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15 Integração Até agora, nosso estudo do Cálculo se concentrou basicamente no seguinte problema: encontrar a derivada de uma função f dada. Vamos agora estudar o problema inverso: encontrar uma função F cuja derivada é dada. A função F é chamada uma antiderivada ou primitiva de f se, para todo x no domínio de f, vale a relação xfxF Uma mesma função f(x) admite mais que uma antiderivada 1 . Teorema: Se F é uma antiderivada de f no intervalo I, então G é uma antiderivada de f no intervalo I se, e só se, G tem a forma G(x) = F(x) + C , para todo x em I onde C é uma constante. Este teorema nos diz que podemos encontrar uma família inteira de antiderivadas de uma função adicionando constantes a uma antiderivada conhecida. Se xFy é uma antiderivada de f, diremos que xF é solução da equação xf dx dy Ao resolver uma equação deste tipo, é conveniente reescrevê-la na forma diferencial , ou seja, dxxfdy Encontrar todas as soluções desta equação ( a antiderivada geral de f) é uma operação chamada integração (ou antidiferenciação). Ela é representada pelo símbolo de integral .A solução geral de dxxfdy é denotada por variável de integração CxFdxxfy integrando constante de integração 1 Por exemplo, F(x) = 3 3x é uma antiderivada da função 2xxf , pois xfxxxF 2 2 3 3 . As funções 4 3 3 x xG e 3 33 x xH também são primitivas da função 2xxf , pois xfxHxG . Universidade Estadual do Rio Grande do Sul Cálculo II - Energia Profa. Rosandra Santos Mottola Lemos 16 Lê-se dxxf como a antiderivada de f em relação a x. Portanto, a diferencial dx serve para identificar x como variável de integração. O termo integral indefinida é sinônimo de antiderivada. Portanto, a notação CxFdxxf onde C é uma constante arbitrária, significa que F é uma antiderivada de f. Isto é, xfxF para todo x no domínio. De fato, a integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra, pois substituindo-se xF na definição acima, obtemos CxFdxxF Além disso, se CxFdxxf , então xfdxxf dx d Estas observações nos permitem obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas para diferenciação. Teorema: Fórmula de Derivação Fórmula de Integração Regras Básicas de Integração 0C dx d Cdx0 0, kkkx dx d 0, kCkxkdx xfkxkf dx d dxxfkdxxkf xgxfxgxf dx d dxxgdxxfdxxgxf 1 nn nxx dx d 1, 1 1 nC n x dxx n n Exemplo 1: Calcular a integral indefinida dxx 53 17 Exemplo 2: Calcular a integral indefinida dxxxxx 72985 234 Exemplo 3: Calcular a integral indefinida dx x xx 1 Exemplo 4: Calcular a integral indefinida dt t t 34 2 75 Área Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b. 18 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos a = x0 < x1< ...< xi –1 < xi < ...< xn = b Seja xi = xi – xi –1 o comprimento do intervalo [xi –1, xi]. Em cada um destes intervalos [xi –1, xi], escolhemos um ponto qualquer ci. Para cada i , i = 1, ...., n, construímos um retângulo de base xi e altura f(ci) y = f(x) y x0 = a c1 x1 c2 x2 xi – 1 ci xi xn –1 cn xn = b x A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: Sn = f(c1)x1 + f(c2)x2 + ...+ f(cn)xn = i n i i xcf 1 Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi , i = 1, ..., n, torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como área de S. Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a curva y = f(x), de a até b, é definida por i n i i xmáx xcfA i 1 0 lim onde para cada i = 1, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi]. 19 Integral Definida A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de áreas. Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann de f existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por dxxfxcf b a i n i i xmáx i 1 0 lim O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de integração e b é o limite superior. É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas diferentes. Uma integral definida é um número , enquanto uma integral indefinida é uma família de funções. Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema abaixo. Teorema: Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b]. Quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área (definição dada acima). Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo dos x de a até b, ou seja, dxxfárea b a Sempre que utilizamos um intervalo [a,b], supomos a < b. Assim em nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior.Será conveniente estender essa definição. Geometricamente, as duas definições particulares a seguir parecem razoáveis: Se f está definida em x = a, então 0 dxxf a a Se f é integrável em [a,b], então dxxfdxxf b a a b 20 Propriedades da Integral Definida Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: dxxfdxxfdxxf b cc a b a Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes propriedades são verdadeiras: (a) dxxfkdxxkf b a b a (b) dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e xgxf 0 para bxa , então as seguintes propriedades são verdadeiras: (a) dxxf b a 0 (b) b a b a dxxgdxxf Teorema Fundamental do Cálculo Este teorema relaciona a diferenciação e a integração como operações inversas e nos diz que os processos de limite (usados para definir a derivada e a integral definida) preservam esta relação de inversão. Teorema: Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b], então aFbFdxxf b a onde F é qualquer função tal que xfxF para todo x em [a,b]. Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos encontrar uma antiderivada de f. Ao aplicar este teorema, a notação aFbFxFdxxf ba b a é bastante útil. Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da antiderivada, já que 21 aFbFCaFCbFCxFdxxf ba b a Exemplo 1: Calcule as seguintes integrais indefinidas: dxx 2 0 2 3 , 2 0 12 dxx Exemplo 2: Encontre a área da região limitada pelo gráfico de 232 2 xxy , o eixo dos x e as retas verticais x = 0 e x = 2.
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