Prévia do material em texto

O Conhecimento Formal e a Matemática Computacional
O conhecimento formal, lógico e matemático é fundamental para a tomada de decisões e ações coerentes em diversas áreas da vida e da sociedade. Em contextos profissionais, como a seleção de executivos para uma rede bancária, a capacidade de resolver problemas matemáticos complexos demonstra essa relevância.
Aplicação da Matemática em Problemas Reais
Um problema financeiro que exige o cálculo de montante (M), taxa (i) ou tempo (t) em capitalização composta (usando a fórmula M=C(1+i)t) ilustra a necessidade de diferentes operações matemáticas:
· Para calcular M: usa-se potenciação.
· Para calcular i: usa-se radiciação.
· Para calcular t: usa-se logaritmação.
Mesmo com o auxílio de calculadoras ou computadores, o conhecimento das linguagens formal, lógica e matemática é essencial para aplicar as fórmulas corretamente e até mesmo para desenvolver as tecnologias que as resolvem. Isso se estende a operações bancárias, gestão, engenharias, ciências e o cotidiano em geral, reforçando a importância do estudo da Matemática.
Histórico da Matemática Computacional
A capacidade humana de calcular impulsionou o desenvolvimento da matemática e da lógica, passando por diversas etapas e inovações:
· Primórdios: Inicia-se com o uso dos dedos e, posteriormente, com o surgimento do ábaco na região do Mar Mediterrâneo (ex: ábaco romano com bolinhas de mármore).
· Século XVI-XVII:
· John Napier (1550-1617): Criou os bastões de Napier para auxiliar multiplicações.
· Wilhelm Schickard (1592-1635): Desenvolveu a primeira máquina de calcular capaz de fazer multiplicação e divisão (perdida na Guerra dos Trinta Anos).
· Blaise Pascal (1623-1662): Inventou a Pascaline em 1642, a primeira calculadora conhecida para somas e subtrações.
· Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): Introduziu em 1671 o conceito de realizar multiplicações e divisões por meio de adições e subtrações sucessivas, construindo uma máquina em 1694.
· Século XIX:
· Charles Xavier Thomas de Colmar (1785-1870): Projetou e construiu o Arithmometer em 1820, a primeira calculadora comercializada com sucesso, capaz de efetuar as quatro operações aritméticas básicas.
· Joseph Marie Jacquard (1752-1834): Inventou em 1801 um tear mecânico controlado por cartões perfurados durante a Revolução Industrial na França, um precursor do armazenamento de dados.
· Charles Babbage (1791-1871): Conhecido como o "Pai do Computador", projetou o "Calculador Analítico", que se aproximava da concepção de um computador moderno.
· Ada Augusta Lovelace (1815-1852): Em parceria com Babbage, tornou-se pioneira da lógica de programação, criando conceitos como subrotina, laços (loops) e desvio condicional. O projeto de Babbage e Ada, porém, não foi concluído devido a limitações tecnológicas e financeiras.
· George Boole (1815-1864): Publicou em 1854 os princípios da lógica booleana, com variáveis assumindo valores 0 e 1 (verdadeiro/falso), fundamental para a computação moderna.
· Dr. Herman Hollerith (1860-1929): Em 1890, revolucionou o processamento de dados do censo (reduzindo de 7,5 para 2,5 anos) com máquinas de perfurar, tabular e ordenar cartões.
· Século XX:
· II Guerra Mundial: Aumentou as pesquisas em computação. Em 1944, a Marinha dos EUA, Harvard e IBM construíram o Mark I, um gigante eletromagnético que, de certa forma, concretizava o projeto de Babbage.
· John von Neumann (1903-1957): Formalizou o projeto lógico de um computador, sugerindo o armazenamento de instruções na memória para maior velocidade de execução.
· Gerações de Computadores:
· Primeira Geração (1945–1959): Utilizava válvulas eletrônicas, eram grandes, lentos e superaqueciam.
· Segunda Geração (1959–1964): Substituição de válvulas por transistores e circuitos impressos, tornando-os mais rápidos, menores e mais baratos.
· Terceira Geração (1964–1970): Uso de circuitos integrados, resultando em maior compactação, redução de custos e velocidade em microsegundos. Início de sistemas operacionais avançados.
· Quarta Geração (1970–Hoje): Aperfeiçoamento da tecnologia existente, miniaturização, confiabilidade e velocidades em nanosegundos.
· Quinta Geração (1990s em diante): Termo cunhado pelos japoneses para computadores "inteligentes", evoluindo para a conectividade massiva entre computadores, com foco na inteligência artificial, sistemas especialistas e linguagem natural.
Teoria dos Conjuntos
A Teoria dos Conjuntos é um pilar da matemática, fundamental para organizar e manipular informações.
Conceitos Primitivos
· Conjunto: Coleção ou reunião de objetos (elementos). Denotado por letras maiúsculas (A, B, C).
· Ex: A = {a, e, i, o, u} (Vogais)
· Elemento: Um dos componentes de um conjunto. Denotado por letras minúsculas (a, b, c).
