Cálculo Vetorial

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Cálculo Vetorial
NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (v. beta)
André Meneghetti
(andre.imef@gmail.com)
(www.sites.google.com/site/andreimef)
(última atualização: 8 de Janeiro de 2015)
ii
Conteúdo
0 Funções reais 1
1 Funções vetoriais de uma variável real 4
1.1 Domínio, imagem e contradomínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Cálculo de funções vetoriais de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Equação vetorial de uma reta em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Parametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Derivadas parciais 36
2.1 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Calculando derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Derivadas direcionais 40
3.1 Máximo e mínimo de derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Curvas e superfícies de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Integrais de linha 59
4.1 Integrais de linha com relação a x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Trabalho (W ) e Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Campos vetorias 75
5.1 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Escoamento e Fluxo 86
6.1 Escoamento sobre a curva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Fluxo sobre a curva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Densidade de Escoamento (Rotação) e Densidade Fluxo 93
7.1 Densidade de Escoamento (Rotação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Densidade de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Densidade de Fluxo em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 Densidade de Escoamento (Rotação) em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 Teorema de Green 109
8.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
iii
9 Superfícies 116
9.1 Exemplos de parametrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.2 Área de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3 Integrais de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10 Teorema de Gauss 133
10.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11 Teorema de Stokes 140
11.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
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Prof. André Meneghetti Funções reais
0 Funções reais
Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto A e elementos de um
conjunto B. Por definição cada elemento de A deve ser associado a somente um elemento
de B. Quando falamos em funções reais, subentende-se que A ⊆ R e B = R.
Em geral usa-se a seguinte notação: f : I ⊆ R→ R
I é um subconjunto de R e é o domínio da função f . Lembre que R é o contradomínio
que contém a imagem. Imagem é o conjunto formado por elementos do contradomínio
que possuem correspondência com os elementos do domínio.
Exemplo 0.0.1. f : R→ R onde f(t) = t2.
f(t)=t2
t
à domínio R
à contradomínio R
à imagem [0,∞)
Exemplo 0.0.2. f :
⋃
k∈Z
(
−pi
2
+ kpi,
pi
2
+ kpi
)
⊆ R→ R onde f(t) = sen(t).
f(t)=tan(t)
t
à domínio
⋃
k∈Z
(
−pi
2
+ kpi,
pi
2
+ kpi
)
à contradomínio R
à imagem R
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Prof. André Meneghetti Funções reais
Exemplo 0.0.3. f : R→ R onde f(t) = sen(t).
f(t)=sen(t)
t
à domínio R
à contradomínio R
à imagem [−1, 1]
Exemplo 0.0.4. f : R \ {−1, 1} ⊆ R→ R onde f(t) = 1
(t+ 1)(t− 1) .
f(t)=
1
(t+1)(t-1)
t
à domínio R \ {−1, 1}
à contradomínio R
à imagem (−∞,−1] ∪ (0,∞)
Exemplo 0.0.5. f : (0,∞] ⊆ R→ R onde f(t) = ln(t).
f(t)=ln(t)
t
à domínio (0,∞)
à contradomínio R
à imagem R
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Prof. André Meneghetti Funções reais
Exemplo 0.0.6. f : R→ R onde f(t) = et.
f(t) = et
t
à domínio R
à contradomínio R
à imagem (0,∞)
Observação 0.1. Podemos pensar que em funções reais o contradomínio é o conjunto
R. A imagem da função é um subconjunto do conjunto R que em alguns caso pode ser
o próprio R.
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1 Funções vetoriais de uma variável real
Funções vetoriais reais são funções que possuem a forma f : U ⊆ Rm → Rn onde
m,n ∈ N.
De modo geral,
f(x1, x2, . . . , xm) = (f1(x1, x2, . . . , xm), f2(x1, x2, . . . , xm), . . . , fn(x1, x2, . . . , xm))
onde f1, f2, . . . , fn : U ⊆ Rn → R.
Vamos denominar de “função vetorial de uma variável real” uma função vetorial que
possui m = 1, ou seja,
−→
f : I ⊆ R→ Rn
−→
f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) (1)
onde f1, f2, . . . fn são funções reais.
Além disso, iremos dar ênfase para os casos em que n = 2 e n = 3.
1.1 Domínio, imagem e contradomínio
à Domínio de uma função vetorial de uma variável real.
Uma função vetorial de uma variável real é um vetor no qual cada componente é uma
função real. Cada componente possui um domínio. O domínio que será atribuido a
função vetorial deve ser a intersecção dos domínios das componentes.
Exemplo 1.1.1.
Considere a função
−→
f : I ⊆ R→ R2 definida por −→f (t) =
(
t2,
√
1− t2
)
.
Note que qualquer valor real pode ser atribuido a componente t2, no entanto apenas
valores entre −1 e 1, inclusive, podem ser atribuidos a componente √1− t2. Portanto o
maior intervalo que contempla valores para ambas as componente é (−1, 1).
Portanto, esse é o domínio da função
−→
f .
à Contradomínio de uma função vetorial de uma variável real.
