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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
ESTUDA O CÁLCULO DA QUANTIDADE DE AGRUPAMENTOS
QUE PODEM SER FORMADOS COM OS ELEMENTOS DE UM 
DETERMINADO CONJUNTO, SOB CERTAS CONDIÇÕES.
CONCEITO
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
QUANDO UMA TAREFA PUDER SER DIVIDIDA EM n
ETAPAS, E CADA ETAPA PUDER SER REALIZADA DE mi 
MANEIRAS DIFERENTES (COM “i” VARIANDO DE 1 ATÉ n), 
O NÚMERO DE MANEIRAS PELAS QUAIS PODEMOS 
CONCLUIR A TAREFA É IGUAL AO PRODUTO:
2 OPÇÕES DE ENTRADA;
3 OPÇÕES DE PRATO PRINCIPAL;
2 OPÇÕES DE SOBREMESA
EXEMPLIFICANDO
2 x 3 x 2 = 12 opções 
m1 x m2 x m3 x ... x mn
FERRAMENTAS DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
UM RESTAURANTE OFERECE EM SEU CARDÁPIO 2 OPÇÕES PARA A 
ENTRADA, 3 OPÇÕES DE PRATO PRINCIPAL E 2 OPÇÕES PARA A 
SOBREMESA. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES UM CLIENTE 
PODE ALMOÇAR NESSE RESTAURANTE, SABENDO QUE ELE 
ESCOLHEU UMA ENTRADA, UM PRATO PRINCIPAL E SOBREMESA? 
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
1º PASSO: CRIAR UM RESULTADO POSSÍVEL:
UMA POSSIBILIDADE É (1 2). 12. É POSSÍVEL? SIM!
2º PASSO: INVERTENDO A ORDEM: (2 1).
ENCONTRAMOS O NÚMERO 21.
3º PASSO: OS DOIS RESULTADOS FORAM IGUAIS OU DIFERENTES?
FORAM DIFERENTES: 12 ≠ 21 
LOGO: O CAMINHO DA RESOLUÇÃO SERÁ POR ARRANJO! 
IDENTIFICANDO O CAMINHO DA RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
DICA PARA DEFINIR O CAMINHO ENTRE ARRANJO OU COMBINAÇÃO 
QUAL FERRAMENTA UTILIZARÍAMOS PARA CALCULAR QUANTOS NÚMEROS 
DE DOIS ALGARISMOS DISTINTOS PODEM SER FORMADOS COM OS 
ALGARISMOS 1, 2, 3, E 4? 
1° PASSO
2° PASSO
3° PASSO
SEGUINDO O DIAGRAMA, TEMOS:
ELEMENTOS IGUAIS OU DISTINTOS? DISTINTOS
A ORDEM É IMPORTANTE? SIM
ARRANJO OU COMBINAÇÃO? 
ELEMENTOS
DISTINTOS
ARRANJO, COMBINAÇÃO OU PERMUTAÇÃO
ORDEM É IMPORTANTE?
SIM
ARRANJO OU
PERMUTAÇÃO
COMBINAÇÃO
NÃO
NÚMERO DE ELEMENTOS (N) É IGUAL AO NÚMERO
DE AGRUPAMENTOS DESEJADOS (P)?
SIM NÃO
PERMUTAÇÃO ARRANJO OU PFC
IGUAIS
PFC
CRIARMOS UM
RESULTADO
POSSÍVEL PARA 
O CONJUNTO
INVERTERMOS A 
ORDEM DO 
RESULTADO
QUE ACABAMOS 
DE CRIAR
SE OS DOIS 
RESULTADOS FOREM 
IGUAIS, O CAMINHO DA 
RESOLUÇÃO É POR 
COMBINAÇÃO; CASO 
CONTRÁRIO, POR 
ARRANJO
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
FÓRMULA DO ARRANJO:
EM QUE:
n: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO
UNIVERSO;
p: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADOFÓRMULA DA COMBINAÇÃO:
n: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO
UNIVERSO
p: É O NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADO
Cn,p=
n!
n−p ! .p!
An,p=
n!
n−p !
FATORIAL DE UM NÚMERO 
CÁLCULO DA COMBINAÇÃO: 
CÁLCULO DO ARRANJO:
É O PRODUTO DO NÚMERO PELO SEU ANTECESSOR, 
PELO ANTECESSOR DO ANTECESSOR... ATÉ CHEGAR 
A 1 O ÚLTIMO TERMO DO PRODUTO.
EX:
7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1
4! = 4. 3. 2. 1
OBS: 0!= 1!= 1
EXEMPLO DE QUESTÃO 
DE COMBINAÇÃO:
EXEMPLO DE QUESTÃO 
DE ARRANJO:
COMO NÃO É PERMITIDO REPETIÇÕES, TRATA-SE DE UMA QUESTÃO 
DE ARRANJO.
