas sonoras.
Tubo aberto–fechado (F):
• Na haste que acompanha o sensor há um disco plástico para tampar a extremidade do
tubo oposta ao auto-falante; tampe-o deixando pouco menos de 90 cm. Tome nota do
comprimento do tubo: LF = ( ± ) 10−1 m.
42 Manual de laboratório
• Verifique a distância entre o auto-falante e a extremidade do tubo, que deve ser pouco
menor que 5 cm. Ajuste o gerador de funções para gerar ondas com frequência próxima de
80Hz (Função F1), e regule a intensidade em torno da metade.
• Ligue o auto-falante e procure a frequência fundamental (n = 1), varrendo a banda 180Hz –
200Hz. Use o sensor para encontra o modo funddamental. Desligue o gerador de funções e
anote os dados na Tabela 6.1
• Siga os passos anteriores procurando pelos harmônico n = 3, 5, 7, . . ..
modo frequêncian f (Hz) δf (Hz)
1
2
...
comprimento: LF = ( ± ) 10−1 m
diâmetro: 2R = ( ± ) 10−1 m
temperatura: θ = ( ± ) ◦C
ajuste linear: coef. angular: c = ( ± )Hz
f = c n+ d coef. linear: d = ( ± )Hz
velocidade: tubo fechado: vF = ( ± )m/s
vF = 4cLF
Tabela 6.2: Medidas diretas no tubo aberto–fechado.
Análise de dados
1. Verifique se os seus dados coletados nas Tabelas 6.1 e 6.2 possuem correlação linear (equação
10). Em caso negativo, realize novamente o procedimento experimental.
Tubo aberto–aberto (A):
2. Verifique se os seus dados coletados na Tabela 6.1 possuem correlação linear (equação 10).
Em caso negativo, realize novamente o procedimento experimental.
3. Aplique o MMQ (equações (9) e (13)) para fazer o ajuste linear de os dados contidos na
Tabela 6.1:
(a) Determine o coeficiente angular: a = ( ± )Hz.
(b) Encontre o coeficiente linear: b = ( ± )Hz.
(c) Faça o gráfico de f vs. n utilizando uma folha de papel milimetrado, traçando a reta
ajustada pelo MMQ.
4. Faça o gráfico de f vs. n e o ajuste linear utilizando um aplicativo de dados científicos
num microcomputador (ver o apêndice A). Confronte o seu ajuste linear com o calculado
numericamente pelo aplicativo.
Tubo de Kundt 43
5. Apresente a sua estimativa para a velocidade do som com sua respectiva incerteza:
vA = ( ± ) 102 m/s. (c.f. a equação (6.2) e o Problema 2).
Tubo aberto–fechado (F):
6. Aplique novamente o MMQ (equações (9) e (13)) para fazer o ajuste linear – Tabela 6.2:
(a) Determine o coeficiente angular: c = ( ± )Hz.
(b) Calcule o coeficiente linear: d = ( ± )Hz.
(c) Faça o gráfico de f vs. 2n− 1 utilizando um aplicativo de dados científicos.
(d) Apresente a sua segunda estimativa para a velocidade do som:
vF = ( ± ) 102 m/s. (c.f. a equação (6.2) e o Problema 2).
7. Confronte o seu resultado com ajuste feito numericamente num microcomputador.
8. Verifique se as suas duas estimativas vA e vF são compatíveis entre si comparando os
intervalos prováveis encontrados.
Problemas
1. Discuta em grupo as possíveis fontes de erro sistemático: calibração da trena e da frequência
do gerador. Para cada instrumento faça uma estimativa da incerteza relativa.
2. Mostre que a incerteza da velocidade do som deve ser calculada por meio da seguinte
fórmula:
δv = v
√(
δa
a
)2
+
(
δL
L
)2
.
3. Utilize o seu ajuste linear no tubo de Kundt (AA e AF) e estime:
(a) os comprimentos de onda λn = v/fn = ( ± )m que correspondem aos modos
n = 1, 2, 3.
(b) as frequências fn = ( ± )Hz que correspondem aos harmônicos n =
10, 11, 12.
4. A velocidade do som no ar (a 1 atm) pode ser obtida de forma aproximada a partir da
temperatura θ em graus ◦C:
vref ≈ (331.3 + 0.606 θ) m/s .
Utilize a medida da temperatura no laboratório θ = ( ± ) ◦C, e determine o valor
de referência.
(a) Determine a incerteza relativa da velocidade do som, δvA/vA; escreva-a em termos de
porcentagem. A medição foi precisa? Justifique a sua resposta.
(b) Calcule o erro erro percentual da medida, |vA − vref|/vref, e responda: A medição foi
acurada? Justifique a sua resposta.
(c) Repita os itens anteriores com a sua segunda estimativa vF para a velocidade.
5. A condição de contorno nas extremidades de um tubo aberto correspondem a uma aproxima-
ção para a posição de um nodo de pressão. Uma análise detalhada Rayleight [1945] mostra
que a extremidade efetiva de um tubo de seção reta circular de raio R encontra-se a 0.6R além
da sua extremidade física, desde que a� λ. Meça o raio do tubo, R = ( ± ) cm,
e faça essa correção no seu resultado (equação (6.2)).