Seja
−→
f uma função vetorial de uma variável real, como definida em (1). Observe que−→
f : I ⊆ R → Rn. Isso significa que para cada valor atribuído a t a função associa um
vetor de n dimensões. Esses vetores necessitam de um espaço de n dimensões, ou seja, o
contradomínio é o espaço Rn.
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
à Imagem de uma função vetorial de uma variável real.
Com foi dito anteriormente, para cada valor atribuído a t a função associa um vetor de
n dimensões. Ao percorrer todos os possíveis valores de t que o domínio permite, tem-se
um conjunto de pontos (ou vetores) em Rn. Esse conjunto será a imagem da função
−→
f .
Exemplo 1.1.2. Seja
−→
f : R→ R2 onde −→f (t) = (t, 2t).
à domínio: R
à contradomínio: R2
à imagem: é a reta {(t, 2t)|t ∈ R}
Exemplo 1.1.3. Seja
−→
f : R→ R2 onde −→f (t) = (t, sen(t)).
à domínio: R
à contradomínio: R2
à imagem: é a senoide {(t, sen(t))|t ∈ R}
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.1.4. Seja
−→
f : R→ R2 onde −→f (t) = (sen(t), t).
à domínio: R
à contradomínio: R2
à imagem: é a senoide {(sen(t), t)|t ∈ R}
Exemplo 1.1.5. Seja
−→
f : R→ R3 onde −→f (t) = (t, t, t).
à domínio: R
à contradomínio: R3
à imagem: é a reta {(t, t, t)|t ∈ R}
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.1.6. Seja
−→
f : R→ R2 onde −→f (t) = (cos(t), sen(t)).
à domínio: R
à contradomínio: R2
à imagem: é círculo {(cos(t), sen(t))|t ∈ R}
Exemplo 1.1.7. Seja
−→
f : R→ R3 onde −→f (t) = (sen t, cos t, t).
à domínio: R
à contradomínio: R3
à imagem: é a hélice {(sen t, cos t, t)|t ∈ R}
Note que as duas primeiras coordenadas fazem o ponto girar, enquanto a terceira faz o
ponto subir gerando, então, a hélice.
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.2 Cálculo de funções vetoriais de uma variável real
Definição 1.1. Seja
−→
f definida em (1).
−→
f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
Definimos:
à Limite
lim
t→t0
−→
f (t) =
(
lim
t→t0
f1(t), lim
t→t0
f2(t), . . . , lim
t→t0
fn(t)
)
(2)
à Derivada
d
dt
−→
f (t) =
(
d
dt
f1(t),
d
dt
f2(t), . . . ,
d
dt
fn(t)
)
(3)
à Integral ∫ −→
f (t)dt =
(∫
f1(t)dt,
∫
f2(t)dt, . . . ,
∫
fn(t)
)
dt (4)
à Integral definida∫ b
a
−→
f (t)dt =
(∫ b
a
f1(t)dt,
∫ b
a
f2(t)dt, . . . ,
∫ b
a
fn(t)
)
dt (5)
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.2.1. Seja
−→
f (t) =
(
t2, cos(3t), tet
2
)
.
Determine lim
t→pi
−→
f (t),
d
dt
−→
f (t) e
∫ −→
f (t)dt.
Resolução:
lim
t→pi
−→
f (t) =
(
lim
t→pi t
2, lim
t→pi cos(3t), limt→pi te
t2
)
=
(
pi2, cos(3pi), piepi
2
)
d
dt
−→
f (t) =
(
d
dt
t2,
d
dt
cos(3t),
d
dt
tet
2
)
=
(
2t,−3 sen(3t), 2t2et2 + et2
)
∫ −→
f (t)dt =
(∫
t2dt,
∫
cos(3t)dt,
∫
tet
2
dt
)
=
(
t3
3
,
sen(3t)
3
,
et
2
2
)
+
−→
C
Propriedades de limites
Sejam
−→
f (t), −→g (t) e α um escalar. Supondo que lim
t→t0
−→
f (t) e lim
t→t0
−→g (t) existam, as se-
guintes propriedades são válidas.
i) lim
t→t0
(α
−→
f (t)) = α lim
t→t0
−→
f (t);
ii) lim
t→t0
(
−→
f (t) +−→g (t)) = lim
t→t0
−→
f (t) + lim
t→t0
−→g (t);
iii) lim
t→t0
(
−→
f (t) · −→g (t)) = lim
t→t0
−→
f (t) · lim
t→t0
−→g (t).
Propriedades de derivadas e integrais
Sejam
−→
f (t), −→g (t) e α um escalar. As seguintes propriedades são válidas.
i)
d
dt
(α
−→
f (t)) = α
d
dt
−→
f (t);
ii)
d
dt
(
−→
f (t) +−→g (t)) = d
dt
−→
f (t) +
d
dt
−→g (t);
iii)
∫
(α
−→
f (t))dt = α
∫ −→
f (t)dt;
iv)
∫
(
−→
f (t) +−→g (t))dt =
∫ −→
f (t)dt+
∫
−→g (t)dt;
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Pela maneira que definimos em (3) temos
d
dt
−→
f (t) =
(
d
dt
f1(t),
d
dt
f2(t), . . . ,
d
dt
fn(t)
)
.
