apostila-matematica-completa

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
ÍNDICE 
Como Estudar com Foco e Organização: Estratégia para Concursos ................................... 6 
Conjuntos ................................................................................................................................................. 10 
Operações Envolvendo Conjuntos .................................................................................................. 14 
Operações Entre Conjuntos .......................................................................................................... 15 
Razão e Proporção: Regra de três ................................................................................................... 17 
Regra de três simples ...................................................................................................................... 17 
Regra de três inversa ....................................................................................................................... 19 
Regra De Três Composta ............................................................................................................... 19 
Equações De Primeiro Grau ............................................................................................................... 23 
Equações De Segundo Grau.............................................................................................................. 23 
Funções De Primeiro Grau ................................................................................................................. 24 
Domínio (𝐷) E Imagem (𝐼𝑚) De Uma Função Do Primeiro Grau ..................................... 25 
Estudo Dos Coeficientes Dos Coeficientes Da Função De Primeiro Grau .................... 25 
Gráfico Da Função De Primeiro Grau ......................................................................................... 27 
Classificação Das Funções De Primeiro Grau .......................................................................... 28 
Raiz Da Função Do Primeiro Grau .............................................................................................. 29 
Função De Segundo Grau .................................................................................................................. 30 
Gráfico Da Função De Segundo Grau ........................................................................................ 30 
Raízes Da Função Do Segundo Grau ......................................................................................... 31 
Valor De Δ Graficamente ................................................................................................................ 31 
Vértice Da Parábola .......................................................................................................................... 32 
Domínio (𝐷) E Imagem (𝐼𝑚) De Uma Função Do Segundo Grau .................................... 32 
Propriedades da Potenciação E Radiciação ................................................................................. 33 
Função Exponencial .............................................................................................................................. 33 
Gráfico Da Função Exponencial ................................................................................................... 34 
Logaritmo ................................................................................................................................................. 35 
Função Logarítmica .............................................................................................................................. 36 
Gráfico Da Função Logarítmica .................................................................................................... 36 
Equação Linear ....................................................................................................................................... 38 
Solução De Uma Equação Linear ................................................................................................ 38 
Sistema Linear ........................................................................................................................................ 38 
Solução De Um Sistema Linear ........................................................................................................ 39 
 
3 
 
Representação Na Forma Matricial ................................................................................................ 39 
Combinação Linear De Equações .................................................................................................... 40 
Obtenção De Sistemas Lineares Equivalentes ............................................................................ 40 
Classificação De Sistema Lineares ................................................................................................... 41 
Sistema Linear Homogêneo .............................................................................................................. 41 
Solução De Um Sistema Linear (Métodos) .................................................................................. 42 
Solução Por Substituição................................................................................................................ 42 
Solução Por Eliminação De Variável ........................................................................................... 42 
Teorema De Cramer ......................................................................................................................... 43 
Método Do Escalonamento .......................................................................................................... 44 
Introdução Às Matrizes ....................................................................................................................... 46 
Dimensão De Uma Matriz .............................................................................................................. 46 
Elementos De Uma Matriz ............................................................................................................. 47 
Representação De Uma Matriz Pela Lei De Formação ........................................................ 47 
Tipos De Matrizes.................................................................................................................................. 48 
Operações Com Matrizes ................................................................................................................... 49 
Traço De Uma Matriz Quadrada .................................................................................................. 53 
Propriedades Do Traço De Uma Matriz .................................................................................... 53 
Matriz Oposta ..................................................................................................................................... 53 
Matriz Transposta ............................................................................................................................. 53 
Propriedades De Uma Matriz Transposta ................................................................................ 54 
Matriz Simétrica ................................................................................................................................. 54 
Matriz Assimétrica ............................................................................................................................ 54 
Matriz Inversa ..................................................................................................................................... 54 
Propriedades De Uma Matriz Inversa ........................................................................................ 55 
Matriz Ortogonal ...............................................................................................................................𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
Pela lei de formação apresentada, calculamos os valores de cada elemento da matriz 
 
𝑎11 = 1 + 1 = 2 
𝑎21 = 2 + 1 = 3 
𝑎31 = 3 + 1 = 4 
𝑎12 = 2 + 1 = 3 
𝑎22 = 2 + 2 = 4 
𝑎32 = 2 + 3 = 5 
𝑎13 = 3 + 1 = 4 
𝑎23 = 3 + 2 = 5 
𝑎33 = 3 + 3 = 6 
 
Com os resultados, podemos montar a matriz A com base na Lei de Formação. 
 
𝐴 = [
2 3 4
3 4 5
4 5 6
] 
 
 
 
 
48 
 
 
Tipos De Matrizes 
 
1. Matriz Linha: Trata-se de uma matriz composta por apenas uma linha, ou seja, 
sua dimensão é representada por 1 𝑥 𝑛. 
 
2. Matriz Coluna: Trata-se de uma matriz composta por apenas uma coluna, ou 
seja, sua dimensão é representada por 𝑚 𝑥 1. 
 
3. Matriz Quadrada: Trata-se de uma matriz que possui o mesmo número de linhas 
e colunas, sua dimensão é representada por 𝑛 𝑥 𝑛. 
➢ Diagonais da Matriz Quadrada 
➢ Diagonal principal: A diagonal principal é formada pelos elementos nos quais 
o número da linha é igual ao número da coluna, ou seja, i=j. 
 
[
𝟐 3 4
3 𝟒 5
4 5 𝟔
] 
 
➢ Diagonal secundária: A diagonal secundária é formada pelos elementos cuja 
soma da linha e da coluna (i+j) é igual à ordem da matriz (n). 
 
[
2 3 𝟒
3 𝟒 5
𝟒 5 6
] 
 
4. Matriz retangular: Trata-se de uma matriz que o número de linhas é diferente 
do de colunas. 
 
5. Matriz diagonal: Trata-se de uma matriz quadrada em que todos os elementos 
que não pertencem à diagonal principal são iguais a 0. 
 
[
2 0 0
0 4 0
0 0 6
] 
 
6. Matriz triangular: Trata-se de uma matriz quadrada em que todos os elementos 
acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a 0. 
 
[
2 3 4
0 4 5
0 0 6
]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
 
[
2 0 0
3 4 0
4 5 6
]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
 
 
 
49 
 
 
7. Matriz identidade: Trata-se de uma matriz quadrada onde os elementos da 
diagonal principal são 1 e os demais elementos são 0. Ela pode ter qualquer 
dimensão. 
 
