Equa+º+Áes Diferenciais de 1-¬ Ordem (Equa+º+Áes Separ+íveis)

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EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
1 
CAPÍTULO 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 
 
No Capítulo 1, estudamos algumas idéias fundamentais por trás das equações diferenciais. 
Todas essas idéias serão aplicadas a partir de agora. Neste capítulo, iremos estudar as equações diferenciais 
de primeira ordem, que da Equação 1.1 podemos escrever 
 
 
 ( ) 
onde é uma função de duas variáveis dadas. Vimos no Capítulo 1, também, que toda função ( ) 
diferenciável e definida para todo no intervalo é considerada como solução da equação diferencial. Nosso 
principal objetivo neste capítulo é desenvolvermos métodos que são capazes de solucionar uma equação de 
primeira ordem, além de verificarmos se determinada equação diferencial possui ou não solução(ões). 
Infelizmente, veremos que, para cada tipo de equação diferencial de primeira ordem, há um método diferente 
para encontrarmos sua solução; porém, são métodos bastante confiáveis e de fácil compreensão. Devemos ter 
em mente que a resolução de uma equação diferencial envolvendo, frequentemente, as técnicas de 
integração, como a integração por partes, integração por substituição, integração por frações parciais, 
integração por substituição trigonométrica, etc; portanto, é importante relembrarmos destas técnicas para que 
possamos trabalhar de forma mais eficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação Diferencial 
2 
2.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEPARÁVEL 
 
 
As equações diferenciais separáveis são o tipo de equação diferencial mais simples. As 
equações diferenciais, neste caso, podem ser lineares ou não. 
Seja a equação diferencial de primeira ordem 
 
 
 ( ) 
Se a função for um produto entre as funções ( ) e ( ), podemos escrever ( ) ( ) ( ) e 
 
 
 ( ) ( ) (2.1) 
onde ( ) e ( ) são funções contínuas em . A equação diferencial 2.1 é chamada de separável, ou com 
variáveis separáveis. Este nome se dá, uma vez que podemos separar os termos de mesma variável da 
equação diferencial e mantê-los, cada um, em lados opostos da equação, 
 
 ( )
 ( ) 
Se considerarmos ( ) 
 
 ( )
, com ( ) , podemos escrever 
 ( ) ( ) (2.2) 
Uma observação importante sobre a Equação 2.2, é que não estamos, na verdade, separando 
as variáveis da derivada 
 
 
, mas sim as variáveis da função ( ). A representação da Equação 2.2 é 
apenas uma simplificação da “separação de variáveis”. 
 
Exemplo 1 
Sejam as equações diferenciais 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
Verifique se são equações diferenciais com variáveis separáveis. 
Resolução: 
Podemos notar que a primeira equação diferencial é separável, já que podemos escrevê-la sob a forma 
 
A segunda equação diferencial, no entanto, não contém variáveis separáveis. Temos, portanto, uma equação diferencial 
não separável. 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
3 
A solução da equação diferencial separável é obtida, simplesmente, pela integral de ambos 
os lados da Equação 2.2. Em seguida, isolamos a variável dependente para obtermos a solução explícita, ou 
deixamos, mesmo, a solução escrita em sua forma implícita, 
∫ ( ) ∫ ( ) (2.3) 
 
Exemplo 2 
Encontre a solução geral da equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Para solucionar a equação diferencial dada, devemos inicialmente separar suas variáveis, 
 
Em seguida, integramos ambos os lados da equação diferencial 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
e temos a solução da equação diferencial. Porém, devemos fazer algumas observações sobre esta solução. Primeiro é 
que não precisamos utilizar as duas constantes de integração. Ajustando a solução 
 
 
 
 
 
 
e multiplicando por 
 
onde ( ). Segunda observação é que podemos representar a solução da equação diferencial sob a forma 
implícita, como acima, ou isolar a variável para dar 
 ( ) √ 
 
Exemplo 3 
Resolva a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Primeiramente, devemos analisar se a equação diferencial dada é separável, o que é uma verdade. Sendo 
assim, vamos separar suas variáveis e colocá-la na forma diferencial, com os termos de no lado esquerdo e os termos 
de no lado direito da equação, como segue, 
 
 
 
 
 
 
Agora, integrando ambos os lados da equação, obtemos 
Equação Diferencial 
4 
∫
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
Aplicando o número de Euler em ambos os lados 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Substituindo ( ), temos que a solução da EDO é representada pela expressão, 
 ( ) 
 
Exemplo 4 
Encontre a solução geral da equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
A equação diferencial, neste exemplo, é separável. Assim, podemos escrever 
( ) 
Integrando ambos os lados da equação diferencial, 
∫( ) ∫ 
∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, nós escrevemos a constante ; perceba que não precisamos carregar sempre as constantes de integração 
quando resolvermos as integrais. Assim, a solução geral da equação diferencial é dada pela forma implícita, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
Resolva a equação diferencial 
 
 
 
 
Resolução: 
Inicialmente, iremos organizar a equação diferencial para deixa-la em sua forma separável. organizando o 
lado direito da equação, como segue 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
5 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( )( ) 
Sendo assim, separando as variáveis e integrando ambos os lados, obtemos 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever a solução da equação diferencial na forma implícita 
 