Usando a definição de derivada de funções reais, reecrevemos da seguinte maneira:
d
dt
−→
f (t) =
(
lim
h→0
f1(t+ h)− f1(t)
h
, lim
h→0
f2(t+ h)− f2(t)
h
, . . . , lim
h→0
fn(t+ h)− fn(t)
h
)
Aplicando propriedades de vetores e limites
d
dt
−→
f (t) = lim
h→0
(f1(t+ h)− f1(t), f2(t+ h)− f2(t), . . . , fn(t+ h)− fn(t))
h
d
dt
−→
f (t) = lim
h→0
(f1(t+ h), f2(t+ h), . . . , fn(t+ h))− (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
h
d
dt
−→
f (t) = lim
h→0
−→
f (t+ h)−−→f (t)
h
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.3 Interpretação geométrica da derivada
Seja
−→
f : I ⊆ R → R3. Quando variamos t (variável independente) a imagem de−→
f (t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) é uma curva em R3.
Considere t0 ∈ I fixo pense nos vetores f(t0) e f(t0 + h). O gráfico abaixo ilustra a
situação.
domínio
t0
f( +h)t0
f( )t0
f( +h)t0 f( )t0-
t
curva C
Nesse gráfico também é ilustrado o vetor diferença entre
−→
f (t0 + h) e
−→
f (t0), ou sim-
plesmente o vetor
−→
f (t0 + h) − −→f (t0). É bastante intuitivo que quando h → 0 o vetor−→
f (t0 + h)−−→f (t0) tende a ficar tangente a curva C ortogonal ao vetor −→f (t0).
Observe que o módulo do vetor
−→
f (t0 + h) − −→f (t0) tende a zero, no entanto a derivada
−→
f ′ (t0) = lim
h→0
−→
f (t0 + h)−−→f (t0)
h
é um vetor paralelo e seu módulo em geral é difernte
de zero.
f( +h)t0
f( )t0
f( +h)t0 f( )t0-
f( )t0
f( +h)t0 f( )t0-
h
f( )t0' lim=
h 0
curva C curva C
h 0
Ou seja, o vetor derivada
−→
f ′ (t0) = lim
h→0
−→
f (t0 + h)−−→f (t0)
h
é tangente a curva C (que é a imagem de
−→
f ) em
−→
f (t0).
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.3.1. Seja
−→
f : R→ R2, definido por −→f (t) = (3 cos(t), sen(t)).
−→
f (t) = (3 cos(t), sen(t)) =⇒ −→f ′ (t) = (−3 sen(t), cos(t)).
Quando t = 0
à
−→
f (0) = (3, 0) e
−→
f ′ (0) = (0, 1).
Quando t = 5pi4
à
−→
f
(
5pi
4
)
=
(
−3
√
2
2
,−
√
2
2
)
e
−→
f ′
(
5pi
4
)
=
(
3
√
2
2
,
√
2
2
)
.
y(t)=sen(t)
x(t)=cos(t)
f( )0'
f( )' 5p
4
f( )5p
4
f( )0
à Vetor posição
A ideia agora é inserir o contexto de equação vetorial da reta. Antes disso é preciso que
fique claro a relação que existe entre pontos e vetores. “O vetor diz onde o ponto está.”
Exemplo 1.3.2. Seja
−→
f : R→ R2 a função definida por −→f (t) = (t, 3). Para cada valor
t determina-se um par (t, 3) que pode ser entendido como um ponto ou um vetor posição.
A união de todos os pontos (t, r) ∈ R2 onde t ∈ < forma um gráfico (imagem de −→f ), que
neste caso é uma reta.
f(1)=(1,3)
y(t)=3
x(t)=t
3
f(2)=(2,3)
f(3)=(3,3)
f(4)=(4,3)
1
2
1 2 3 4 5
12
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.4 Equação vetorial de uma reta em Rn
Para determinar a equação vetorial de uma reta em Rn, é preciso duas informações:
i) um ponto em Rn onde a reta passa, ou equivalentemente, um vetor posição inicial−→
P0;
ii) a direção da reta, ou seja, conhecer um vetor −→v ∈ Rn que seja paralelo a reta.
Com estas informações, basta que a partir do vetor posição inicial
−→
P0 percorra-se na
direção do vetor −→v . Chamando a reta de −→r , esse equação pode ser obtida da seguinte
maneira:
−→r (t) = −→P0 + t−→v (7)
r(t) = P + t v0
 P 0
v
R
n
espaço
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.4.1. Determine a reta −→r (t) que passa pelo ponto −→P0 = (1, 2) e é paralela
ao vetor −→v = (1, 1).
Conforme a equação (7)
−→r (t) = −→P0 + t−→v
−→r (t) = (1, 2) + t(1, 1).
Outra maneira de apresentar a solução:
−→r (t) = (1 + t, 2 + t).
y(t)
x(t)
1
1
r(t) = (1,2)+ t (1,1)
R
2espaço
14
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.4.2. Determine a reta −→r (t) que passa pelo ponto −→P0 = (1, 1, 1) e é paralela
ao vetor −→v = (0, 12 , 0).
Conforme a equação (7)
−→r (t) = −→P0 + t−→v
−→r (t) = (1, 1, 1) + t(0, 1
2
, 0).