I3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
8. Matriz nula: Trata-se de uma matriz onde todos os elementos são zero. Ela não 
precisa ser obrigatoriamente quadrada. 
 
O3 = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
] ; 𝑂𝑛 = [
0 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 0
] 
 
 
Operações Com Matrizes 
 
1. Igualdade entre matrizes: Duas matrizes são iguais quando apresentam a 
mesma dimensão e os elementos são idênticos e estão na mesma posição. 
 
[
2 3 4
√3 10 5
1
2
√5 6
] = [
2 3 4
√3 10 5
1
2
√5 6
] 
 
2. Adição e subtração de matrizes: Duas matrizes podem ser somadas ou 
subtraídas quando elas possuem a mesma dimensão. As operações são 
realizadas realizando a soma ou diferença entre os elementos na mesma 
posição. Observe as matrizes abaixo: 
 
A = [
2 5
9 2
] B = [
7 2
4 6
] 
 
Assim, A + B será dado por: 
 
A + B = [
2 5
9 2
] + [
7 5
4 6
] 
A + B = [
2 + 7 5 + 2
9 + 4 2 + 6
] 
A + B = [
9 7
13 8
] 
 
 
 
50 
 
 
Da mesma forma, A - B será dado por: 
 
A − B = [
2 5
9 2
] − [
7 5
4 6
] 
A − B = [
2 − 7 5 − 2
9 − 4 2 − 6
] 
A − B = [
−5 3
5 −4
] 
 
3. Multiplicação de matrizes por números reais: Multiplicar uma matriz por um 
número real é simplesmente multiplicar cada um dos elementos dessa matriz 
pelo número real em questão. 
 
𝐴 = [
2 3 4
3 4 5
4 5 6
] 
 
Para achar o valor de 3 x A, temos: 
 
𝐴 = [
2 × 3 3 × 3 4 × 3
3 × 3 4 × 3 5 × 3
4 × 3 5 × 3 6 × 3
] = [
6 9 12
9 12 15
12 15 18
] 
 
4. Multiplicação entre matrizes: Multiplicar duas matrizes requer atenção, pois 
devemos realizar alguns passos. 
➢ Verifique se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de 
linhas da segunda. Caso essa igualdade não seja confirmada, não será 
possível realizar a multiplicação das matrizes. 
➢ Obtenha o esquema geral da matriz-produto, cujas dimensões são dadas 
pelo número de linhas da primeira matriz x número de colunas da segunda 
matriz. 
➢ Calcule os elementos da matriz resultante considerando as linhas da primeira 
matriz e as colunas da segunda matriz. 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
A matriz A possui 2 colunas, e a matriz B possui 2 linhas, logo, é possível realizar 
a multiplicação entre matrizes. A nova matriz terá dimensão 2×3, pois considera-se o 
número de linhas da matriz A e o número de colunas na matriz B. Vamos desenhar a 
nova matriz. 
 
 
51 
 
 
C = [
𝑐1 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
] 
 
Para realizar a multiplicação, vamos realizar a seguinte operação. Para 
determinar o elemento C11, devemos utilizar a primeira linha da matriz A e a primeira 
coluna da matriz B. 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
c11 = 2 × 10 + 5 × 2 = 30 
 
Para determinar o elemento c12, vamos continuar com a primeira linha da matriz 
A, porém iremos percorrer as colunas da matriz B 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
c12 = 2 × 4 + 5 × 5 = 45 
 
Para determinar o elemento c13, vamos seguir com a segunda linha da matriz A, 
e novamente iremos percorrer as colunas da matriz B. 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
𝑐13 = 2 × 1 + 5 × 10 = 52 
 
Para determinar o elemento c21, vamos seguir com a segunda linha da matriz A, 
e novamente iremos percorrer as colunas da matriz B. 
 
 
 
 
52 
 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
𝑐21 = 1 × 10 + 3 × 2 = 16 
 
Para determinar o elemento c22, vamos seguir com a segunda linha da matriz A, 
e novamente iremos percorrer as colunas da matriz B. 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
𝑐22 = 1 × 4 + 3 × 5 = 19 
 
Para determinar o elemento c23, vamos seguir com a segunda linha da matriz A, 
e novamente iremos percorrer as colunas da matriz B. 
 
A2×2 = [
2 5
1 3
] 
𝐵2×3 = [
10 4 1
2 5 10
] 
 
Com isto, temos que: 
 
𝑐22 = 1 × 1 + 3 × 10 = 31 
 
Achamos, então, todos os elementos da matriz A×B, que chamamos de C. 
 
𝐶 = [
30 45 52
16 19 31
] 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Traço De Uma Matriz Quadrada 
 
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal 
principal. Se A é uma matriz quadrada, seu traço é representado por tr(A) 
 
𝐴 = [
𝟐 3 4
3 𝟒 5
4 5 𝟔
] 
 
𝑡𝑟(𝐴) = 2 + 4 + 6 = 12 
 
Propriedades Do Traço De Uma Matriz 
 
Considere as matrizes A e B quadradas e de mesma ordem. O traço dessas 
matrizes apresenta as seguintes propriedades: 
➢ 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵) 
➢ 𝑡𝑟(𝐴 − 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) − 𝑡𝑟(𝐵) 
➢ 𝑡𝑟(𝛼𝐴) = 𝛼 × 𝑡𝑟(𝐴) 
➢ 𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴) 
 
Matriz Oposta 
 
Dada a matriz A, a matriz oposta é -A. Basta multiplicar a matriz por (-1). 
 
𝐶 = [
30 −45 52
16 −19 −31
] 
 
−𝐶 = [
−30 45 −52
−16 19 31
] 
 
Matriz Transposta 
 
A transposta de uma matriz A corresponde à matriz na qual as linhas de A foram 
transformadas em colunas. Observe o exemplo abaixo. 
 
𝐵 = [
10 −4 1
2 5 −10
] 
 
𝐵 = [
10 2
−4 5
1 −10
] 
 
 
 
 
54 
 
 
Propriedades De Uma Matriz Transposta 
 
➢ A transposta da transposta corresponde à matriz original: (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 
➢ Transposta do produto de uma matriz por um número real: (𝛼𝐴)𝑡 = 𝛼𝐴𝑡 
➢ Transposta do produto de matrizes: (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 
➢ Transposta da soma: (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
 
Matriz Simétrica 
 
Uma matriz é dita simétrica quando ela é igual à sua transposta. 
 
𝐴 = 𝐴𝑡 
 
A matriz precisa ser quadrada e os elementos da matriz precisam ser simétricos 
em relação à diagonal principal. 
 