· Ex: 'a' é um elemento do conjunto A.
· Pertinência: Característica de um elemento que faz parte de um conjunto. Símbolo ∈ ("pertence") ou ∈/ ("não pertence").
· Ex: 1∈N (1 pertence ao conjunto dos números naturais)
Notações para Conjuntos
· Apresentação: Elementos listados entre chaves { }. Ex: A={a,e,i,o,u}.
· Descrição: Conjunto descrito por uma ou mais propriedades. Ex: A={x∣x eˊ uma vogal}.
· Diagrama de Venn-Euler: Representação gráfica de conjuntos por meio de figuras geométricas.
Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de B, denotado por A⊆B, se todos os elementos de A também estão em B. B é o superconjunto que contém A. Se A está "propriamente contido" em B, significa que B contém todos os elementos de A e mais alguns.
Conjuntos Especiais
· Conjunto Vazio (∅ ou { }): Não possui elementos. Está contido em todos os conjuntos.
· Conjunto Universo (U): Contém todos os elementos e todos os conjuntos de um dado contexto.
Operações com Conjuntos
· Reunião (União): A∪B={x∣x∈A ou x∈B}. Inclui todos os elementos de A ou de B.
· Ex: Se A={a,e,i,o} e B={3,4}, então A∪B={a,e,i,o,3,4}.
· Interseção: A∩B={x∣x∈A e x∈B}. Inclui apenas os elementos comuns a A e B.
· Ex: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4}, então A∩B=∅ (conjuntos disjuntos).
· Diferença: A−B={x∣x∈A e x∈/B}. Inclui elementos que pertencem a A, mas não a B.
· Complemento de um Conjunto (C$_ABouB^c$): Quando B está contido em A, CA​B=A−B. Representa os elementos de A que não estão em B. Se o universo U é claro, denota-se B$^c$.
· Ex: ∅c=U e Uc=∅.
· Diferença Simétrica: AΔB={x∣x∈(A∪B) e x∈/(A∩B)}. Inclui todos os elementos da união, exceto os da interseção (elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos).
Propriedades dos Conjuntos
1. Fechamento: A união (A∪B) e a interseção (A∩B) de quaisquer conjuntos A e B resultam em conjuntos dentro do universo.
2. Reflexiva: A∪A=A e A∩A=A.
3. Inclusão: A⊆(A∪B), B⊆(A∪B), (A∩B)⊆A, (A∩B)⊆B.
4. Inclusão Relacionada: A⊆B⟺A∪B=B e A⊆B⟺A∩B=A.
5. Associativa: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C e A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.
6. Comutativa: A∪B=B∪A e A∩B=B∩A.
7. Elemento Neutro para Reunião: A∪∅=A.
8. Elemento Nulo para Interseção: A∩∅=∅.
9. Elemento Neutro para Interseção: A∩U=A.
10. Distributiva: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) e A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
Leis de Augustus De Morgan
Essas leis relacionam as operações de união, interseção e complemento:
1. (A∪B)c=Ac∩Bc (O complementar da união é a interseção dos complementares).
2. (A1​∪A2​∪...∪An​)c=A1c​∩A2c​∩...∩Anc​ (Generalização da 1ª lei para múltiplos conjuntos).
3. (A∩B)c=Ac∪Bc (O complementar da interseção é a união dos complementares).
4. (A1​∩A2​∩...∩An​)c=A1c​∪A2c​∪...∪Anc​ (Generalização da 3ª lei para múltiplos conjuntos).
Conjuntos Numéricos e Intervalos
A matemática utiliza diversos conjuntos de números para resolver problemas, sendo o conjunto dos números reais (R) o mais abrangente para o cotidiano.
· Conjunto dos Números Naturais (N): {0,1,2,3,...} (ou {1,2,3,...} dependendo da definição).
· Conjunto dos Números Inteiros (Z): {...,−2,−1,0,1,2,...} (inclui negativos, zero e positivos).
· Conjunto dos Números Racionais (Q): Números que podem ser escritos como fração ba​, onde a∈Z e b∈Z,b=0 (inclui decimais exatas e dízimas periódicas).
· Conjunto dos Números Irracionais (I): Números que não podem ser escritos como fração (dízimas nãoperiódicas, ex: π, 2​).
A união de N, Z, Q e I forma o conjunto dos Números Reais (R).
Relações entre os Conjuntos:
N⊂Z⊂Q⊂R e I⊂R.
Intervalos
Intervalos são subconjuntos dos números reais definidos por desigualdades (,≤,≥). Podem ser representados de três formas:
· Geométrica (Reta Numérica): Usando "bolinha vazia" (extremidade não inclusa) e "bolinha cheia" (extremidade inclusa).
· Algébrica (Notação de Conjunto): {x∈R/condic¸​a˜o}. Ex: {x∈R/20, a função é crescente (conforme x cresce, y cresce).
· Se a0: Concavidade Voltada para Cima (CVC).
· Se aDomínio: {x∈R/x≥−5/2 e x=2}