Outra maneira de apresentar a solução:
−→r (t) = (1, 1 + t
2
, 1).
y(t)
x(t)
1
1
z(t)
r(t) = (1,1,1)+ t (0, ,0)12
R
3espaço
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.5 Retas tangentes a gráficos de funções vetoriais
Dado uma função
−→
f : I ⊆ R→ Rn , como em (1)
−→
f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
sabemos que o seu gráfico é uma curva no espaço Rn. Se
−→
P0 é um ponto sobre a curva,
digamos
−→
f (t0) =
−→
P0, então como vimos em (1.3) o vetor −→v = −→f ′(t0) é um vetor tangente
a curva no ponto
−→
f (t0).
Assim, se quisermos determinar a equação da reta −→r (t) tangente ao gráfico de −→f (t), no
ponto
−→
P0 =
−→
f (t0) basta aplicarmos a fórmula (7)
−→r (t) = −→P0 + t−→v
−→r (t) = −→f (t0) + t−→f ′(t0) (8)
O gráfico abaixo ilustra a situação (em R3).
y(t)=f2(t)
x(t)=f1(t)
z(t)=f3(t)
f(t )0
f(t )0' r(t) = f(t )0 f(t )0'+ t
equação vetorial da reta tangente
f(t)=( f (t), f (t), f (t) )1 2 3
16
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.5.1. Seja
−→
f : R→ R2 definida por −→f (t) = (t, t2). Determine a equação da
reta −→r (t) que é tangente ao gráfico de −→f (t) que passa pelo ponto (2, 4).
f(2)' r(t) = f(2) f(2)'+ t
equação vetorial da reta tangente
x(t)=t
y(t)=t2
f(2)
Equações:
Note que o ponto (2, 4) é obtido quando escolhemos t = 2, isso é,
−→
f (2) = (2, 22) =
(2, 4) =
−→
P0. Logo,
−→r (t) = −→P0 + t−→v =⇒
−→r (t) = −→f (2) + t−→f ′ (2).
Para determinar f ′(2) primeiro determinamos
−→
f ′ (t), que é dado por
−→
f ′ (t) = (t, t2)′ = (1, 2t).
Portanto,
−→
f ′ (2) = (1, 2(2)) = (1, 4) e consequentemente
−→r (t) = (2, 4) + t(1, 4).
17
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.5.2. Seja
−→
f : R → R2 definida por −→f (t) = (cos(t), sen(t)). Determine a
equação da reta −→r (t) que é tangente ao gráfico de −→f (t) que passa pelo ponto −→f (pi2 ).
r(t) = + t
equação vetorial da reta tangente
x(t)=cos(t)
y(t)=sen(t)
f( )
2
p
f( )'
2
p
f( )'
2
pf( )
2
p
Queremos determinar
−→r (t) = −→P0 + t−→v =⇒
−→r (t) = −→f
(pi
2
)
+ t
−→
f ′
(pi
2
)
.
Note que o ponto
−→
f
(pi
2
) = (cos
(pi
2
)
, sen
(pi
2
))
= (0, 1) =
−→
P0. Além disso, para deter-
minar
−→
f ′
(
pi
2
)
primeiro determinamos f ′(t), que é dado por
−→
f ′ (t) = (cos(t), sen(t))′ = (− sen(t), cos(t)).
Portanto,
−→
f ′
(
pi
2
)
= (− sen(pi2 ), cos(pi2 )) = (−1, 0) e consequentemente
−→r (t) = (0, 1) + t(−1, 0).
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.5.3. Seja
−→
f : [0,∞) ⊂ R→ R2 definida por
f(
−→
f ) = (t cos(t), t sen(t)). Determine a equação vetorial da reta −→r (t) que é tangente ao
gráfico da imagem de
−→
f (t) no ponto
(
0,−7pi2
)
.
r(t) = + t
equação vetorial da reta tangente
x(t)= t cos(t)
y(t)=t sin(t)
f( )' p2
7
f( )p2
7
f( )' p2
7f( )p2
7
Note que o ponto (0,−7pi2 ) é obtido quando escolhemos t = 7pi2 , isso é,
−→
f
(
7pi
2
)
=
(
7pi
2
cos
(
7pi
2
)
,
7pi
2
sen
(
7pi
2
))
=
(
0,−7pi
2
)
=
−→
P0.
Logo,
−→r (t) = −→P0 + t−→v =⇒ −→r (t) = −→f
(
7pi
2
)
+ t
−→
f ′
(
7pi
2
)
.
Para determinar
−→
f ′
(
7pi
2
)
primeiro determinamos
−→
f ′(t), que é dado por
−→
f ′(t) = (t cos(t), t sen(t))′ = (−t sen(t) + cos(t), t cos(t) + sen(t)).
Portanto,
−→
f ′
(
7pi
2
)
=
(
−7pi
2
sen
(
7pi
2
)
+ cos
(
7pi
2
)
,
7pi
2
cos
(
7pi
2
)
+ sen
(
7pi
2
))
−→
f ′
(
7pi
2
)
=
(
7pi
2
,−1
)
e consequentemente
−→r (t) =
(
0,−7pi
2
)
+ t
(
7pi
2
,−1
)
.