Matriz Assimétrica 
 
Uma matriz é dita assimétrica quando: 
 
−𝐴 = 𝐴𝑡 
 
A matriz precisa ser quadrada e os elementos da diagonal principal precisam ser 
nulas e os elementos simétricos com relação à diagonal principal são opostos. 
 
Matriz Inversa 
 
Considerando uma matriz A, a matriz é dita inversa de A (Notação: A-1) quando 
a multiplicação de A-1 e A resulta na matriz identidade. A operação de inversãoé 
análoga ao que seria a divisão de matrizes. 
 
𝐴−1𝐴 = 𝐼𝑛 
 
Além disso, a matriz inversa aceita a comutação para a operação de 
multiplicação, ou seja. 
 
𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
Caso uma matriz não possua inversa, ela é dita singular. Uma matriz é inversível 
quando o seu determinante é diferente de 0. 
 
 
55 
 
 
Propriedades De Uma Matriz Inversa 
 
➢ A matriz inversa da inversa de 𝐴 é a própria matriz 𝐴: (𝐴−1)−1 = 𝐴 
➢ A matriz inversa da transposta de 𝐴 é igual a matriz transposta da inversa de 
A: (𝐴−1)𝑡 = (𝐴𝑡)−1 
➢ Considerando uma matriz 𝐴 inversível e um número real 𝛼, temos: (𝛼𝐴)−1 =
1
𝛼
𝐴−1 
➢ Considerando duas matrizes 𝐴 e 𝐵 inversíveis, a inversa do produto 𝐴𝐵 é: 
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 
 
Matriz Ortogonal 
 
Uma matriz A é considerada ortogonal quando sua inversa é igual à sua 
transposta. 
 
A é ortogonal → 𝐴−1 = 𝐴𝑡 
 
Determinantes 
 
O determinante de uma matriz é um número calculado a partir de uma matriz 
quadrada. 
 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 1 
 
O determinante de uma matriz de primeira ordem é o próprio elemento que 
está presente na matriz. 
 
𝐴 = [3], 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3 
 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 2 
 
O determinante de uma matriz de segunda ordem é simples de calcular, basta 
realizar os produtos da diagonal principal e secundária, e subtraí-los. Observe. 
 
A = [
2 5
3 9
] 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2 × 9 − 5 × 3 = 18 − 15 = 3 
 
 
 
 
56 
 
 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 3 
 
O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado por uma 
regra chamada Regra de Sarrus. 
Considere a matriz A: 
𝐴 = [
1 −5 4
3 2 10
−10 −5 −2
] 
 
Para aplicar a regra de Sarrus, vamos repetir as duas primeiras colunas da matriz 
logo após a matriz. 
[
 1 −5 4
 3 2 10
−10 −5 −2
]
 1 −5
 3 2
−10 −5
 
 
Agora, nós vamos dividir o cálculo em duas partes, a parte positiva e a parte 
negativa. Para calcular a parte positiva, iremos considerar as três diagonais para a 
direita. 
[
 1 −5 4
 3 2 10
−10 −5 −2
]
 1 −5
 3 2
−10 −5
 
 
Iremos multiplicar os elementos das diagonais e somá-los, anotando seu 
resultado. 
 
[1 × 2 × (−2)] + [(−5) × 10 × (−10)] + [4 × 3 × (−5)] = −4 + 500 − 60 = 436 
 
Para calcular a parte negativa, consideramos as três diagonais para a esquerda. 
 
[
 1 −5 4
 3 2 10
−10 −5 −2
]
 1 −5
 3 2
−10 −5
 
 
Iremos multiplicar os elementos das diagonais e somá-los, anotando seu 
resultado. 
 
[4 × 2 × (−10)] + [1 × 10 × (−5)] + [(−5) × 3 × (−2)] = −80 − 50 + 30 = −100 
 
Agora, para calcular o valor da determinante, basta subtrair a parte negativa da 
parte positiva que calculamos anteriormente. 
 
detA = (parte positiva) − (parte negativa) 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 436 − (−100) = 536 
 
 
57 
 
 
Propriedades Do Determinante 
 
➢ O teorema de Binet afirma que o determinante do produto de duas matrizes é 
igual ao produto dos determinantes das duas matrizes. 
 
det(AB) = detA × detB 
 
➢ Pelo teorema de Binet, podemos também chegar à conclusão sobre o 
determinante da matriz inversa. 
 
detA−1 =
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
 
 
➢ O determinante de uma matriz transposta será igual ao determinante da matriz 
original. 
 
detA𝑡 = detA 
 
➢ Multiplicando uma fila (linha ou coluna) por uma constante k, o valor do 
determinante também será multiplicado por k. 
 
𝐴 = [
1 2
2 5
] 
𝐴′ = [
1 5 × 2
2 5 × 5
] 
 
Logo, 
 
𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 5 × 𝑑𝑒𝑡𝐴 
 
➢ O determinante de uma matriz triangular (ou diagonal) é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 
𝐴 = [
2 5 8
0 7 9
0 0 2
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 28 
 
➢ Caso a matriz tenha uma fila (linha ou coluna) nula, o seu determinante será 
zero. 
𝐴 = [
0 8 9
0 25 −7
0 4 √5
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
 
58 
 
 
𝐴 = [
0 0 0
9 25 −7
√5 4 8
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
➢ Caso a matriz tenha filas (linha ou coluna) paralelas iguais, seu determinante 
será zero. 
 
𝐴 = [
2 5 8
0 7 9
2 5 8
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
 
➢ Caso a matriz tenha filas (linha ou coluna) proporcionais, seu determinante 
será zero. Observe que a terceira linha é o dobro da primeira linha. 
 
𝐴 = [
2 5 8
0 7 9
4 10 16
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
 
➢ Ao trocar a posição de duas filas (linha ou coluna), seu determinante mudará 
de sinal. 
 
𝐴 = [
2 5 8
0 7 9
0 0 2
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 28, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 = [
8 5 2
9 7 0
2 0 0
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −28 
 
➢ Caso a soma de duas filas (linha ou coluna) seja igual a outra fila, seu 
determinante será zero. 
 
𝐴 = [
2 10 12
2 7 9
2 5 7
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
 
Observe que, a soma da coluna 1 com a coluna 2 resulta na coluna 3. Esta 
propriedade vai além, dizendo que, caso uma fila possa ser multiplicada por uma 
constante e somada a outra para se igualar a uma fila, o determinante também será 0. 
 