 
 
 
em que a constante , ou escrever na sua forma explícita 
 ( 
 
 
) 
 
Exemplo 6 
Resolva o problema do valor inicial 
 ( ) 
Resolução: 
Para resolvermos o PVI devemos, incialmente, encontrar a solução geral da equação diferencial. Como a 
equação diferencial já se encontra na sua forma separável, basta integrarmos ambos os lados da equação para obtermos, 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
Temos, então, a solução da EDO na sua forma implícita. Substituindo as condições iniciais na solução da EDO, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o PVI nos fornece 
 
 
 
 
 
 
Equação Diferencial 
6 
 
ou na forma explícita 
 
 ( ) √ 
 
Exemplo 7 
Resolva o problema do valor inicial 
 
 
 ( ) 
Resolução: 
Esta equação diferencial é separável. Assim, organizando-a, temos 
 
 
 
e integrando 
∫
 
 
 ∫ 
A integral do lado esquerdo é resolvida através da decomposição em frações parciais, 
 
 
 
 
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o mínimo múltiplo comum no lado direito 
 
( )( )
 
 ( ) ( )
( )( )
 
obtemos a equação 
 ( ) ( ) 
Substituindo e depois , obtemos os valores 
 
 
 e 
 
 
. Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na integral, obtemos 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ 
As duas integrais do lado esquerdo podem ser resolvidas com o auxílio da técnica de integração por substituição, o que 
nos fornece( ) 
Usando as propriedades algébricas do logaritmo, 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
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 |(
 
 
)
 
| 
e aplicando o número de Euler em ambos os lados, 
|(
 
 
)
 
| 
|(
 
 
)
 
| 
(
 
 
)
 
 
 
 
 ( ) 
Fazendo , 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
Finalmente, isolando a variável obtemos a solução geral da equação diferencial, 
 ( ) 
 
 
 
Para resolvermos o problema do PVI substituímos as condições iniciais ( ) , para obtermos Daí, a 
solução particular da equação diferencial é dada por 
 ( ) 
 
 
 
A solução da equação diferencial não possui restrições no domínio e ( ). A Figura 2.1 mostra o gráfico desta 
solução particular. Note que nossas observações condizem com a análise sobre a solução. 
 
Exemplo 8 
Resolva a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
A equação diferencial é não-linear e separável. Assim, separando as variáveis, obtemos 
( ) 
e integrando 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2.1 – (a) Solução do problema do valor inicial 
do exercício 1.7 e (b) uma família de soluções da 
equação diferencial. 
Equação Diferencial 
8 
∫( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos aí a solução da equação diferencial na forma implícita. A Figura 2.2 mostra a família de soluções ao 
parâmetro . Todas as funções diferenciáveis que satisfaça esta função será considerada solução da equação diferencial. 
Observe que a curva integral que passa pela origem do plano cartesiano (curva na cor preta) é aquela onde o parâmetro 
 . As curvas integrais que se encontram do lado esquerdo a esta curva integral são todas aquelas onde o parâmetro 
 e aquelas que se encontram do lado direito desta, são aquelas onde . 
 
Figura 2.2 – Família de soluções da equação diferencial 
do Exemplo 8. Linha em preto corresponde ao parâmetro 
 . 
 
EXERCÍCIOS 2.1 
 
Nos exercícios de 01-30, encontre a solução das equações diferenciais. 
01. 
 
 
 
 
 
 16. 
 
 
 
 
 
 
02. 
 
 
 
 
 
 17. 
 
 
 
 
 
 
03. 
 
 
 
 
 
 18. 
 
 
 
04. 
 
 
 
 
 
 19. ( ) ( ) 
05. 
 
 
 20. ( ) 
06. 
 
 
 21. 
07. 
 
 
 22. 
 
 
 
 
 
 
08. 23. 
 
 
 
 
 
 
09. 24. 
 
 
 
10. 
 
 
 ( ) 25. 
 
 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
9 
11. 26. 
 
 
 
12. 27. 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
 
 28. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. 
 
 
 29. ( )
 
 
 ( ) 
15. 
 
 
 30. 
 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios de 31-60, resolva o problema do valor inicial e determine o intervalo no qual a solução está definida. 
31. 
 
 
 ( ) 46. ( ) ( ) 
32. ( ) 
 
 
 ( ) 47. 
 
 
 ( ) 
33. 
 
 
 ( ) 48. 
 
 
 ( ) 
34. 
 
 ( ) ( ) 49. 
 
 
 √ ( ) 
35. ( ) ( ) 50. 
 
 
 ( ) 
36. ( ) 51. ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
37. ( ) ( ) ( ) 52. 
 
 
 ( ) ( ) 
38. 
 
 
 ( ) 53. ( ) ( ) 
39. 
 
 
 
 
 
 ( ) 54. 
 
 
 
 
 
 ( ) 
40. ( ) ( ) 
 
 
 55. ( ) ( ) 
41. 
 
 
 ( ) 56. ( ) 
42. 
 
 
 
 
 
 ( ) 57. √ √ ( ) 
43. 
 
 
 
 
 
 ( ) 58. ( ) ( ) ( ) 
44. ( ) 
 
 
 59. ( ) ( ) 
45. (
 
 
) 
 
 
 60. (
 
 
)