EDO de Oredm 2

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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
EDO de 2a Ordem
por
Ab́ılio Lemos
Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática-CCE
Aulas de MAT 147 - 2024-1
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
EDO homogênea com coeficientes constantes
Prinćıpio da Superposição
Definição 1
Uma EDO de segunda ordem tem a forma:
y ′′ = f (x , y , y ′) (1)
A EDO (1) é dita linear se a função f pode ser escrita como
f (x , y , y ′) = g(x)− p(x)y ′ − q(x)y .
Assim, a EDO (1) se torna
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = g(x).
Lembremos que, no caso em que g(x) = 0, a EDO é homogênea.
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
EDO homogênea com coeficientes constantes
Prinćıpio da Superposição
Definição 2
Uma EDO homogênea com coeficientes constantes é dada por
ay ′′ + by ′ + cy = 0, com a ̸= 0, b, c ∈ R. (2)
Uma solução para a EDO (2) é y(x) = erx , onde r é raiz de
ar2 + br + c = 0. (3)
A equação (3) é chamada equação caracteŕıstica da EDO (2).
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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
EDO homogênea com coeficientes constantes
Prinćıpio da Superposição
1o Caso: As ráızes r1 e r2 da equação (3) são reais e distintas.
Neste caso, y(x) = er1x e y(x) = er2x são soluções de (2) e
portando y(x) = Aer1x + Ber2x , com A,B ∈ R, também é solução
de (2).
Exemplos: Resolva as EDO’s abaixo.
(a) y ′′ + y ′ − 2y = 0;
(b) 2y ′′ − 6y ′ + 4y = 0;
(c) y ′′ + 2y ′ − 3y = 0.
(d) 2y ′′ − 3y ′ + y = 0;
(e) 4y ′′ − 9y ′ = 0;
(f) y ′′ − 2y ′ − 2y = 0.
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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
EDO homogênea com coeficientes constantes
Prinćıpio da Superposição
Considere a EDO homogênea
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0 (4)
Teorema (Prinćıpio da Superposição): Se y1(x) e y2(x) são
soluções de (4), então
y(x) = Ay1(x) + By2(x),
com A,B ∈ R, também é solução de (4). Vamos chamar a solução
y(x) = Ay1(x) + By2(x) de solução geral da EDO.
Posteriormente explicaremos porque essa solução é chamada assim.
Exemplo: Determine a solução geral da EDO y ′′ − 2y ′ − 15y = 0.
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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Teorema (D’Alembert): Sejam y1(x) uma solução, não nula, da
EDO
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, (5)
então a substituição y(x) = v(x)y1(x) transforma a EDO (5) em
uma EDO linear homogênea de ordem 1 para v ′ =
dv
dx
. Além disso,
se v1(x) é uma solução, não nula, dessa EDO de ordem 1, então
v1(x)y1(x) é outra solução de (5). Assim, toda solução de (5) é da
forma y(x) = Ay1(x) + Bv1(x)y1(x), com A,B ∈ R.
Exemplo: Verifique que y1(x) = x é solução da EDO
x2y ′′ − x(x + 2)y ′ + (x + 2)y = 0 e depois determine a solução
geral da EDO.
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EDO de 2a Ordem
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PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
2o Caso: As ráızes r1 e r2 da equação ar2 + br + c = 0 são reais e
iguais, ou seja, r1 = r2 = r .
Neste caso, y1(x) = erx e y2(x) = v(x)erx são soluções da EDO
ay ′′ + by ′ + cy = 0 e portando qualquer solução da EDO é da
forma y(x) = Aerx + Bv(x)erx , com A,B ∈ R.
Exemplo: Determine a solução geral da EDO 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 0.
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Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
3o Caso: As raizes r1 e r2 da equação ar2 + br + c = 0 são
complexas conjugadas, ou seja, r1 = α+ βi e r2 = α− βi .