𝐴 = [
2 10 18
2 7 15
2 5 13
] , 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
 
Neste caso, se multiplicarmos a primeira coluna por 4, observamos que a soma 
das duas colunas resultará na terceira. Logo, o determinante é nulo. 
 
Sequências Numéricas 
 
Podemos definir sequências como listas de números em que os termos seguem 
uma determinada regra de sucessão. As sequências são comumente representadas na 
 
59 
 
 
forma de termos entre parênteses, separados por vírgulas e, se necessário, 
acompanhados por reticências ao final. De modo geral, a representação das sequências 
segue o seguinte formato: 
 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, … , 𝑎𝑛) 
 
Neste tipo de representação, observamos que o termo 𝑎1 é lido como “a índice 
um”, o termo 𝑎2 é o “𝑎 índice dois”, e assim por diante. 
Existem sequências que exibem padrões muito específicos. Essas sequências 
recebem nomes especiais. A partir desta sequência de Fibonacci, a progressão 
aritmética e a progressão geométrica. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
A sequência de Fibonacci é estabelecida a partir de dois valores iniciais: o 
primeiro e o segundo termo. Em uma sequência genérica, esses termos seriam 
referidos como 𝑎1 e 𝑎2, no entanto, no contexto da sequência de Fibonacci, esses 
termos são denominados F1 e F2. A sequência de Fibonacci é a sequência abaixo: 
 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . ) 
 
Observe que os dois primeiros termos dessa sequência são ambos iguais a 1. 
Posteriormente, cada termo subsequente é obtido pela soma dos dois termos 
anteriores. 
Podemos representar esses fatos de uma forma resumida e organizada. Para 
essa finalidade, definimos a sequência de Fibonacci da seguinte maneira: 
 
𝐹𝑛 = {
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 1
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 2
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2, 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 3
 
 
Podemos, adicionalmente, representar a sequência de Fibonacci de outra 
maneira, por meio de uma fórmula! Qualquer termo na sequência de Fibonacci pode 
ser obtido utilizando a seguinte expressão: 
 
𝐹𝑛 =
(1 + 5)𝑛 − (1 − 5)𝑛
2𝑛√5
 
 
 
Progressão Aritmética (PA) 
 
A progressão aritmética, em geral, é qualquer sequência na qual o termo 
subsequente difere do anterior por uma constante. Essa constante, que somamos ou 
 
60 
 
 
subtraímos de cada termo, é chamada de razão (r). Quando a razão é positiva, dizemos 
que a PA é crescente; quando é negativa, dizemos que a PA é decrescente. 
Observe alguns exemplos de progressão aritmética abaixo. 
 
➢ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . ) 
➢ (0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, . . . ) 
➢ (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . . ) 
➢ (5, 0, −5, −10, −15, −20, . . . ) 
 
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte 
maneira: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Além de saber o enésimo termo de uma PA, também é importante saber a 
fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA, é a fórmula abaixo. 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎2) ∙ 𝑛
2
 
 
Para achar o termo geral de uma PA, podemos usar a fórmula geral ou 
considerar o seguinte: 
 
𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 
 
Progressão Geométrica (PG) 
 
Na seção sobre progressões aritméticas, observamos que elas são definidaspela 
presença de uma razão que somamos ao termo anterior para obter o termo 
subsequente. Na progressão geométrica, por outro lado, também há uma razão, mas 
ela multiplica o termo anterior em vez de somá-lo. 
Uma diferença notável é que, ao invés de chamar a razão de r, comumente a 
razão de uma PG é chamada de q. 
Observe alguns exemplos de progressão geométrica abaixo. 
 
➢ (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . ) 
➢ (10, 100, 1000, 10000, 100000, . . . ) 
➢ (100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001 . . . ) 
 
 
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte 
forma: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
 
61 
 
 
Além de saber o enésimo termo de uma PG, também é importante saber a 
fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG, é a fórmula abaixo. 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛−1)
2
 
 
Para achar o termo geral de uma PG, podemos usar a fórmula geral ou o 
seguinte: 
𝑞 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛 − 1
 
 
Soma de PG infinita 
 
Quando tratamos de PG, caso tenhamos um valor de |𝑞| 𝑎𝑛. 
➢ Uma sequência decrescente é aquela onde o termo 𝑎n+1 0 (2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) 
Decrescente 𝑟 0 e 𝑞 > 1 (1, 5, 25, 125, . . . ) 
𝑎1 0 e 0 1 (−1, −5, −25, −125, . . . ) 
Alternada 𝑞(a que já temos). 
 
➢ 𝑞 = Prazo desejado (para onde queremos converter). 
 
➢ 𝑡 = Prazo original (da taxa que temos). 
 
 
66 
 
 
Princípios Fundamentais Da Contagem 
 
Os princípios fundamentais de contagem são a base que permeia as ferramentas 
da análise combinatória. A partir de seus conceitos, podemos entender a necessidade 
da contagem e como aplicar seus princípios na interpretação dos problemas. 
 
Princípio Multiplicativo 
 
Se um evento A ocorre de m maneiras diferentes e, para cada uma dessas 
maneiras, um outro evento B ocorre de n maneiras diferentes, então o número total de 
maneiras diferentes de ambos os eventos (A e B) ocorrerem é dado por 𝑚 𝑥 𝑛. 
O enunciado pode ser um pouco confuso, por isto, vamos exemplificar para que 
você entenda. Imagine que Carla possui 5 blusas e 3 calças. 
O evento A corresponde a vestir uma blusa com 𝑚 = 5 possibilidades, e o 
evento B corresponde a vestir uma calça com 𝑛 = 3 possibilidades. Dessa forma, o 
número total de maneiras diferentes de escolher uma calça e uma blusa é 5 × 3 = 15. 
Podemos estender esse princípio para qualquer número de eventos. Ou seja, se 
tivermos um terceiro evento C que ocorre de p maneiras diferentes, então o número 
total de maneiras diferentes de os eventos A, B e C ocorrerem é 𝑚 × 𝑛 × 𝑝. 
Utilizando o mesmo exemplo, considerando que Carla precisa utilizar uma bolsa 
e que ela tem 𝑝 = 2 bolsas distintas, então o número de maneiras distintas de Carla 
escolher uma calça, uma blusa e uma bolsa é 3 × 4 × 2 = 24. 
Portanto, existem 24 maneiras distintas para Carla combinar uma calça, uma 
blusa e uma bolsa. 
 