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.5.4. Seja
−→
f : [0,∞) ⊂ R → R3 definida por −→f (t) = (cos(t), sen(t), t).
Determine a equação vetorial da reta −→r (t) que é tangente ao gráfico da imagem de −→f (t)
no ponto (1, 0, 4pi).
r(t) = + t
equação vetorial da reta tangente
x(t)= cos(t)
y(t)=sin(t)
f( )p4 f'( )p4
z(t)=t
Note que o ponto (1, 0, 4pi) é obtido quando escolhemos t = 4pi, isso é,
−→
f (4pi) = (cos (4pi) , sen (4pi) , 4pi) = (1, 0, 4pi) .
Logo,
−→r (t) = −→P0 + t−→v =⇒ −→r (t) = −→f (4pi) + t−→f ′ (4pi) .
Para determinar
−→
f ′ (4pi) primeiro determinamos
−→
f ′(t), que é dado por
−→
f ′(t) = (cos(t), sen(t), t)′ = (− sen(t), cos(t), 1).
Portanto,
−→
f ′ (4pi) = (− sen (4pi) , cos (4pi) , 1) = (0, 1, 1)
e consequentemente −→r (t) = (1, 0, 4pi) + t(0, 1, 1).
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.6 Comprimento de arco
Considere a parametrição
−→
f : [0, 6pi]→ R3 definida por −→f (t) = (cos(t), sen(t), t). Como
determinar o comprimento do arco que gera a hélice?
Qual o comprimento desta hélice?
x(t)= cos(t)
y(t)=sen(t)
z(t)=t
Antes de apresentar a fórmula que calcula esse comprimento de arco vamos dar uma ideia
de como a formula surge.
Ideia:
Para ficar mais fácil de entender, vamos pensar no caso em que
−→
f : [a, b] ⊂ R→ R2
definida por
−→
f (t) = (x(t), y(t)) .
Considere t0 ∈ [a, b] e t0 < t < b. Definimos:
s : [a, b] → R no qual se t∗ ∈ [a, b] então s(t∗) é o comprimento de arco que começa em−→
f (a) e vai até f(t∗).
Além disso, definimos:
i) ∆t = t− t0
ii) ∆x(t) = x(t)− x(t0)
iii) ∆y(t) = y(t)− y(t0)
iv) ∆s(t) = s(t)− s(t0)
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Observe a figura:
x(t)
y(t)
f(a)=(x(a),y(a))
f(b)=(x(b),y(b))
s(t)-s(t )0
y(t )0
x(t )00a t t b
domínio
imagem
f(t)
Vamos tentar calcular o segmento de arco ∆s(t) = s(t)− s(t0). Pense que t0 está fixo.
Observe se t está próximo a t0, então
∆s(t)2 ≈ ∆x(t)2 + ∆y(t)2
Além disso, dividindo ambos os lados por ∆t2(
∆s(t)
∆t
)2
≈
(
∆x(t)
∆t
)2
+
(
∆y(t)
∆t
)2
=⇒
∆s(t) ≈
√(
∆x(t)
∆t
)2
+
(
∆y(t)
∆t
)2
∆t (9)
Portanto já sabemos aproximar cada arco ∆s(t). Assim, ao chamar de L o comprimento
total do arco, temos que
tDtD
x(t)D y(t)D
tD
2 2
+
cada segmento
L =
5∑
∆s(t) ≈
5∑√(∆x(t)
∆t
)2
+
(
∆y(t)
∆t
)2
∆t
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Para melhorar a aproximação aumentamos o número de partições, por exemplo,
tDtD
x(t)D y(t)D
tD
2 2
+
cada segmento
...
L ≈
20∑
∆s(t) ≈
20∑√(∆x(t)
∆t
)2
+
(
∆y(t)
∆t
)2
∆t
é uma aproximação melhor.
à Aplicado limite
Usando a teoria de integrais, aumentamos as partições (n −→ ∞) e consequentemente
obtemos a igualdade.
L = lim
n−→∞
n∑√(∆x(t)
∆t
)2
+
(
∆y(t)
∆t
)2
∆t
e além disso, teremos variações infinitesimais e soma infinita de variações infinitesimais.
A notação apropriada neste caso é de integrais:
L =
∫ b
a
√(
dx(t)
dt
)2
+
(
dy(t)
dt
)2
dt (10)
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
à Generalização
Se
−→
f : [a, b]→ Rn o ideia de construção é a mesma. No entanto, como teremos uma curva
em Rn calcula-se ∆s(t) usando a noção de distância entre dois pontos. Prosseguindo de
forma análoga teremos que se
−→
f (t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) então
L =
∫ b
a
√(
dx1(t)
dt
)2
+
(
dx2(t)
dt
)2
+ · · ·+
(
dxn(t)
dt
)2
dt (11)
Se observarmos que
‖−→f ′(t)‖2 = −→f ′(t) · −→f ′(t) =⇒
‖−→f ′(t)‖2 =
(
dx1(t)
dt
,
dx2(t)
dt
, . . . ,
dxn(t)
dt
)
·
(
dx1(t)
dt
,
dx2(t)
dt
, . . . ,
dxn(t)
dt
)
‖−→f ′(t)‖2 =
(
dx1(t)
dt
)2
+
(
dx2(t)
dt
)2
+ · · ·+
(
dxn(t)
dt
)2
‖−→f ′(t)‖ =
√(
dx1(t)
dt
)2
+
(
dx2(t)
dt
)2
+ · · ·+
(
dxn(t)
dt
)2
então podemos reescrever (11)
L =
∫ b
a
√(dx1(t)
dt
)2
+
(
dx2(t)
dt
)2
+ · · ·+
(
dxn(t)
dt
)2 dt
na forma
L =
∫ b
a
‖−→f ′(t)‖dt. (12)
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.6.1. Determine o comprimento de arco hélice gerada por
−→
f (t) = (cos(t), t, sen(t))
para t ∈ [0, 5pi].
