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21/03/2013 1 MATEMÁTICA BÁSICA CIÊNCIAS CONTÁBEIS MATEMÁTICA BÁSICA ELÍDIO LUIZ MARTINELLI CONJUNTOS NUMÉRICOS R N Z Q I INTERVALOS INTERVALOS ABERTOS DE EXTREMOS “a” E “b” ] a, b[ = { x R / a < x < b∈ INTERVALOS FECHADOS DE EXTREMOS “a” E “b” [ a, b ] = { x R / a ≤ x ≤ b∈ INTERVALOS INTERVALOS FECHADOS `A ESQUERDA DE EXTREMOS “a” E “b” [ a, b[ = { x R / a ≤ x < b∈ INTERVALOS FECHADOS A DIREITA DEINTERVALOS FECHADOS A DIREITA DE EXTREMOS “a” E “b” ] a, b ] = { x R / a < x ≤ b∈ INTERVALOS INFINITOS ] ‐ ∞, a [ = { x R / x < a}∈ ] ‐ ∞, a ] = { x R / x ≤ a}∈ [ a, + ∞ [ = { x R / x > a}∈ ] a, + ∞ [ = { x R / x ≥ a} ] ‐ ∞, + ∞ [ = x R ∈ ∈ RELAÇÕES PAR ORDENADO: CHAMA-SE PAR TODO O CONJUNTO FORMADO POR DOIS ELEMENTOS. x y 3 solução: {2 ;1} + =⎧⎨ solução: {2 ;1}x y 1⎨ − =⎩ {2;1} ≠ {1;2} 21/03/2013 2 PLANO CARTESIANO CONSIDEREMOS DOIS EIXOS “x” E “y” PERPENDICULARES EM “0”, OS QUAIS DETERMINAM UM PLANO “α”. y ORDENADAS ( α ) 0 x y P ( x; y ) x’ // x e y’ // yx’ y’ ABCISSAS ( α ) PRODUTO CARTESIANO SEJAM “A” e “B”, DOIS CONJUNTOS NÃO VAZIOS. DENOMINAMOS PRODUTO CARTESIANO DE “A” POR “B” O CONJUNTO “A x B” CUJOS ÃELEMENTOS SÃO TODOS PARES ORDENADOS (x, y), EM QUE O PRIMEIRO ELEMENTO PERTENCE A “A” E O SEGUNDO PERTENCE A “B” A x B = { (x , y) / x A e y B} ∈ ∈ DADOS OS CONJUNTOS A= {1, 2} E B= {1, 2, 3}. DETERMINAR AxB. A x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1) , (2,2) , (2,3)} DOMÍNIO DOMÍNIO: CHAMA-SE DOMÍNIO DE R O CONJUNTO “D” DE TODOS OS PRIMEIROS ELEMENTOS DOS PARESPRIMEIROS ELEMENTOS DOS PARES ORDENADOS PERTENCENTES A “R”. x D y, y B / (x, y) R∈∈ ⇔ ∈ IMAGEM IMAGEM: CHAMA-SE IMAGEM DE R O CONJUNTO “Im” DE TODOS OS SEGUNDOS ELEMENTOS DOS PARESSEGUNDOS ELEMENTOS DOS PARES ORDENADOS PERTENCENTES A “R”. y Im x, x A / (x, y) R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈ 0 2 3 2 6 3 1 ImD ESQUEMA COM DIAGRAMAS 4 4 BA D = {2, 3, 4} Im = {2, 3, 4, 6} 21/03/2013 3 CONCEITO DE FUNÇÕES FUNÇÕES VAMOS CONSIDERAR, POR EXEMPLO, OS CONJUNTOS A = { 0, 1, 2, 3 } E B = { -1, 0, 1, 2, 3 } E AS SEGUINTES RELAÇÕES BINÁRIAS DE A EM B; 0 1 2 3 ‐ 1 0 1 2 3 A B f ( x ) = x+1 CONCEITO DE FUNÇÕES VAMOS CONSIDERAR, POR EXEMPLO, OS CONJUNTOS A = { 0, 1, 2, 3 } E B = { -1, 0, 1, 2, 3 } E AS SEGUINTES RELAÇÕES BINÁRIAS DE A EM B; 1 A B 0 1 2 3 ‐ 1 0 1 2 3 W = { (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3,2)} DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DADOS DOIS CONJUNTOS A E B, NÃO VAZIOS, UMA RELAÇÃO “ f ” DE A EM B RECEBE O NOME DE APLICAÇÃO DE A EM B OU FUNÇÃO DEFINIDA EM A COM IMAGENS EM B SE, E SOMENTE SE, PARA TODO X PERTENCENTE A A EXISTE UMA SÓ Y PERTENCENTE A B TAL QUE (x , y) PERTENCE A “ f ”. f é aplicação de A em B ( x A, y B / ( x,y) f )⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ESQUEMA DE FLECHAS 1) É NECESSÁRIO QUE TODO ELEMENTO