Princípio Aditivo 
 
Se o evento A ocorre de m maneiras diferentes e o evento B ocorre de n 
maneiras diferentes, e se A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, se um ocorrer, o 
outro não ocorre), então o número de maneiras de ocorrer um dos eventos (A ou B) é 
𝑚 + 𝑛. 
Para exemplificar o princípio aditivo, vamos considerar que Carla ainda precisa 
escolher o que ela irá calçar. Entre as opções, ela possui 3 saltos, 2 tênis e 2 sandálias. 
Observe que, neste caso, se ela escolher uma das opções, ela não poderá 
escolher outra é necessário que ela calce um ou outro. Caso ela decida ir com o salto 
número 2, todas as demais opções são descartadas. 
Neste caso, o número de possibilidades é a soma das opções 3 + 2 + 2 = 7. 
Para saber qual dos dois princípios utilizar, é só observar o enunciado do 
problema. Se ambos os eventos ocorrerem ao mesmo tempo, no texto aparecerá com 
um ‘’e’’ (A e B), assim, utilizamos o princípio multiplicativo. Caso eles não possam 
ocorrer ao mesmo tempo, no texto aparecerá como um ‘’ou’’ (A ou B), e utilizaremos 
o princípio aditivo para calcular as possibilidades. 
 
67 
 
 
Fatorial De Um Número Natural 
Para os cálculos de análise combinatória, utilizamos um novo operador, 
chamado de fatorial. O fatorial representa o produto de todos os números inteiros 
positivos menores ou iguais àquele número, conforme indicado a seguir: 
 
𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × (𝑛 − 3) … × 2 × 1 
 
Exemplo prático: 
 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320 
 
Permutação Simples 
 
Observe que podemos comprimir parte de um fatorial. Isto acontece com 
frequência nos exemplos de análise combinatória para que cancelemos com um 
denominador. Observe o exemplo abaixo. 
 
7!
4!
=
7 × 6 × 5 × 4!
4!
= 7 × 6 × 5 = 120 
 
Atente-se para dois casos especiais: tanto o fatorial de 1 quanto o fatorial de 0 
são iguais a 1. 
 
Permutação Simples Sem Restrições 
 
A permutação simples ocorre quando os elementos precisam ser organizados 
de formas diferentes e a ordem da distribuição importa. Por exemplo, se tivermos 
quatro pessoas (Felipe, Ana, Cleber e Carla) e precisamos definir em uma competição 
o primeiro, segundo e terceiro lugar, percebemos que a ordem desta distribuição 
importa, logo, teremos uma permutação simples. 
Para calcularmos quantos eventos podem ocorrer, vamos considerar que, temos 
quatro opções para o primeiro lugar, porém, ao definir o primeiro lugar, teremos 
apenas três pessoas que podem ser o segundo lugar, apenas duas para o terceiro, e 
assim por diante. 
 
4 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
1° 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟
 
3 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
2° 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟
 
2 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
3° 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟
 … 
 
Como são eventos concomitantes, pois alguém ficará em primeiro lugar, outra 
pessoa ficará em segundo, e outra em terceiro, devemos multiplicar as possibilidades 
de cada evento pelo princípio multiplicativo. 
 
68 
 
 
4 × 3 × 2 × 1 = 24 
 
Observe que, na permutação simples, temos exatamente o fatorial do número 
total de opções, 4!. Na permutação simples de n elementos, podemos representar por: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
Permutação Simples Com Restrições 
 
É possível que algumas questões de permutações imponham determinadas 
restrições, de modo que nem todos os elementos possam permutar livremente. 
Por exemplo, vamos considerar que há 5 elementos distintos a serem ordenados 
{1, 2, 3, 4, 5}, de modo que o número 1 esteja fixo na primeira posição e o número 5 
esteja na quinta posição. 
 
1 - - - 5 
 
Sendo assim, só teríamos três números {2, 3, 4} para serem permutados em três 
espaços. Dessa forma, temos uma permutação de três elementos. 
 
𝑃3 = 3! = 6 
 
Imagine agora um caso no qual teremos 8 elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e, os 
três primeiros, precisam variar entre 1, 2 e 3. Os demais ficariam livres para permutar 
entre os demais elementos. 
 
1 2 3 - - - - - 
 
Neste caso, teremos duas permutações, a primeira, que irá variar os 3 primeiros 
elementos, e a segunda que irá variar entre os demais. Observe, também, que 
utilizaremos o princípio multiplicativo. 
Será a primeira permutação ‘’e’’ a segunda. 
 
𝑃3 × 𝑃5 = 3! × 5! = 720 
 
Arranjo e Combinação 
 
As técnicas que veremos nesta seção (arranjo e combinação) trabalham com a 
seleção de um subconjunto dos elementos. 
A ordem dos elementos selecionados será relevante para o arranjo, mas não 
para a combinação. Em outras palavras, selecionar os elementos A e B ou os elementos 
 
69 
 
 
B e A são possibilidades distintas para o arranjo, porém equivalentes para a 
combinação. 
 
Arranjo Simples 
 
No arranjo, selecionamos alguns elementos, de maneira que a sua ordenação 
seja relevante. Um sorteio de algumas pessoas para receberem prêmios distintos é um 
exemplo de Arranjo simples. A ordem da seleção será importante sempre que os 
elementos escolhidos tiverem destinos diferentes, como diferentes prêmios, tarefas, 
funções, cargos, entre outros. 
A fórmula do arranjo simples é expressa por: 
 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
Onde, 
➢ 𝑛 é o número total de elementos. 
➢ 𝑝 é a quantidade de espaços nos quais podemos distribuir. 
 
Por exemplo, considere que temos uma corrida onde há 20 competidores, 
porém, apenas os 5 primeiros que chegarem ganharão algum tipo de prêmio. De 
quantas maneiras distintas pode ficar o pódio da corrida? 
Analisando as informações, identificamos que 𝑛 = 20 e 𝑝 = 5. Basta substituir 
na fórmula apresentada. 
 
𝐴20,5 =
20!
(20 − 5)!
=
20!
15!
 
