Segunda Prova Presencial CI virtual 2018 01

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Segunda Prova Presencial de Cálculo I 
 
QUESTÃO 01: Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑥3, calcule as derivadas das seguintes 
funções: 
(a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
 
(b) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 
 
Resolução: Observe inicialmente que as funções pedidas nos itens (a) e (b) são funções 
compostas, respectivamente 𝑓(𝑔(𝑥)) e 𝑔(𝑓(𝑥)). 
Usando as funções 𝑓 e 𝑔 dadas no enunciado temos: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑔(𝑥)) = √𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥3) 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))
3
= [√𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)]
3
= [𝑠𝑒𝑛
1
2(𝜋𝑥)]
3
= 𝑠𝑒𝑛
3
2(𝜋𝑥) 
 
Vamos então inicialmente calcular algumas derivadas que serão necessárias: 
Uma vez que 
[𝑠𝑒𝑛𝑥]′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
[𝑥𝑛]′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 
Temos, pela Regra da Cadeia 
𝑓′(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛
1
2(𝜋𝑥)]
′
=
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)]−
1
2 ∙ (cos 𝜋𝑥) ∙ (𝜋𝑥)′ =
𝜋
2
∙ (cos 𝜋𝑥) ∙
1
√𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
 
𝑔′(𝑥) = [𝑥3]′ = 3𝑥2 
As funções pedidas são compostas, por isso para derivá-las devemos usar a Regra da Cadeia. 
Temos então 
[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) =
𝜋
2
∙
cos(𝜋𝑥3)
√𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
∙ 3𝑥2 
 
[(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)]′ = 𝑔′(𝑓(𝑥)) ∙ 𝑓′(𝑥) = 3 ∙ [𝑠𝑒𝑛
1
2 (𝜋𝑥)]
2
∙
𝜋
2
∙ (cos 𝜋𝑥) ∙
1
√𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
= 
3𝜋
2
∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) ∙
𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)
√𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)
 
 
QUESTÃO 02: Dada a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 
(a) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto de abscissa 𝑥 = 1 
(b) Escreva a equação da reta normal ao gráfico desta função no ponto de abscissa 𝑥 = 1 
(c) Represente no mesmo plano cartesiano o gráfico da função 𝑓, da reta tangente e da reta 
normal. 
Resolução: Observe que o ponto do gráfico da função que vamos analisar tem coordenadas 
(1, 𝑓(1)). Como 𝑓(1) = √1 = 1 o ponto analisado é (1,1). 
(a) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abscissa 
𝑥 = 1 é 𝑓′(1). Para conhecer este coeficiente angular devemos calcular 𝑓′(𝑥). 
Como 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2, temos 
𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥(
1
2
−1) =
1
2
𝑥−
1
2 =
1
2√𝑥
 
Logo 𝑓′(1) =
1
2
 e a equação da reta procurada é 
𝑦 − 1 =
1
2
(𝑥 − 1) 
(b) Como a reta tangente é perpendicular à reta normal, o coeficiente da reta normal ao 
gráfico da função no ponto (1,1) é 𝑚 = −
1
1
2
= −2 
Portanto a equação da reta normal procurada é 
𝑦 − 1 = −2(𝑥 − 1) 
(c) 
 
QUESTÃO 03: Se 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∙ 𝑒𝑥, assinale a alternativa que contém a expressão que 
corresponde ao resultado exato do limite 
 
lim
ℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
 
 
(a) 𝑒 
(b) 1 
(c) 𝑒2 
(d) 2,7 
 
Sabemos que 𝑓′(𝑎) = limℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
, se o limite existir. 
Portanto o limite pedido no enunciado corresponde a 𝑓′(0) para a função 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∙ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥+1. 
Como 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥+1., concluímos que 𝑓′(0) = 𝑒. 
 