Resolução:
Aplicando a fómula (12)
L =
∫ b
a
‖−→f ′(t)‖dt
L =
∫ 5pi
0
√(
d
dt
cos(t)
)2
+
(
d
dt
t
)2
+
(
d
dt
sen(t)
)2
dt
L =
∫ 5pi
0
√
(− sen(t))2 + (1)2 + (cos(t))2dt
L =
∫ 5pi
0
√
2dt =
√
2(5pi − 0) = 5pi
√
2.
25
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exemplo 1.6.2. Mostre que um circulo de raio r possui perímetro 2pir.
Resolução:
Observe que
−→
f (t) = (r cos(t), r sen(t))
para t ∈ [0, 2pi] é uma possível parametrização para o círculo. Então seu comprimento
de arco, por (12), é
L =
∫ b
a
‖−→f ′(t)‖dt
L =
∫ 2pi
0
√(
d
dt
r cos(t)
)2
+
(
d
dt
r sen(t)
)2
dt
L =
∫ 2pi
0
√
(−r sen(t))2 + (r cos(t))2dt
L =
∫ 2pi
0
√
r2 (sen(t)2 + cos(t)2)dt
L =
∫ 2pi
0
rdt = r(2pi − 0)
L = 2pir
26
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.7 Parametrizações
Dado uma curva C uma parametrização de C é uma função vetorial de uma variável real
cujo a imagem desta função coincide com a curva.
Para exemplificar suponhamos que a curva C seja uma circunferência de raio 1 e centro
(0, 0).
f(t)=(cos(t),sen(t))
imagem
x(t)=cos(t)
y(t)=sen(t)
Vimos que a imagem da função
−→
f : [0, 2pi] ⊂ R→ R2 por
−→
f (t) = (cos(t), sen(t))
coincide com C. Logo
−→
f é uma parametrização da curva C.
Observação 1.1. Qualquer função −→g a(t) = (cos(at) + sen(at)) com t ∈ [0, 2pia ] e para
todo a ∈ R\{0} também é parametrização da curva C.
Observação 1.2. Uma curva possui infinitas parametrizações.
27
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Sejam
−→
f (t) = (cos(t), sen(t)) e −→g (t) = (cos(2t), sen(2t)).
Ao variar t entre 0 e pi2 obtemos:
0
domínio
f(t)=(cos(t),sen(t))
imagem
g(t)=(cos(2t),sen(2t))
imagem
p
2 t
1 1
Observe que foi percorrido no domínio uma distância de pi2 . A curva gerada pela imagem
de
−→
f também possui esse comprimento, mas a imagem de −→g é maior, mais precisamente
de comprimento pi.
à Parametrização pelo comprimento de arco
Seja C uma curva no espaço Rn e
−→
f : I ⊆ R → Rn uma parametrização de C (Isso é,
Im
−→
f = C). Se ao variar uma distância d no domínio a função
−→
f gerar uma curva de
comprimento d na imagem, então dizemos que
−→
f é uma parametrização por compri-
mento de arco da curva C.
0
domínio
imagemcomprimento "d"
comprimento "d"
f
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
1.8 Exercícios
◦ Exercício 1. Determine o domínio das seguintes funções vetoriais reais.
a)
−→
f (t) = (cosh(t),−3);
b)
−→
f (t) =
(√
5t+ 25, t2
)
;
c)
−→
f (t) =
(
cos(pit),− ln(t),√t− 2);
d)
−→
f (t) =
(
2e−t2 , t2, ln(1− t)
)
;
e)
−→
f (t) =
(
ln(−t), 1(t+1)(t−1)
)
.
◦ Exercício 2. Calcule o limite das seguintes funções vetoriais de uma variável real.
a) lim
t→1
−→
f (t) =
(
t2 − 1
t− 1 ,
t− 1
cos(t− 1)
)
;
b) lim
t→0
−→
f (t) =
(
cos(t)
t
, epit
)
;
c) lim
t→2+
−→
f (t) =
(
cos(pit) sen(pit),− ln(2t+ 1),√t− 2);
d) lim
t→∞
−→
f (t) =
((
1 +
1
t
)t
,
t2
1 + t2
, ln
(
t2
1 + t2
))
;
e) lim
t→−e
−→
f (t) =
(
ln(−t), e
7
t8
)
.