20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15!
15!
= 1.860.480 
 
Combinação Simples 
 
No arranjo, selecionamos alguns elementos, de maneira que a sua ordenação 
seja relevante. Um sorteio de algumas pessoas para receberem prêmios distintos é um 
exemplo desse tipo de seleção. A ordem da seleção será importante sempre que os 
elementos escolhidos tiverem destinos diferentes, como diferentes prêmios, tarefas, 
funções, cargos, entre outros. 
Nesse cenário, algumas opções únicas destacadas no arranjo são consideradas 
iguais na combinação. Assim, a combinação de elementos específicos resulta em um 
número menor em comparação com o arranjo desses mesmos elementos. 
A fórmula da combinação simples é expressa por: 
 
 
70 
 
 
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
 
 
No caso anterior,vamos considerar que 20 pessoas compraram uma rifa, e 5 
serão sorteadas para ganhar o mesmo prêmio. Neste caso, a ordem de quem foi 
sorteado primeiro não importa, logo, temos um caso de combinação. 
 
𝐶20,5 =
20!
(20 − 5)! 5!
=
20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15!
15! × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 15.504 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
Conceitos iniciais de probabilidade 
 
A Teoria da Probabilidade é a disciplina da Estatística que investiga 
experimentos e fenômenos aleatórios, cujos resultados são incertos. Exemplos desses 
eventos incluem: 
➢ Lançamentos de dados ou moedas; 
➢ Seleções feitas ao acaso, como escolher uma carta de um baralho, selecionar 
uma pessoa ou peça de um grupo, entre outros; 
➢ Fenômenos naturais, como a ocorrência de chuva em um determinado dia. 
 
Embora os resultados sejam incertos, se esses experimentos ou fenômenos 
forem repetidos muitas vezes, é possível identificar padrões em seus resultados. Por 
exemplo, ao lançar uma moeda várias vezes, espera-se que, aproximadamente metade 
das vezes, a face superior seja cara e a outra metade, coroa. 
No entanto, para encontrar tais padrões, é crucial que os experimentos ou 
fenômenos possam ser repetidos indefinidamente sob condições inalteradas. Uma 
situação em que essa condição não é atendida ocorre no lançamento de uma moeda 
próxima a um bueiro. Em um lançamento, a moeda pode cair no bueiro, 
impossibilitando a repetição do experimento. Para essas situações, não podemos 
aplicar todos os conceitos da Teoria da Probabilidade que serão abordados aqui. 
 
Espaço amostral 
 
O Espaço Amostral de um experimento ou fenômeno aleatório é o conjunto que 
compreende todos os resultados possíveis. Pode também ser referido como Universo, 
e sua representação é: 𝑈 ou 𝛺. 
 
Veja alguns exemplos de espaço amostral. 
➢ No lançamento de uma moeda, Ω = {𝐶𝐴𝑅𝐴, 𝐶𝑂𝑅𝑂𝐴} 
➢ No lançamento de um dado de 6 faces, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
➢ No lançamento de duas moedas, 
 
Ω = {(CARA, CARA), (CARA, COROA), (COROA, CARA), (COROA, COROA)} 
 
Evento 
 
Um evento é caracterizado como qualquer subconjunto do Espaço Amostral. 
Para ilustrar, consideremos o lançamento de duas moedas. Podemos designar como 
evento A a situação em que ambas as moedas exibem o mesmo resultado na face 
superior. Portanto, o evento A é representado como um subconjunto: 
 
𝐴 = {(CARA, CARA), (COROA, COROA)} 
 
72 
 
 
Observe que, neste caso, o conjunto original apresentava 4 elementos e o 
subconjunto apresenta apenas 2. Denota-se o número de elementos do evento A por 
n(A). Neste caso, n(A) = 2. 
Em alguns casos, eventos impossíveis são colocados em estudo, e para 
representá-los, utilizamos o conjunto vazio. 
 
𝐶 = ∅ 
 
Podemos ainda ter um evento que corresponda ao Espaço Amostral completo, 
tudo dependerá do contexto que está sendo fornecido pela questão. 
 
Definição de Probabilidade 
 
Sendo U o Espaço Amostral, a probabilidade de ocorrer o evento A é, pela 
definição clássica: 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
 
Voltando ao exemplo das duas moedas, temos que o espaço amostral é: 
 
U = {(CARA, CARA), (CARA, COROA), (COROA, CARA), (COROA, COROA)} 
 
Logo, 𝑛(𝑈) = 4. Da mesma forma, se considerarmos que queremos que as 
moedas caiam com a mesma face para cima, temos que: 
 
𝐴 = {(CARA, CARA), (COROA, COROA)} 
 
Logo, n(A) = 2. Substituindo no conceito inicial, temos que: 
 
𝑃(𝐴) =
2
4
→ 𝑝(𝐴) =
1
2
→ 𝑝(𝐴) = 0,5 = 50% 
Para empregar a definição clássica, existe uma condição crucial: todos os 
elementos do Espaço Amostral devem ter probabilidades iguais. 
Se essa condição não for satisfeita, não é possível aplicar a definição clássica de 
probabilidade. 
 
Por exemplo, se tivermos uma moeda viciada, na qual a probabilidade de obter 
CARA é maior do que a probabilidade de obter COROA, não podemos utilizar 
a definição clássica. 
 
73 
 
 
Probabilidade como Frequência Relativa ou Empírica 
 
Agora, considerando que estamos observando os resultados de um 
experimento repetido N vezes, se um evento específico ocorreu n vezes em um total 
de N repetições, podemos calcular a frequência relativa (ou empírica) do evento 
utilizando a seguinte fórmula: 
 
𝑓 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 
=
𝑛
𝑁
 
 
Considerando o exemplo da moeda, vamos supor que lançamos a moeda 100 
vezes, e que a moeda tenha caído Coroa 52 vezes. Neste caso, podemos calcular a 
probabilidade desta moeda de cair Coroa pela fórmula apresentada. 
 
𝑓 =
𝑛° 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎
𝑛° 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠 
=
52
100
= 52% 
 
Observe que, teoricamente, a probabilidade conhecida seria de 50%. Entretanto, 
como estamos em um exemplo prático, o resultado só dará 50% caso o número de 
jogadas totais tenda ao infinito. 
Conforme aumentamos o número de jogadas totais, o resultado tende a ficar 
mais próximo de 50%. 
Essa definição de probabilidade pode ser aplicada a eventos nos quais as 
probabilidades não são iguais, sendo útil em situações em que a definição clássica não 
é apropriada. 
 
Combinações de Eventos 
 
Para estudarmos a combinação de eventos, vamos voltar aos conceitos de 
Conjuntos. Veremos formas de combinar os eventos desejados para o cálculo de uma 
probabilidade única. 
Imagine A e B como subconjuntos de U, a união do evento A com o evento B, 
que será representada como 𝐴 ∪ 𝐵 será um novo evento, onde estarão incluídos os 
eventos A e B. Por exemplo, se considerarmos um dado de 20 lados (muito utilizado 
em jogos de RPG), e tivermos os subconjuntos: 
 
𝐴 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 
 
𝐵 = [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] 
 
 
74 
 
 
 
Quando a união de eventos resulta no Espaço Amostral completo, chamamos 
esses eventos de exaustivos. Vamos considerar, agora, mais dois subconjuntos. 
 
