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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Vetores 
 
Definição: Considerando dois pontos 𝐴 e 𝐵, o segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um segmento de reta 
determinado por estes pontos considerados numa certa ordem. O ponto 𝐴 é chamado origem ou 
ponto inicial e 𝐵 extremidade ou ponto final. 
 
Exemplo 1: Tomemos 𝐴 = (1, 2) e 𝐵 = (−3, 4). Se consideramos que 𝐴 é o ponto inicial e 𝐵 é 
o ponto final de um segmento de reta orientado temos a figura à esquerda. Se 𝐴 é o ponto final e 
𝐵 é o ponto inicial temos o segmento da figura à direita. Isto evidencia que para a definição 
acima a ordem em que os pontos são escolhidos faz com que estejamos tratando de segmentos 
de retas distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Os pontos 𝐴 = (−1, 3, −2) e 𝐵 = (2, 4, 1) determinam o mesmo segmento de reta, 
contudo, determinam dois segmentos de reta orientados distintos, a saber, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
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Definição: Dois segmentos orientados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são coincidentes se possuem os mesmos pontos 
inicial e final. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são opostos se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ . O segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é dito nulo se 
𝐴 = 𝐵. 
 
Exemplo 3: Se 𝐴 = (−2, 4, 8), 𝐵 = (1, 0, −3), 𝐶 = (−2, 4, 8) e 𝐷 = (1, 0, −3) então 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
são coincidentes, pois 𝐴 = 𝐶 e 𝐵 = 𝐷. O segmento orientado 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é nulo uma vez que 𝐵 = 𝐷. 
 
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Exemplo 4: Os segmentos orientados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ abaixo são opostos, pois o ponto inicial de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é 
igual ao ponto final de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: O comprimento de um segmento orientado é a sua medida em relação a certa 
unidade de comprimento. O segmento orientado nulo tem comprimento zero e todos os outros 
têm comprimento positivo. 
 
Exemplo 5: O segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tem comprimento 3 na unidade 𝑢 de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: Dois segmentos orientados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , não nulos, tem a mesma direção se estão 
situados sobre retas suportes paralelas ou coincidentes. Nesse caso podemos comparar seus 
sentidos. 
 
Exemplo 6: Observe as figuras a seguir. Na primeira delas temos segmentos orientados com 
mesma direção, mas sentidos opostos, pois estão sobre retas suportes paralelas e apontam para 
lados diferentes. Na segunda os segmentos estão sobre retas concorrentes, o que nos permite 
afirmar que não possuem mesma direção e nos impossibilita de comparar seus sentidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 7: Os segmentos que encontramos na imagem têm mesma direção e sentido. Veja que 
ambos estão sobre a mesma reta suporte e apontam para o mesmo lado. 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: Segmentos orientados nulos não possuem direção nem sentido. 
 
Definição: Dois segmentos orientados não nulos 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ são equipolentes se têm mesma 
direção, comprimento e sentido. Denotaremos por 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅~𝑃𝑄̅̅ ̅̅ . 
 
Exemplo 8: Os segmentos orientados vistos nas figuras são todos equipolentes entre si, pois 
todos possuem mesma direção, sentido e comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: Consideramos todos os segmentos nulos equipolentes. 
 
Propriedades da Equipolência 
1. Reflexiva: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
2. Simétrica: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐶𝐷̅̅ ̅̅ então 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ~𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
3. Transitiva: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ~𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , então 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝑃𝑄̅̅ ̅̅ . 
4. Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐶𝐷̅̅ ̅̅ então 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ ~𝐷𝐶̅̅ ̅̅ . 
5. Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐶𝐷̅̅ ̅̅ então 𝐴𝐶̅̅̅̅ ~𝐵𝐷̅̅ ̅̅ (Paralelogramo) 
6. Dado um segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e um ponto qualquer 𝐶, existe um único ponto 𝐷 tal que 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ~𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . 
 
 As imagens a seguir facilitam a compreensão das propriedades 4, 5 e 6. É importante 
lembrar que embora a representação tenha sido feita no plano a mesmas propriedades são 
válidas para segmentos orientados no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedade 4 Propriedade 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade 6 
 
Definição: Toda relação que satisfaz as três propriedades reflexiva, simétrica e transitiva é 
chamada relação de equivalência. 
 