◦ Exercício 3. Calcule a derivada das seguintes funções vetoriais de uma variável real.
a)
−→
f (t) =
(
cos(t2), ln(t)
)
;
b)
−→
f (t) =
(√
t3 + 2, t2epit
)
;
c)
−→
f (t) =
(
cos(pit) sen(pit),− ln(2t+ 1),√t− 2);
d)
−→
f (t) =
(
2e−t2 , t2, ln(1− t)
)
;
e)
−→
f (t) =
(
ln(−t), e7t
t2−1
)
.
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
◦ Exercício 4. Calcule a integral das seguintes funções vetoriais de uma variável real.
a)
−→
f (t) =
(
t2et, ln(t)
)
;
b)
−→
f (t) =
(
1
t ,
√
t3
)
;
c)
−→
f (t) =
(
cos(pit) sen(pit), ln(sen(t)) cotan(t), 3t2
)
;
d)
−→
f (t) =
(
tet
2
, 1−t+2 , cos
2(t)
)
;
e)
−→
f (t) =
(
ln(t), t2 + 3, cos(t), e8t
)
.
◦ Exercício 5. Em cada item, faça o esboço do gráfico que representa a imagem da
função
−→
f . Indique o sentido crescente da curva. Considere apenas t ≥ 0.
a)
−→
f (t) = (cos(t),
4 sen(t))
b)
−→
f (t) = (cos(t) + 3, 4 sen(t) + 2)
c)
−→
f (t) =
(
et sen(t), et cos(t)
)
d)
−→
f (t) = (5 cos(t), t, sen(t))
e)
−→
f (t) = (0, cos(t), sen(t))
f)
−→
f (t) = (0, 2, sen(t))
g)
−→
f (t) = (5, t, 2)
h)
−→
f (t) = (1, 5, 5− t)
◦ Exercício 6. Encontre a equação vetorial da reta que é tangente ao gráfico da imagem
da função
−→
f que passa pelo ponto
−→
f (t0).
a)
−→
f (t) = (sen(t), cos(t)) e t0 = 3pi4 ;
b)
−→
f (t) = (t cos(t), t sen(t)) e t0 = 5pi4 ;
c)
−→
f (t) = (t, t, t2 − 4t) e t0 = 2
√
2;
d)
−→
f (t) = (0, cos(t), sen(2t)) e t0 = 2pi;
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
◦ Exercício 7. Encontre o comprimento de arco gerado pela da imagem da função −→f
no intervalo [a, b].
a)
−→
f (t) = (e2t sen(t), e2t cos(t)), [a, b] = [0, pi];
b)
−→
f (t) = (cosh(t), t), [a, b] = [−2, 2];
c)
−→
f (t) = (2t, 5t− 1, 3t), [a, b] = [0, 8];
d)
−→
f (t) = (2 cos(t) + 2 sen(t),−2 cos(t) + 2 sen(t)), [a, b] = [0, pi2 ];
e)
−→
f (t) = (t3, t2), [a, b] = [1, 3];
◦ Exercício 8. Seja −→f (t) = (sen(2t), cos(t)) para t ∈ (0, 2pi). O ponto −→P0 = (1, 1√2)
pertence a ao gráfico de
−→
f (t). Determine uma equação paramétrica que é tangente ao
gráfico de
−→
f (t) e passa pelo ponto P0.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
◦ Exercício 9. Seja −→f (t) = (5 cos(t) + t, t) para t ∈ (0, 8pi). Determine a equação
paramétrica que é tangente ao gráfico de
−→
f (t) e passa pelo ponto
−→
f (4pi).
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
31
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-
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R
G
-
Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
◦ Exercício 10. Seja −→f (t) = (10 cos(t), 10 sen(t), t) para t ∈ (0, 10pi). Determine a
equação que é tangente ao gráfico de
−→
f (t) e passa pelo ponto
−→
f (7pi2 ).
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
0
10
20
30
◦ Exercício 11. Seja −→f (t) = (10t cos(t), 10t sen(t), 10t) para t ∈ (0, 10pi). Determine a
equação paramétrica que é tangente ao gráfico de
−→
f (t) e passa pelo ponto
−→
f (7pi2 ).
-200
0
200
-200
0
200
0
100
200
300
◦ Exercício 12. Mostre que o comprimento de arco da hélice circular
−→
f (t) = (a cos(t), a sen(t), ct) , t ∈ [0, t0]
é dado por t0
√
a2 + c2.
