Ficha de Taxa de Variação e Derivada de uma função - SEM SOLUÇÕES

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AGRUPAMENTO DE ESCOLAS ADELAIDE CABETTE 
 12.º ANO – MATEMÁTICA A 
 
 
1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto determina: 
1.1. 𝑓´(0) sendo 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1 
1.2. 𝑔´(1) sendo 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 
1.3. ℎ´(4) sendo ℎ(𝑥) = √𝑥 
 
2. Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função 𝑓 definida por 
𝑓(𝑥) = 1 + 4𝑥 − 𝑥2, no ponto de abcissa 3. 
 
 
3. Considera a função 𝑓, de domínio [−3, +∞[, definida por: 
𝑓(𝑥) = {
√𝑥 + 3 𝑠𝑒 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 
Determina, caso exista, uma equação da reta 𝑡, tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de 
abcissa 1. 
 
4. Considera a função 𝑔 definida por 
𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 3
𝑥 − 1
 𝑠𝑒 𝑥 > 2 
2𝑥2 − 𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
 
 
Verifica se 𝑔 é diferenciável em 𝑥 = 2. 
 
5. Em relação a uma função f sabe-se que: 
𝑓´(3) = 2 e 𝑓(3) = 1 
5.1. Indica, caso exista, o valor de 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶3 𝑓(𝑥). 
5.2. Escreve a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3. 
5.3. Calcula: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶3
𝑓(𝑥) − 𝑓(3)
𝑥2 − 9
 
 
6. De uma função 𝑓 real de variável real sabe-se que: 
 𝑓(−1) = −2 
 𝑡𝑚𝑣[−1,1] = −1 
 lim𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
(𝑥+1)(𝑥−1)
= 2 
Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abcissa 1. 
 
 
7. Utilizando a definição, determina uma expressão da derivada das seguintes funções e indica o 
respetivo domínio. 
7.1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
7.2. 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 
7.3. ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 
7.4. 𝑖(𝑥) = 𝑒𝑥 
7.5. 𝑗(𝑥) = √𝑥 
 
8. Seja 𝑓 a função r.v.r. definida por: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
1
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 
 
8.1. Determina 𝑓´, a função derivada de 𝑓. 
8.2. Indica o conjunto de pontos onde 𝑓 é diferenciável e estabelece, a partir desse resultado, 
uma conclusão acerca da continuidade de 𝑓. 
 
 
9. A reta de equação 𝑦 = 𝑥 é tangente ao gráfico de uma certa função 𝑓, no ponto de abcissa 0. 
Qual das seguintes expressões pode definir a função 𝑓? 
(A) 𝑥2 + 𝑥 (B) 𝑥2 + 2𝑥 (C) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 (D) 𝑥2 + 𝑥+1 
 
 
10. Seja 𝑔 a função definida em 𝐼𝑅\{0} por: 
𝑔(𝑥) = 1 −
1
2𝑥
 
10.1. Mostra, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, que 
𝑔′(𝑎) =
1
2𝑎2
, para todo o 𝑎 ∈ 𝐼𝑅\{0}. 
 
10.2. Seja 𝑟 a reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abcissa −1. 
10.2.1. Determina a equação reduzida da reta 𝑟. 
10.2.2. Mostra que existe uma reta 𝑠, estritamente paralela à reta 𝑟, que também é 
tangente ao gráfico de 𝑓. Determina a equação reduzida da reta 𝑠.