X A PARTICIPE DE PELO MENOS UM PAR (x, y) f, ISTO É, TODO ELEMENTO DE A DEVE SERVIR COMO PONTO DE PARTIDA DE UMA ÚNICA FLECHA. ∈ ∈ 2) É NECESSÁRIO QUE CADA ELEMENTO X A PARTICIPE DE APENAS UM ÚNICO PAR (x, y) f, ISTO É, CADA ELEMENTO DE A DEVE SERVIR COMO PONTO DE PARTIDA DE UMA ÚNICA FLECHA. ∈ ∈ PARA QUE UMA RELAÇÃO SEJA FUNÇÃO É NECESSÁRIO QUE OS ITENS ACIMA SEJAM SATISFEITAS UMA RELAÇÃO “ f “ NÃO É APLICAÇÃO SE NÃO SATISFAZER UMA DAS CONDIÇÕES ACIMA, ISTO É: -SE EXISTIR UM ELEMENTO DE A DO QUAL NÃO PARTA FLEXHA ALGUMA; - SE EXISTIR UM ELEMENTO DE A DO QUAL PARTAM DUAS OU MAIS FLECHAS. ff : A B A B f : A B x f (x ) x f (x ) y f ( x ) → ⎯⎯→ → → =6 NOTAÇÃO: DOMÍNIO DE FUNÇÕES CHAMAMOS DE DOMÍNIO O CONJUNTO “ D “ DOS ELEMENTOS x A PARA OS QUAIS EXISTE y B TAL QUE (x , y) f. COMO, PELA DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO, TODO ELEMENTO DE A TEM ESSA PROPRIEDADE TEMOS NAS FUNÇÕES: ∈ ∈ ∈ PROPRIEDADE, TEMOS NAS FUNÇÕES: DOMÍNIO = CONJUNTO DE PARTIDA D = A 21/03/2013 4 IMAGEM DE FUNÇÕES CHAMAMOS DE IMGAEM O CONJUNTO “ Im “ DOS ELEMENTOS y B PARA OS QUAIS EXISTE x A TAL QUE (x , y) f; PORTANTO: IMAGEM É SUBCONJUNTO DO CONTRADOMÍNIO ∈ ∈ ∈ IMAGEM É SUBCONJUNTO DO CONTRADOMÍNIO IM B⊂ A B IM B ⊂ ESQUEMATICAMENTE DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO IM DOMÍNIO “D” É O CONJUNTO DAS ABCISSAS DOS PONTOS TAIS QUE AS RETAS VERTICAIS CONDUZIDAS POR ESSES PONTOS INTERCEPTAM O GRÁFICO DE “f”, ISTO É, É O CONJUNTO FORMADO POR TODAS AS ABCISSAS DOS PONTOS DO GRÁFICO DE “ f ”. IMAGEMIMAGEM “Im” É O CONJUNTO DAS ORDENADAS DOS PONTOS TAIS QUE AS RETAS HORIZONTAIS CONDUZIDAS POR ESSES PONTOS INTERCEPTAM O GRÁFICO DE “f”, ISTO É, É O CONJUNTO FORMADO POR TODAS AS ORDENADSAS DOS PONTOS DO GRÁFICO DE “ f ”. DETERMINAR O DOMÍNIO DAS FUNÇÕES A SEGUIR: 2x 1)x(f)d 5x3)x(f)c 4x3)x(f)b 2x3)x(f)a 3 −= −= −= −= 2x 2x)x(f)g 4x 1x)x(f)f 1x 1)x(f)e 2 − += − −= += FUNÇÃO CONSTANTE f ( x ) = c Im= C (0, c) FUNÇÃO IDENTIDADE f ( x ) = x 21/03/2013 5 FUNÇÃO LINEAR f ( x ) = ax + b, a ≠ 0 a = coeficiente angular b = coeficiente linear ZERO DA FUNÇÃO AFIM FAZER f ( x ) = 0 ax + b = 0 x = - b / ax = - b / a GRÁFICO O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM É SEMPRE UMA RETA. SINAL DA FUNÇÃO AFIM À DIREITA À ESQUERDA SINAL À IR ITA SINAL DE “ a “ À ESQUERDA SINAL CONTRÁRIO DE “ a “ SOLUÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS x y 5 a) x y 1 3x 2y 14 b) + =⎧⎨ − =⎩ − = −⎧⎨ yb) 2x 3y 8 2x 5y 9 c) 7x 4y 10 ⎧⎨ + =⎩ − =⎧⎨ + =⎩ FUNÇÃO QUADRÁTICA f ( x ) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 f ( x ) = x2 – 3x + 2 f ( x ) = x2 – 4 f ( x ) = - 2x2 GRÁFICO y = x2 - 1 21/03/2013 6 GRÁFICO y = - x2 + 1 4 5 6 7 y −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −3 −2 −1 1 2 3 x ZEROS 2b b 4ac x 2 a − ± −= VÉRTICEVÉRTICE X y bV 2a V 4a bV ; 2a 4a −= −Δ= ⎛ ⎞− −Δ= ⎜ ⎟⎝ ⎠ IMAGEM: yIm R ou