7 Calor específico e calorimetria
Objetivos
• Aprender o método experimental de calorimetria;
• Calibrar um calorímetro estimando sua capacidade térmica;
• Estimar o calor específico de um metal com a técnica calorimétrica.
Introdução
A absorção de calor por uma substância pode ocorrer de duas maneiras: mantida a pressão
ou mantido o volume constante. Nos dois casos, a quantidade infinitesimal de calor absorvido
d¯Qp é proporcional a uma variação infinitesimal de temperatura, dθ:
d¯Qp = Cpdθ ↔ ∆Qp =
∫ θf
θi
dθ Cp(θ) , (7.1)
A relação de proporcionalidade acima é que define a capacidade térmica Cp de uma amostra a
uma determinada temperatura.
Considerando o primeiro caso, em que a pressão é mantida constante, e que se estará
operando em intervalos de temperatura no qual Cp varia lentamente com a temperatura, é
permitido expressar ∆Qp = Cp∆T . É possível explicitar a dependência da capacidade térmica
em termos da quantidade de substância, como, por exemplo, em termos da massa: Cp = mcp,
sendo cp chamado de calor específico à pressão constante.
Considere a seguinte experiência (calorimetria): Uma amostra de massa mx feita de uma
certo material com calor específico a pressão constante cx e inicialmente a uma temperatura θx
é colocada no interior de um calorímetro com água a uma temperatura θi. De acordo com a
primeira Lei da termodinâmica (conservação de energia), não deve haver qualquer variação da
quantidade total de energia térmica armazenada num sistema isolado:
∆Qcal + ∆Qx = 0 ↔ (C +mca)(θf − θi) +mxcx(θf − θx) = 0 . (7.2)
Note que a capacidade térmica total do recipiente com água é dada pela soma da capacidade
térmica do calorímetro C com a da água mca. Admita que são conhecidos os valores de C e
ca. Então, a partir das medidas diretas m, θi e θf é que se determina o calor específico cx da
amostra:
cx =
(C +mca)
mx
(θi − θf )
(θf − θx) . (7.3)
Veja que são necessárias cinco medidas diretas e outras duas indiretas: C e ca.
Calorimetria 45
Procedimento experimental
Material utilizado:
Um calorímetro (copo plástico com outro de isopor no interior); termômetro de álcool;
uma amostra metálica (cobre/alumínio/latão); porções de água; reservatório térmico com gelo;
flanelas;
Capacidade térmica do calorímetro:
Para calibrar o calorímetro coloque uma porção m de água (cerca de 100ml) a temperatura
ambiente dentro do mesmo. A amostra que será usada nessa etapa é também outra porção m′ de
água inicialmente em contato com o gelo (θ0 ≈ 0 ◦C). Com isso, pode-se encontrar a capacidade
térmica:
(C +mca)(θf − θi) +m′ca(θf − θ0) = 0 ↔ C =
[
m′
(θf − θ0)
(θi − θf ) −m
]
ca . (7.4)
• Faça a medição da massa do calorímetro vazio, M0 = ( ± ) g. Repita a medida,
agora com o calorímetro contendo uma quantidade m de água: M1 = ( ± ) g.
• Faça a medição da temperatura do conjunto calorímetro e água; registre sua medida na
forma usual, θi = ( ± ) ◦C.
• Separe uma outra porção m′ de água (cerca de 100ml) que está em contato térmico com
gelo, certificando-se de anotar a temperatura:
θ0 = ( ± ) ◦C. Despeje essa porção dentro do calorímetro e o tampe.
• Coloque o termômetro no interior do calorímetro e aguarde a temperatura estabilizar. Após
o sistema atingir o equilíbrio térmico, faça a leitura da temperatura de equilíbrio do sistema.
Apresente a medida na forma padrão: θf = ( ± ) ◦C.
• Para finalizar utilize a balança para medir a massa total do sistema:
M2 = ( ± ) g.
Calor específico da amostra:
• Faça a medição da massa do calorímetro vazio, M0 = ( ± ) g. Repita a medida,
agora com o calorímetro contendo uma quantidade m de água: M1 = ( ± ) g.
• Faça a medição da temperatura do conjunto calorímetro e água; registre sua medida na
forma usual, θi = ( ± ) ◦C.
• A amostra de massa mx que está em contato térmico com gelo deve estar em contato
térmico com o reservatório de gelo: θx = ( ± ) ◦C. Coloque a amosta dentro do
calorímetro e o tampe.
• Coloque o termômetro no interior do calorímetro e aguarde a temperatura estabilizar. Após
o sistema atingir o equilíbrio térmico, faça a leitura da temperatura de equilíbrio do sistema.
Apresente a medida na forma padrão: θf = ( ± ) ◦C.
• Faça a medida da massa da amostra: mx = ( ± ) g.
46 Manual de laboratório
Análise de dados