Definição: Chama-se vetor determinado por um segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ao conjunto de todos 
os segmentos equipolentes a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Denotamos por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 Seja �̅� o representante de um vetor. Se colocarmos seu ponto inicial na origem de um 
sistema de coordenadas retangulares teremos que seu ponto final tem coordenadas (𝑎1, 𝑎2) ou 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), dependendo se estivermos em duas ou três dimensões. Essas serão as componentes 
do vetor 𝑎 e escreveremos 
𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 𝑜𝑢 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 9: Abaixo estão representados os vetores 〈−2, 3〉 e 〈1, 3, 4〉. Ambos têm ponto inicial 
na origem e extremidade no ponto cujas coordenadas são as componentes dos vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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No espaço, assim como no plano com as devidas modificações, o vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 =
 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 é o vetor posição do ponto 𝑃(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3). Seja 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ um outro representante do vetor 
𝑎 , onde 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Então, 
𝑎 = 〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1〉. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10: Quando escrevemos 〈2, 3〉 entendemos que este é o vetor cujo um dos 
representantes é o segmento orientado com ponto inicial na origem e ponto final (2, 3). Isto não 
significa que não possamos desenhá-lo com ponto inicial em qualquer outro ponto do espaço, 
pois, como sabemos, as informações que nos interessam são a direção, o sentido e o 
comprimento desse segmento. Todos os segmentos orientados vistos na figura abaixo 
representam o mesmo vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 11: Veja o segmento orientado abaixo. Se considerarmos que ele representa o vetor 𝑎 
então para sabermos suas componentes devemos considerar um representante deste vetor que 
tenha ponto inicial na origem do sistema. Assim, as componentes de 𝑎 são 〈3, 1〉. 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: O comprimento de um vetor bidimensional 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 é 
‖𝑎 ‖ = √𝑎1
2 + 𝑎2
2 
e o comprimento de um vetor tridimensional 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 é 
‖𝑎 ‖ = √𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2. 
 
Exemplo 12: O vetor 〈4, −6〉 tem comprimento dado por 
‖〈4,−6〉‖ = √42 + (−6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13. 
O vetor 〈2, 3, 5〉 tem comprimento igual a 
‖〈2, 3, 5〉‖ = √22 + 32 + 52 = √4 + 9 + 25 = √38 . 
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Definição: Dados os vetores 𝑎 e �⃗� traçamos 𝑎 a partir de um ponto arbitrário 𝑃 e em seguida o 
vetor 𝑣 a partir do ponto final de 𝑎 . A soma 𝑎 + �⃗� será o vetor com ponto inicial coincidindo 
com o ponto inicial de 𝑎 e ponto final coincidindo com o ponto final de �⃗� . Se 𝑎 e �⃗� não tiverem 
a mesma direção a soma entre eles pode ser obtida através da regra do paralelogramo, onde 
𝑎 + �⃗� é representada pela diagonal maior do paralelogramo determinado por 𝑎 e �⃗� com 
mesma origem. 
 
 Aqui apresentamos alguns casos de somas de vetores onde o ponto inicial do segundo 
coincide com o ponto final do primeiro. 
 
 
Direçõesdistintas 
Direção e sentido iguais 
 
 
 Em seguida temos ilustrações de como é feita a soma de vetores com direções distintas 
usando os dois representantes com o mesmo ponto inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em ternos de componentes temos que se 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 e �⃗� = 〈𝑏1, 𝑏2〉 então 
𝑎 + �⃗� = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2〉, 
assim como se 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 e �⃗� = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 então 
𝑎 + �⃗� = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3〉. 
 
Exemplo 13: A soma de 𝑎 = 〈3, 5, 7〉 com �⃗� = 〈−1, 3, −2〉 resulta no vetor 
𝑎 + �⃗� = 〈3 + (−1), 5 + 3, 7 + (−2)〉 = 〈2, 8, 5〉. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Direções iguais e sentidos diferentes 
Definição: Se 𝑐 é um escalar e 𝑎 é um vetor então a multiplicação por escalar 𝑐𝑎 é o vetor cujo 
comprimento é |𝑐| vezes o comprimento de 𝑎 e cuja direção e sentido são os mesmos de 𝑎 se 
𝑐 > 0 e mesma direção e sentido contrário a 𝑎 se 𝑐 < 0. Se 𝑐 = 0 ou 𝑎 = 0⃗ , então 𝑐𝑎 = 0⃗ . 
 
 
Exemplo 14: Considere o vetor 𝑎 = 〈3, −4〉. Calculando seu comprimento vemos que 
‖𝑎 ‖ = √32 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5. 
Ao multiplicamos 𝑎 por 2 encontramos um vetor com mesma direção, sentido e com 
comprimento igual a duas vezes o comprimento de 𝑎 . A multiplicação pelo escalar −1 provoca 
uma mudança no sentido do vetor 𝑎 , mas mantém a direção e o comprimento, uma vez que 
|−1| = 1 > 0. 
 
∎ 
 
 Em termos de componentes, se 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 e �⃗� = 〈𝑏1, 𝑏2〉 então 
𝑐𝑎 = 〈𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2〉 
assim como se 𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 então 
𝑐𝑎 = 〈𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2, 𝑐𝑎3〉. 
 