QUESTÃO 04: Analise as seguintes afirmativas, classificando-as como verdadeiras (V) ou 
falsas (F): 
 
( ) A equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 + 1 no ponto (0,2) é dada por 
𝑦 − 2 = 2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 
( ) Se f e g são funções contínuas em ℝ tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 1, então 𝑓′(3) = 𝑔′(3). 
( ) A reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = (𝑒
𝑥
2) . cos (
𝜋
2
𝑥) no ponto de abscissa 𝑥 = 0 é 
horizontal. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de classificação: 
(a) V, V, V. 
(b) V, F, F. 
(c) F, V, F. 
(d) F, F, V. 
 
 
Vamos analisar cada item separadamente. 
 Observe que a equação 𝑦 − 2 = 2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 pode ser reescrita como 𝑦 = 2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 2, que não 
representa uma equação de reta. Portanto a afirmativa é FALSA. 
 
 O fato de que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 1 nos permite afirmar que 
𝑓′(𝑥) = [𝑔(𝑥) + 1]′ = 𝑔′(𝑥) + 0 = 𝑔′(𝑥) 
Portanto 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) para todos os valores de 𝑥 em seus domínios. Logo a afirmativa sobre a 
igualdade 𝑓′(3) = 𝑔′(3) é VERDADEIRA. 
 O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) = (𝑒
𝑥
2) ∙ cos (
𝜋
2
𝑥)) no ponto de 
abscissa 𝑥 = 0 é dado por 𝑓′(0). 
Pelas Regras da Cadeia e do Produto temos que 
𝑓′(𝑥) = ( 
1
2
∙ 𝑒
𝑥
2 ) ∙ cos (
𝜋
2
𝑥) + (𝑒
𝑥
2) ∙ (− 
𝜋
2
∙ sen (
𝜋
2
𝑥)) 
Logo, 
𝑓′(0) = ( 
1
2
∙ 𝑒0) ∙ cos(0) + (𝑒0) ∙ (− 
𝜋
2
∙ sen(0)) =
1
2
 
 
Como 
𝑓′(0) ≠ 0 
a reta tangente não é horizontal em 𝑥 = 0. A afirmativa é FALSA. 
 
QUESTÃO 05: Analise as seguintes afirmativas, classificando-as como verdadeiras (V) ou 
falsas (F): 
 
( ) A reta tangente ao gráfico de 𝑟(𝑥) = 𝑒3𝑥2+𝜋 no ponto de abscissa 𝑥 = 0 intercepta o eixo 
𝑂𝑥 em um único ponto. 
( ) Se o ponto (2,3) estiver no gráfico de uma função ímpar cujo domínio é ℝ, então o ponto 
(2, −3) também deverá estar no gráfico dessa função. 
 ( ) As funções 𝑓(𝑥) = log10 𝑒 e ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 são inversas. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de classificação: 
(a) V, V, V. 
(b) V, F, F. 
(c) F, V, F. 
(d) F, F, F. 
 
 
Resolução: 
Vamos analisar cada item separadamente. 
 O coeficiente angular da reta tangente procurada é 𝑟′(0). Pela Regra da Cadeia temos 
𝑟′(𝑥) = (3𝑥2 + 𝜋)′ ∙ 𝑒3𝑥2+𝜋 = 6𝑥 ∙ 𝑒3𝑥2+𝜋 
Logo, 
𝑟′(0) = 0 
A reta tangente procurada é, portanto, horizontal. 
Logo ou é paralela ou é coincidente com o eixo 𝑂𝑥. Portanto a afirmativa é FALSA. 
Obs: verifique que a reta procurada é paralela ao eixo das abscissas. 
 
 Como o domínio da função é ℝ, o ponto (2, 𝑓(2)) pertence ao gráfico da função. Se o ponto 
(2,3) pertence ao gráfico da função, concluímos que 𝑓(2) = 3. Como 𝑓 é uma função, a 
imagem do ponto 𝑥 = 2 deve ser única, portanto o ponto (2, −3) não pode pertencer ao 
gráfico desta função, e a afirmativa é FALSA. 
 
 Repare que a função 𝑓 é constante (pois não depende da variável 𝑥). Portanto não é 
injetiva e não possui inversa. A afirmativa é FALSA.