APLICANDO A FÓRMULA DO ARRANJO, TEMOS:
TEMOS QUE: N = 8 E P = 4. 
OS ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO DEVEM SER DISTINTOS? SIM
A ORDEM ENTRE OS ELEMENTOS É IMPORTANTE? NÃO
LOGO, TRATA-SE DE UMA QUESTÃO DE COMBINAÇÃO
TENDO QUE N = 15 E P = 10, APLICANDO A FÓRMULA DA COMBINAÇÃO:
A15,10 =
15!
15−10 ! 10! =
15!
5! 10! =
15. 14. 13. 12. 11.10!
5. 4. 3. 2. 1. 10! = 3003
An,p=
n!
n−p !
A8,4 =
8!
8−4 ! =
8!
4! =
8. 7. 6. 5. 4!
4! = 1.680
COM AS LETRAS M, N, O, P, Q, S, T E X, 
FORMAM-SE CÓDIGOS DE QUATRO LETRAS, 
SENDO QUE REPETIÇÕES DAS LETRAS NÃO 
SÃO PERMITIDAS. QUAL O NÚMERO DE CÓDIGOS 
POSSÍVEIS?
ANA PRECISA FAZER UMA PROVA DE MATEMÁTICA
COMPOSTA DE 15 QUESTÕES. CONTUDO, PARA SER 
APROVADA, ANA SÓ PRECISA RESOLVER 10 
QUESTÕES DAS 15 PROPOSTAS. ASSIM, DE QUANTAS 
MANEIRAS DIFERENTES ANA PODE
ESCOLHER AS QUESTÕES? 
PERMUTAÇÃO
É UM CASO PARTICULAR DO ARRANJO. 
CONCEITO
É A MUDANÇA DE POSIÇÃO DOS ELEMENTOS DE UM 
AGRUPAMENTO, EM QUE A ORDEM SEJA IMPORTANTE.
O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIVERSO (N)
É IGUAL AO NÚMERO DE ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO
DESEJADO (P).
OBS: NA PERMUTAÇÃO, NÃO IREMOS CALCULAR A QUANTIDADE DE 
AGRUPAMENTOS E SIM A QUANTIDADE DE FORMAS DE MUDARMOS OS 
ELEMENTOS DE UM DADO AGRUPAMENTO DE POSIÇÃO.
TIPOS DE PERMUTAÇÃO: 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
NÚMERO DE MANEIRAS DE ARRUMAR n ELEMENTOS 
EM n POSIÇÕES
DIFERENCIA APENAS PELA ORDEM DOS ELEMENTOS
NÃO HÁ REPETIÇÃO DE ELEMENTOS.
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO SIMPLES:
EXEMPLIFICANDO
Pn= n! = 4! = 4. 3 . 2. 1 = 24
Pn= n!
DETERMINAR QUANTOS 
ANAGRAMAS POSSUI A 
PALAVRA AMOR
PERMUTAÇÃO
SIMPLES COM REPETIÇÃO CIRCULAR
PERMUTAÇÃO
NÚMERO DE MANEIRAS DE ARRUMAR n ELEMENTOS 
EM n POSIÇÕES
SE DIFERENCIA PELA ORDEM EM QUE OS ELEMENTOS 
APARECEM, E QUE PELO MENOS UM DESSES N 
ELEMENTOS SE REPETE.
n: NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIVERSO;
n1, n2 e n3: NÚMERO DE REPETIÇÕES DE CADA ELEMENTO QUE SE 
REPETE.
NA PALAVRA ARARAQUARA, TEMOS DEZ LETRAS, SENDO 
QUE O “A” APARECE CINCO VEZES E O “R” APARECE TRÊS
VEZES. LOGO:
n = 10
n1 = 5
n2 = 3
Pn
n1,n2,n3= n!
n1! . n2. n3
Pn
n1,n2,n3= n!
n1! . n2. n3
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:
EXEMPLIFICANDO
P10
5,3= 10!
5! 3! =
10 . 9 . 8 . 7. 6. 5!
3 . 2. 5! =10. 9. 8. 7 = 5040
CALCULAR QUANTOS ANAGRAMAS PODEM SER FORMADOS 
COM AS LETRAS DA PALAVRA “ARARAQUARA” 
PERMUTAÇÃO
É UM CAMINHO DE RESOLUÇÃO PARA QUESTÕES QUE SAEM POR 
PERMUTAÇÃO, E EM QUE OS ELEMENTOS DO AGRUPAMENTO 
DESEJADO ESTARÃO DISPOSTOS NUMA LINHA FECHADA.