Exemplo 15: Vamos usar as componentes do vetor 𝑎 = 〈3, 4〉 e os escalares do Exemplo 15 
para comprovar as afirmações feitas sobre o comprimento dos vetores resultantes da 
multiplicação. Note que 
2𝑎 = 2〈3, 4〉 = 〈2 ∙ 3, 2 ∙ 4〉 = 〈6, 8〉. 
Isto implica que 
‖2𝑎 ‖ = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 = 2 ∙ ‖𝑎 ‖. 
De forma semelhante, 
−1𝑎 = −1〈3, 4〉 = 〈(−1) ∙ 3, (−1) ∙ 4〉 = 〈−3,−4〉, 
donde 
‖−𝑎 ‖ = √(−3)2 + (−4)2 = √36 + 64 = √100 = 10 = ‖𝑎 ‖. 
∎ 
 
 Recordemos que se 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) então um representante de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
tem componentes 〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1〉. Agora observe que um representante do vetor 
oposto a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ terá componentes 
〈𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2〉 = 〈−(𝑥2 − 𝑥1), −(𝑦2 − 𝑦1),−( 𝑧2 − 𝑧1)〉 
 = −〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1〉. 
Ou seja, o vetor oposto a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ pode ser escrito como −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Usando esta notação definimos a 
subtração de vetores como 
 
𝑎 − �⃗� = 𝑎 + (−�⃗� ). 
 
Exemplo 16: A subtração entre os vetores 𝑎 = 〈1, 3〉 e �⃗� = 〈−2, 4〉 é dada por 
𝑎 − �⃗� = 〈1, 3〉 + (−〈−2, 4〉) = 〈1, 3〉 + 〈2,−4〉 = 〈1 + 2, 3 − 4〉 = 〈3,−1〉. 
 Na prática o que é feito é a diferença estre as respectivas componentes dos vetores. 
𝑎 − �⃗� = 〈1, 3〉 − 〈−2, 4〉 = 〈1 − (−2), 3 − 4〉 = 〈3, −1〉 
 Geometricamente, a subtração é feita considerando o vetor cujo ponto inicial é o ponto 
inicial de 𝑎 e a extremidade é o ponto final do oposto de �⃗� , onde os representantes foram 
tomados com o ponto final do primeiro coincidindo com o ponto inicial do segundo. 
 
 
 
 
 
 
Quando os vetores envolvidos não são paralelos podemos gerar um paralelogramo colocando os 
dois vetores com mesmo ponto inicial. O vetor subtração será a diagonal menor considerando 
seu ponto inicial no ponto final de 𝑎 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propriedades: Sejam 𝑎 , �⃗� e 𝑐 vetores e 𝑚 e 𝑛 escalares. 
1. 𝑎 + �⃗� = �⃗� + 𝑎 
2. 𝑎 + (�⃗� + 𝑐 ) = (𝑎 + �⃗� ) + 𝑐 
3. 𝑎 + 0⃗ = 𝑎 
4. 𝑎 + (−𝑎 ) = 0⃗ 
5. 𝑚(𝑎 + �⃗� ) = 𝑚𝑎 + 𝑚�⃗� 
6. (𝑚 + 𝑛)𝑎 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎 
7. (𝑚𝑛)𝑎 = 𝑚(𝑛𝑎 ) 
 
 Três (dois) vetores são de especial importância no espaço tridimensional 
(bidimensional). São eles 
𝑖 = 〈1, 0, 0〉 𝑗 = 〈0, 1, 0〉 �⃗� = 〈0, 0, 1〉. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa importância vem do fato de que qualquer vetor desse espaço pode ser facilmente 
escrito como uma combinação (linear) desses vetores. 
𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 = 𝑎1〈1, 0, 0〉 + 𝑎2〈0, 1, 0〉 + 𝑎3〈0, 0, 1〉 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗� . 
 
Exemplos 17: Podemos escrever o vetor 𝑎 = 〈2, 5, −3〉 como 𝑎 = 2𝑖 + 5𝑗 − 3�⃗� . 
∎ 
 
 Por vezes é favorável lidarmos com vetores cujo módulo (comprimento) é 1. A eles 
damos o nome de versor. Em geral, se 𝑎 ≠ 0⃗ conseguimos um versor com mesma direção e 
sentido tomando 
�⃗� =
𝑎 
‖𝑎 ‖
 . 
De fato, como 𝑐 = 
1
‖�⃗� ‖
> 0 sabemos que ‖�⃗� ‖ será igual a 𝑐 multiplicado por ‖𝑎 ‖. Logo, 
‖�⃗� ‖ = 𝑐‖𝑎 ‖ =
1
‖𝑎 ‖
∙ ‖𝑎 ‖ = 1. 
 
Exemplo 18: O vetor �⃗� = 〈2, 7, −4〉 tem comprimento 
‖�⃗� ‖ = √22 + 72 + (−4)2 = √4 + 49 + 16 = √69. 
Portanto, um vetor que tem mesma direção e sentido de �⃗� e comprimento 1 é 
1
√69
〈2, 7, −4〉. 
∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto baseado em 
 STEWART, J., Cálculo, V.2. Ed. Thomson Pioneira, 2010. 
 DUARTE FILHO, J. C.; FAVARETTO, M. S., Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Departamento de Matemática- 
UFPB. (Apostila)