32
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-
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FU
R
G
-
Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
RESPOSTAS
Exercício 1
a) R
b) [5,∞)
c) [2,∞)
d) (−∞, 1)
e) (−∞,−1)⋃(−1, 0)
Exercício 2
a) (2, 0)
b) @
c) (0,− ln(5), 0)
d) (e, 1, 0)
e) (1, e−1)
Exercício 3
a)
(
−2t sen(t2), 1
t
)
b)
(
3t2
2
√
t3 + 2
, epitt(pit+ 2)
)
c)
(
pi cos(2pit),− 2
2t+ 1
,
1
2
√
t− 2
)
d)
(
− 4t
et2
, t2,
1
t− 1
)
e)
(
1
t
,
e7t(7t2 − 2t− 7)
(t2 − 1)2
)
Exercício 4
a)
(
et(t2 − 2t+ 2), t(−1 + ln(t)))+−→C
b)
(
ln(t),
2t5/2
5
)
+
−→
C
c)
(
−cos(2pit)
4pi
,
(ln(sen(t)))2
2
, t3
)
+
−→
C
d)
(
et
2
2
,− ln(2− t), t+ cos(t) sen(t)
2
)
+
−→
C
e)
(
t(ln(t)− 1), t
3 + 9t
3
, sen(t),
e8t
8
)
+
−→
C
33
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exercício 5
a)
imagem
x(t)=cos(t)
y(t)=4 sen(t)
b)
imagem
x(t)=cos(t)+3
y(t)=4 sen(t)+2
c)
imagem x(t)=e cos(t)
y(t)=e sen(t)t
t
d)
imagem
x(t)=5 cos(t)
z(t)= sen(t)
y(t)=t
e)
imagem
x(t)=0
z(t)= sen(t)
y(t)=cos(t)
f)
imagem
x(t)=0
z(t)= sen(t)
y(t)=2
g)
imagem
x(t)=5
z(t)= 2
y(t)=t
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
Exercício 6
a)
(
1√
2
,− 1√
2
)
t+
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
b)
(
− 1√
2
+
5pi
4
√
2
,− 1√
2
− 5pi
4
√
2
,
)
t+
(
− 5pi
4
√
2
,− 5pi
4
√
2
)
c)
(
1, 1,−4 + 4
√
2
)
t+
(
2
√
2, 2
√
2, 8− 8
√
2
)
d) (0, 0, 2) t+ (0, 1, 0)
Exercício 7
a)
√
5epi senh(pi)
b) 2 senh(2)
c) 8
√
38
d)
√
2pi
e) 127
(−13√13 + 85√85)
Exercício 8 −→r (t) =
(
1,
1√
2
)
+ t (0,−1)
Exercício 9 −→r (t) = (5 + 4pi, 4pi) + t
(
1√
2
,
1√
2
)
Exercício 10 −→r (t) =
(
0,−10, 7pi
2
)
+ t (10, 0, 1)
Exercício 12 −→r (t) = (0,−35pi, 35pi) + t (35pi,−10, 10)
35
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G
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
2 Derivadas parciais
Seja f : R2 → R. Por definição, as derivadas parciais são definidas por:
∂f
∂x
(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
(13)
(derivada parcial co relação a x)
∂f
∂y
(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
(14)
(derivada parcial co relação a y)
Se f : R3 → R:
∂f
∂x
(x, y, z) = lim
h→0
f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)
h
(15)
(derivada parcial co relação a x)
∂f
∂y
(x, y, z) = lim
h→0
f(x, y + h, z)− f(x, y, z)
h
(16)
(derivada parcial co relação a y)
∂f
∂z
(x, y, z) = lim
h→0
f(x, y, z + h)− f(x, y, z)
h
(17)
(derivada parcial co relação a z)
2.1 Interpretação geométrica
Seja f : R2 → R. Se (x0, y0) é um ponto do domínino (R2) como fazemos para analisar
a variação instantânea em f(x0, y0)? É preciso observar que a resposta dependerá da
direção e sentido que estamos estudando.
No caso das derivadas parciais analisamos as variações da função nas direções dos eixos
coordenados “x” e “y”.
Para exemplificar, considere a função f(x, y) = y2 − x2. Geometricamente as derivadas
parciais no ponto (1, 2), isso é, fx(1, 2) e fy(1, 2) podem ser vistas no gráfico.
36
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Prof. André Meneghetti Funções vetoriais
f(x,y) = y2-x2
y
Observe a reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (1, 0). Os pontos dessa reta apli-
cados na função f(x, y) geram uma curva sobre a superfície que está em azul (também
pode ser vista imaginando a intersecção da superfície com um plano paralelo ao plano
fy passando pelo ponto (1, 0)).
Crescendo na direção e sentido apontada pelo vetor na base (que é a mesma do eixo y)
a curva vai crescendo e quando passa pelo ponto (1, 2) a função f(x, y) cresce. Isso é,
dado 0 < ξ << 1,
f(1, 2− ξ) < f(1, 2) < f(1, 2 + ξ).
Isso significa que a variação da função f(x, y) quando passa pelo ponto (1, 2) na direção
e sentido do eixo y é crescente. Em outras palavras, a derivada de f(x, y) com relação a
variável y no ponto (1, 2) deve ser positivo. De fato:
fy(x, y) = 2y =⇒ fy(1, 2) = 4 > 0.
Da mesma forma observe a reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0, 2). A função
f(x, y) aplicada nos pontos desta reta formam a curva em vermelho. Partindo do ponto
(0, 2) e andando na direção e sentido do eixo x a curva em vermelho decresce. Quando
passa pelo ponto (1, 2) temos que
f(1, 2− ξ) > f(1, 2) > f(1, 2 + ξ).
Isso significa que a partir do (0, 2) andando na direção e sentido do eixo x ao passar
pelo ponto (1, 2) a função f(x, y) decresce. Logo, a variação foi negativa e, portanto,
esperamos que fx(1, 2) seja negativa. De fato:
fx(x, y) = −2x =⇒ fx(1, 2) = −2 < 0.
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IM
E
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FU
R
G
-
IM
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FU
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G
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