V= ≥ ≤ RELACIONADA A COORDENADA y DO VÉRTICE DA PARÁBOLA. SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA a < 0 ++++++++++++++++++++++++++ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ a > 0 SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA ++++++++++ ++++++++++ a < 0 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐a > 0 SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA a < 0 ++++++++++ ++++++++++ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ++++ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ a > 0 ++++ 21/03/2013 7 FUNÇÃO MODULAR f ( x ) = | x | x, se x 0≥⎧⎪⎨ou x, se x 0 ⎪⎨⎪− <⎩ GRÁFICO Y X OUTRAS FUNÇÕES 3 2 1 1a) f (x ) x b) f (x ) c) f (x ) x x 1 1 x 1d) f (x ) e) f (x ) f) f ( x ) 2 x x 1 x = = = + = = =− − 2 1g) f ( x ) (x 1) = + FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA FUNÇÃO EXPONENCIAL DADO UM NÚMERO REAL “a” (a > 0 ≠ 1), DENOMINA-SE FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE “a” A UMA FUNÇÃO f DE R EM R DEFINIDA POR f ( x ) = ax OU y = ax. f ( x ) = 3x f ( x ) = ( 0,5 )x REPRESENTAÇÃO GRÁFICA x f ( x ) = 2x -1 1 / 2 0 1 1 2 y 2 4 3 8 x (0; 1) 21/03/2013 8 x f ( x ) -1 2 0 1 1 1/2 ( ) x 2 1xf ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= y 1 1/2 2 1/4 3 1/8 x (0; 1) O GRÁFICO É UMA CURVA EXPONENCIAL QUE PASSA POR ( 0; 1 ). O DOMÍNIO DA FUNÇÃO É R; A IMAGEM É R*+; O GRÁFICO NÃO INTERCEPTA O EIXO X; O GRÁFICO, NÃO INTERCEPTA O EIXO X; QUANDO “a” > 1, A FUNÇÃO É CRESCENTE; QUANDO O 0 < a < 1 A FUNÇÃO É DECRESCENTE. LOGARÍTMO DE UM NÚMERO SE , ENTÃO PODEMOS DIZER QUE 3x2282 3xx =⇒=⇒= 8 3Log 82 = DEFINIÇÃO DADOS OS NÚMEROS REAIS POSITIVOS “a” E “b”, COM a ≠ 1, , ENTÃO O EXPOENTE “c” CHAMA-SELOGARITMO DE “b” NA BASE “a”. 5x22322xLog 5xx322 =⇔=⇔=⇔= PROPRIEDADES OPERATÓRIAS LOGARITMO DE UM PRODUTO ( ) N a M a N.M a LogLogLog += 7Log5Log)7.5(Log += LOGARITMO DE UM QUOCIENTE N a M a N M a LogLogLog −= 3Log7Log 3 7Log −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA M a M a Log.NLog N = 5Log.75Log 7 = 5Log.75Log 21/03/2013 9 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE “a” É A FUNÇÃO QUE ASSOCIA A CADA NÚMERO REAL POSITIVO x OCADA NÚMERO REAL POSITIVO x O NÚMERO REAL CHAMADO LOGARITMO DE x NA BASE a, COM a REAL, POSITIVO E DIFERENTE DE 1. x x 2 1/2a) f ( x ) Log b) f ( x ) Log= = EXEMPLOS x x 3 1/3c) f ( x ) Log d) f ( x ) Log= = REPRESENTAÇÃO GRÁFICA x y = f ( x ) y ( ) x2Logxf = 1 / 4 -2 1 / 2 -1 1 0 2 1 4 2 x (1; 0) y ( ) x 2/1Logxf = x y = f ( x ) 1/4 2 1/2 1 1 0 2 - 1 4 - 2 x (1; 0) CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES ¾ O GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA PASSA PELO PONTO (1; 0). ¾ O GRÁFICO NUNCA TOCA O EIXO y. ¾ SE a > 1 A FUNÇÃO É CRESCENTE. ¾ SE 0 < a < 1 A FUNÇÃO É DECRESCENTE. ¾ O DOMÍNIO É . ¾ A IMAGEM É R. *R+
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