TODOS OS ELEMENTOS TERÃO UM ELEMENTO À SUA ESQUERDA E À 
SUA DIREITA.
n: NÚMERO DE ELEMENTOS DO 
CONJUNTO UNIVERSO
TEMOS 6 PESSOAS PARA OCUPAREM OS 6 LUGARES 
DISPONÍVEIS. ASSIM:
APLICAR A FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO CIRCULAR
n = 6
PCircular= (n−1)
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
EXEMPLIFICANDO
FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO CIRCULAR:
UMA MESA CIRCULAR TEM SEUS 6 LUGARES QUE SERÃO 
OCUPADOS PELOS 6 PARTICIPANTES DE UMA REUNIÃO. 
NESSA SITUAÇÃO, QUAL NÚMERO DE FORMAS DIFERENTES 
PARA SE OCUPAR ESSES LUGARES COM OS PARTICIPANTES 
DA REUNIÃO?
PCircular= (n−1)
PCircular= 6−1 ! = 5! = 120
COMBINAÇÃO COM 
REPETIÇÃO 
NÚMERO DE MANEIRAS DE FORMAR P AGRUPAMENTOS 
DISTINTOS OU NÃO ENTRE N ELEMENTOS DISTINTOS DADOS.
ARRANJO COM 
REPETIÇÃO
QUANDO CADA ELEMENTO DO AGRUPAMENTO DESEJADO É 
TRATADO MAIS DE UMA VEZ (COM REPOSIÇÃO) E, QUANDO A 
ORDEM É IMPORTANTE. 
NÃO DETERMINA QUE DEVEM SER “ALGARISMOS DISTINTOS”
CR3,6= C(3 + 6 − 1, 3)=
3 + 6 − 1 !
6! (3 − 1) ARn,p= np
AR5,4= 54=5. 5. 5. 5= 625
CR3,6=
8!
6! . 2! =
8 . 7 . 6!
6! . 2 = 56
2 = 28
CRn,p= C(n + p −1, p)=
n + p −1 !
p! (n −1)
ARn,p= np
FÓRMULA DA COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO: FÓRMULA DO ARRANJO COM REPETIÇÃO: 
EXEMPLIFICANDO EXEMPLIFICANDO
SUPONHA QUE UM SITE VENDE TRÊS TIPOS DE 
CURSOS: TEORIA, QUESTÕES E VÍDEOS. DE QUANTAS 
MANEIRAS UMA PESSOA PODE COMPRAR 6 CURSOS? 
DETERMINAR QUANTOS NÚMEROS DE 4 
ALGARISMOS PODEM SER FORMADOS COM OS 
ALGARISMOS DO CONJUNTO {1, 3, 5, 7, 9} 
PRINCÍPIO DA CASA 
DOS POMBOS 
SE TIVERMOS n POMBOS E p CASAS, E n > p, ENTÃO 
PELO MENOS UMA CASA TERÁ DOIS POMBOS.
CONCEITO
PASSOS PARA RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
EXEMPLIFICANDO
IMAGINE QUE TEMOS 3 CAIXAS MENORES, UMA PARA CADA COR 
DAS BOLAS, E QUE VAMOS RETIRAR AS BOLAS E COLOCA-LAS 
EM CADA CAIXA MENOR, REFERENTE À SUA COR.
1° PASSO: “CASAS” = CAIXAS MENORES.
“POMBOS” = BOLAS.
2° PASSO: CADA CAIXA MENOR TERÁ PELO MENOS UMA BOLA
3° PASSO: NÚMERO DE BOLAS DEVE SER MAIOR QUE O DA CAIXAS 
MENORES.
4° PASSO: CADA CAIXA MENOR DEVE TER PELO MENOS UMA BOLA, 
PARA GARANTIR QUE A PRÓXIMA BOLA TIRADA SEJA UMA COR REPETIDA.
LOGO, DEVE-SE TIRAR PELO MENOS 4 BOLAS.
IDENTIFICAR QUAIS SÃO AS “CASAS” E OS “POMBOS”,
DISTRIBUIR OS POMBOS NAS CASAS; 
DETERMINAR A RELAÇÃO EXISTENTE ENTRE AMBOS
APLICAR O PRINCÍPIO DA CASA DO POMBOS
SUPONHA QUE UMA CAIXA CONTÉM 3 TIPOS DE BOLAS 
(AZUIS, VERDES, AMARELAS). QUAL O NÚMERO 
MÍNIMO DE BOLAS QUE DEVEMOS RETIRAR DA CAIXA 
PARA GARANTIRMOS QUE TEMOS DUAS BOLAS DA 
MESMA COR?