𝐶 = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] 
 
𝐷 = [10, 11, 12, 13, 14, 15] 
 
Se observarmos a interseção destes conjuntos, teremos 𝐶 ∩ 𝐷, e são elementos 
que se repetem quando comparamos os dois conjuntos. Porém, para fins de cálculo 
de probabilidade, nós só os consideramos uma vez quando vamos unir os 
subconjuntos. 
 
𝐶 ∩ 𝐷 = [10, 11, 12] 
 
𝐶 ∪ 𝐷 = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] 
 
Se considerarmos os subconjuntos A e B, vemos que a interseção entre eles é 
vazia. Quando isto acontece, dizemos que tais eventos são mutuamente excludentes 
(ou exclusivos). Podemos dizer, ainda, que os conjuntos são disjuntos. 
Dessa forma, para calcular o subconjunto de união sem repetir os elementos 
duplos, podemos considerar que: 
 
𝑛(𝐶 ∪ 𝐷) = 𝑛(𝐶) + 𝑛(𝐷) − 𝑛(𝐶 ∩ 𝐷) 
 
Se dividirmos todos os termos por 𝑛(𝑈), conseguimos encontrar a fórmula da 
probabilidade da união. 
 
𝑛(𝐶 ∪ 𝐷)
𝑛(𝑈)
=
𝑛(𝐶)
𝑛(𝑈)
+
𝑛(𝐷)
𝑛(𝑈)
−
𝑛(𝐶 ∩ 𝐷)
𝑛(𝑈)
 
 
𝑃(𝐶 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) 
 
Para eventos excludentes, temos que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0, logo, encontramos que a 
probabilidade da união de eventos excludentes é 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
Neste exemplo, utilizamos apenas dois subconjuntos, porém, o mesmo 
pensamento pode ser utilizado para abranger mais subconjuntos, como a união de 
três, quatro, entre outras quantidades. 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
Teorema do evento complementar 
 
O complementar de um evento corresponde a todos os elementos do Espaço 
Amostral que não fazem parte desse evento. 
Considerando um dado de 6 faces, e o subconjunto A = [1, 3, 5], o conjunto 
complementar de A é �̅�, formado pelos elementos restantes do espaço amostral. 
 
�̅� = [2, 4, 6] 
 
Por definição: 
 
n(A) + n(�̅�) = n(U) 
 
Se dividirmos todos os termos por 𝑛(𝑈), conseguimos encontrar a fórmula da 
probabilidade daunião. 
 
n(A)
n(U)
+
n(�̅�)
n(U)
=
n(U)
n(U)
 
 
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴) 
 
 
Axiomas de Probabilidade 
 
Os chamados axiomas são verdades tão fundamentais que não necessitam de 
demonstração. A partir dessas verdades, desenvolvem-se propriedades e teoremas. Na 
teoria da probabilidade, temos os Axiomas de Kolmogorov. São eles: 
 
1. 𝑃(𝐴) ≥ 0 
A probabilidade de qualquer evento é maior ou igual a 0, ou seja, não existe 
probabilidade negativa. 
 
2. 𝑃(𝑈) = 1 
A probabilidade associada a todo o Espaço Amostral, ou seja, a todos os 
eventos possíveis, é igual a 1 (100%). 
 
3. Se A e B são mutuamente excludentes, então a probabilidade da união desses 
eventos corresponde à soma das probabilidades dos eventos. 
 
 
 
 
 
76 
 
 
Com base nesses três axiomas, é possível deduzir as propriedades 
fundamentais da probabilidade. 
 
 
I. Evento impossível: Sendo A um evento impossível, a sua probabilidade é igual 
a zero. Se 𝐴 = ∅, então 𝑃(𝐴) = 0. 
 
II. Sendo A um evento qualquer, a probabilidade de A respeita: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. 
 
III. Sendo A e B eventos quaisquer, a probabilidade de ocorrer A e não ocorrer 
B, indicada como 𝑃(𝐴 − 𝐵) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), é a diferença entre a probabilidade de A 
e a probabilidade da intersecção. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 
 
IV. Se A e B são eventos tais que A está contido e B, 𝐴 ⊂ 𝐵, então a probabilidade 
de A é menor ou igual à probabilidade de B. 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵). 
 
Probabilidade condicional 
 
A probabilidade condicional trata da probabilidade de um evento ocorrer, 
levando em consideração que outro evento já tenha ocorrido. Por exemplo, 
imaginemos um evento esportivo com diferentes atividades, como corrida, salto em 
altura e arremesso de peso, envolvendo participantes de diferentes idades. Podemos 
calcular a probabilidade de um competidor escolhido aleatoriamente ter menos de 18 
anos, sabendo que ele já ganhou uma medalha. 
Tendo conhecimento de que o competidor escolhido ganhou uma medalha, 
isso representa uma restrição no universo de possibilidades, não considerando mais 
todos os participantes, mas apenas aqueles que receberam medalhas. Dentro desse 
"novo" grupo, podemos calcular a probabilidade de o competidor ser menor de 18 
anos. 
 
Para facilitar o entendimento, observe as tabelas abaixo. 
 
Idade dos Participantes Número de participantes 
18 anos ou menos 200 
Entre 19 e 30 anos 500 
Entre 30 e 60 anos 200 
Mais que 60 anos 100 
 
 
77 
 
 
Idade dos Participantes Número de participantes 
18 anos ou menos 50 
Entre 19 e 30 anos 150 
Entre 30 e 60 anos 30 
Mais que 60 anos 15 
 
Neste caso, se quisermos selecionar uma pessoa aleatória deste grupo de 18 
anos ou menos, qual é a probabilidade de ele ter ganhado medalha? Mesmo sabendo 
que o valor de pessoas totais é 1000, o nosso espaço amostral se resumiu ao primeiro 
grupo. 
 
𝑛(𝑉𝑒𝑛𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 18 𝑎𝑛𝑜𝑠) = 50 
 
𝑛(𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 18 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠) = 200 
 
𝑃 =
𝑛(𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠)
𝑛(𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠)
=
50
200
= 0,25 = 25% 
 
Neste caso, dividimos a interseção entre o número de vencedores e o número 
de pessoas com menos de 18 anos, dividido pelo número de pessoas com 18 anos. 
 
