APOSTILA DE LIMITES

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APOSTILA
DE
LIMITES
L I M I T E S
INTERVALOS LINEARES
No Conjunto dos números reais, vamos estudar alguns subconjuntos que são determinados por desigualdades e que são chamados intervalos lineares
Considerando-se dois números reaisa e b com a<b, definiremos os seguintes intervalos lineares:
Intervalo fechado
a
b
Indicamos:
Intervalo aberto
a
b
Indicamos:
a
bIntervalo fechado à esquerda e aberto à direita
Indicamos:
a
bIntervalo aberto à esquerda e fechado à direita
Indicamos:
Intervalos infinitos:
Fechado à esquerda
a
Indicamos:
Aberto à esquerda
a
Indicamos:
aFechado à direita
Indicamos:
aAberto à direita
Indicamos:
Reta
Indicamos:
Atividades:
1) Represente na reta real os intervalos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
 h)
CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE
– 2 
5
y
2
x
3
0Considere o gráfico da função real definida por 
Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3, por valores menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita) os valores de se aproximam de 5.
Indicamos:
 (Lê-se:o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5)
Ou
 (Lê-se:o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5)
Ao invés das duas indicações, podemos utilizar a representação:
Obs.:Quando dizemos x tende a 3, significa que x se aproxima de 3 pela esquerda ou pela direita, sem no entanto assumir o valor de 3, ou seja, ela só tende.
Aplicação prática:
Exemplo:Consideremos a função 
O domínio de , isto é, não existe porque teríamos divisão por zero.
Portanto, para calcularmos , vamos simplificar a função:
Logo, 
Observe que x não chega a assumir o valor 2, e f(x) não chega a assumir o valor 4, mas quando x se aproxima do valor 2, f(x) se aproxima de 4.
Exercícios de aprendizagem
1
2
3
1
2
3
0
x
y
– 1 2) Dado o gráfico da função , definida por , complete as sentenças de modo a torná-las verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
3) Dada a função , definida por ]
a)esboce o gráfico de f;
b)a partir do gráfico, calcular
b-1) 
b-2) 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS FUNDAMENTAIS
Consideremosas funções f(x) e g(x), definidas pelo domínio D, tal que:
e
LIMITE DE UMA CONSTANTE
O limite de uma constante é igual a própria constante, isto é:
LIMITE DA SOMA
O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções. Isto é:
 +
LIMITE DA DIFERENÇA
O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções. Isto é:
LIMITE DO PRODUTO
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
. 
LIMITE DO QUOCIENTE
O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções, isto é:
LIMITE DE UMA POTÊNCIA
O limite de uma potência n-ésima de uma função é igual à potência n-ésima do limite dessa função, isto é:
LIMITE DE UMA RAIZ
Limite de uma raiz n-ésima de uma função é à raiz n-ésima do limite dessa função. Isto é:
LIMITE DE UM LOGARITMO
Limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função. Isto é: 
CONSEQUÊNCIA DAS PROPRIEDADES
O limite de uma função polinomial, definida em R, quando x tende a, é igual a f(a), isto é:
Exemplo: 
ATIVIDADES:
4) Determine os limites a seguir, com base nas propriedades:
a)
b) 
c) 
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
5) Sabendo-se que 
Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
6) Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios de fixação 
7) Calcule os limites
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
8) Dada a função calcular:
a)
b)
c)
9) Resolva os limites (necessidade de fatoração)
a)
b)
c)
d)