Neste caso, ỹ1(x) = e(α+βi)x e ỹ2(x) = e(α−βi)x são soluções da
EDO ay ′′ + by ′ + cy = 0 (só que são complexas). Usando alguns
argumentos algébricos podemos mostrar que eαx cosβx e
eαxsenβx são soluções da EDO e portando qualquer solução da
EDO é da forma y(x) = Aeαx cosβx + Beαxsenβx , com A,B ∈ R.
Exemplo: Determine a solução geral da EDO y ′′ + 2y ′ + 5y = 0.
Exerćıcio: Determine a solução geral da EDO y ′′ + b2y = 0, com
b ∈ R.
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Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Teorema de Existência e Unicidade para EDO’s de 2a ordem
Definição 3
Um problema de valor inicial (PVI) é uma EDO com uma condição
inicial, ou seja,
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, y(x0) = y0, y
′(x0) = y ′0
Exemplo: Determine a solução do PVI’s abaixo.
(a) y ′′ + 2y ′ + y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 2;
(b) 6y ′′ − 5y ′ + y = 0, y(0) = 4, y ′(0) = 0;
(c) y ′′ + 4y ′ + 3y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = −1;
(d) y ′′ + 8y ′ + 25y = 0, y(π/3) = 1, y ′(π/3) = 0;
(e) y ′′ + 4y ′ + 4y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 1.
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Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Teorema de Existência e Unicidade para EDO’s de 2a ordem
Teorema 1
O PVI
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x), y(x0) = y0 e y
′(x0) = y ′0, (6)
para p(x), q(x) e f (x) cont́ınuas em um intervalo aberto I
contendo x0, tem única solução em I .
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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Considere o PVI:
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, y(x0) = y0, y
′(x0) = y ′0 (7)
em que y0 e y ′0 são condições iniciais dadas no problema.
Teorema: Sejam y1(x) e y2(x) duas soluções da EDO (7) tais
que, em um ponto x0 ∈ R,
det
[
y1(x0) y2(x0)
y ′1(x0) y ′2(x0)
]
̸= 0.
Então para todo par de condições iniciais (y0, y
′
0) o PVI (7) tem
uma única solução y(x) = Ay1(x) + By2(x).
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EDO de 2a Ordem
Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Definição 4
(1) O determinante
W [y1, y2] = det
[
y1(x0) y2(x0)
y ′1(x0) y ′2(x0)
]
é chamado Wronskiano das funções y1(x) e y2(x) em x0.
(2) Se y1(x) e y2(x) são duas soluções de (7) tais que
W [y1, y2] ̸= 0 em x0 ∈ R, então essas soluções são chamadas
soluções fundamentais.
(3) Se y1(x) e y2(x) são soluções fundamentais de (7), então a
faḿılia de soluções y(x) = Ay1(x) + By2(x), com A,B ∈ R, é
chamada solução geral de (7). Duas soluções satisfazendo
(2) e (3) formam um conjunto fundamental de soluções.
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Redução de ordem
PVI de 2a ordem
Conjunto fundamental de soluções
Método da Variação de Parâmetros
Temos W [er1x , er2x ] = (r2 − r1)e
(r1+r2)x ̸= 0, pois r1 ̸= r2
W [erx , xerx ] = e2rx ̸= 0 e W [eαx cosβx , eαxsenβx ] = βe2αx ̸= 0,
pois β ̸= 0 já que b2 − 4acsão soluções das EDO’s e se elas
formam um conjunto fundamental de soluções.
(a) y ′′ + 4y = 0; y1(x) = cos 2x e y2(x) = sen 2x;
(b) y ′′ − 2y ′ + y = 0; y1(x) = ex e y2(x) = xex ;
(c) x2y ′′ − x(x + 2)y ′ + (x + 2)y = 0; x > 0; y1(x) =
x e y2(x) = xex ;
(d) (1− xcotg x)y ′′ − xy ′ + y = 0; 0