𝑃 =
𝑛(𝑉 ∩ 𝐼18−)
𝑛(𝐼18−)
 
 
Dividindo todos os membros por n(U), obtemos a fórmula da probabilidade 
condicional do evento V (Vencedor), dado um evento 𝐼18− (18 anos ou menos), indicado 
por 𝑃(𝑉|𝐼18−). 
 
𝑃(𝑉|𝐼18−) =
𝑛(𝑉 ∩ 𝐼18−)
𝑛(𝑈)
𝑛(𝐼18−)
𝑛(𝑈)
 
 
𝑃 =
𝑛(𝑉 ∩ 𝐼18−)
𝑛(𝐼18−)
 
 
O primeiro evento, o que sabemos que ocorreu, no nosso caso, ter idade de 18 
anos ou menos, é chamado de evento priori, o outro evento, é chamado de posteriori. 
 
 
78 
 
 
Teorema da Multiplicação 
 
O Teorema da Multiplicação fornece a probabilidade da interseção de dois 
eventos a partir das probabilidades condicionais desses eventos. 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴) 
 
A probabilidade da interseção de dois eventos é encontrada multiplicando a 
probabilidade de um evento pela probabilidade do outro, considerando que o primeiro 
já aconteceu. 
Por exemplo, suponha que em uma sala, 60% das pessoas usam óculos e, entre 
elas, 50% também usam chapéu. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso 
usar óculos e chapéu ao mesmo tempo será a multiplicação dessas probabilidades, ou 
seja, 60% × 50% = 30%. 
 
Teorema da Probabilidade Total 
 
O Teorema da Probabilidade Total possibilita o cálculo da probabilidade de um 
evento B, quando conhecemos as probabilidades condicionais desse evento. Por 
exemplo, consideremos um banco onde o nível de inadimplência para o grupo A 
(melhores pagadores) é de 1%, para o grupo B é de 5%, e para o grupo C é de 10%. 
Suponha também que o grupo A represente 50% dos pagadores, o grupo B 
represente 30%, e o grupo C represente 20%. Com base nessas informações, podemos 
calcular a probabilidade total de inadimplência, ou seja, a probabilidade de 
inadimplência de um cliente qualquer, sem saber a qual grupo ele pertence. 
Para isso, consideramos que a probabilidade do evento I (inadimplência) está 
distribuída nos três grupos. Temos os inadimplentes nos grupos A, B e C, como 
representado a seguir. Portanto, a probabilidade total de inadimplência é a soma dos 
inadimplentes de cada grupo, ou seja, a soma das interseções de I com os grupos A, B 
e C: 
 
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐼 ∩ 𝐴) + 𝑃(𝐼 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐼 ∩ 𝐶) 
 
Pelo Teorema da Multiplicação, substituímos as interseções pelos produtos das 
probabilidades: 
 
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐼|𝐴) × 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐼|𝐵) × 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐼|𝐶) × 𝑃(𝐶) 
 
Generalizando o caso para n eventos 𝐴𝑖 , e conhecendo 𝑃(𝐼|𝐴𝑖), temos 𝑃(𝐼) dado 
por: 
 
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐼|𝐴1) × 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐼|𝐴2) × 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐼|𝐴𝑛) × 𝑃(𝐴𝑛) 
 
79 
 
 
Teorema de Bayes 
 
O Teorema de Bayes é aplicado quando conhecemos as probabilidades 
condicionais na forma 𝑃(𝐵|𝐴) e desejamos calcular a probabilidade condicional na 
forma 𝑃(𝐵|𝐴), ou seja, invertendo os eventos a priori e a posteriori. 
De maneira geral, com n eventos 𝐴𝑖 e conhecendo as probabilidades 𝑃(𝐵|𝐴𝑖), 
então a probabilidade de algum evento 𝐴𝑚, condicionada ao evento B, é: 
 
𝑃(𝐴𝑚|𝐵) =
𝑃(𝐵|𝐴𝑚)𝑃(𝐴𝑚)
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐵|𝐴1) × 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵|𝐴2) × 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵|𝐴𝑛) × 𝑃(𝐴𝑛)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
Relações Métricas do Triângulo 
 
Imagine um triângulo retângulo denominado ABC, possuindo um ângulo de 90° 
no vértice A. Além disso, os comprimentos dos lados opostos aos pontos A, B e C são, 
respectivamente, a, b e c. 
 
 
 
Observe que o ângulo localizado no vértice B é designado como B̂, e o ângulo 
no vértice C é conhecido como Ĉ. Na geometria euclidiana, o lado oposto ao ângulo 
de 90 graus, a, é conhecido como a hipotenusa. Ademais, os lados b e c são referidos 
como os catetos do triângulo retângulo. 
 
Seno De Um Ângulo 
 
Nos ângulos B̂ e Ĉ do triângulo retângulo, o seno de cada ângulo é definido 
como a proporção entre o cateto oposto ao respectivo ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
 
𝑠𝑒𝑛(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
É importante entender que o seno de um ângulo é uma característica intrínseca 
desse ângulo. Ou seja, uma vez fixado o ângulo, o valor correspondente à relação entre 
o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa permanece constante. 
 
Cosseno De Um Ângulo 
 
Nos ângulos B̂ e Ĉ do triângulo retângulo, o cosseno de cada ângulo é definido 
como a proporção entre o cateto adjacente ao respectivo ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
 
 
81 
 
 
𝑐𝑜𝑠(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
Tangente De Um Ângulo 
 
Nos ângulos B̂ e Ĉ do triângulo retângulo, a tangentede cada ângulo é definida 
como a proporção entre o cateto oposto ao respectivo ângulo e o cateto adjacente do 
mesmo ângulo. 
 
tan(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
 
 
Podemos, também, calcular a tangente de um ângulo a partir dos valores de 
seno e cosseno, se disponíveis. 
 
tan(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
 
 
 
Razões Trigonométricas Notáveis 
 
Os valores apresentados abaixo são notáveis pois podem ser deduzidos 
facilmente. É extremamente recomendado que você decore estes valores. 
 
Ângulo θ 0° 30° 45° 60° 90° 
sen θ 0 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 1 
cos θ 1 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 
tan θ 0 
√3
3
 1 √3 Não existe 
 
Funções Inversas 
 
A cotangente é definida como o inverso da tangente de um ângulo. 
 
 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
82 
 
 
A secante é definida como o inverso do cosseno de um ângulo. 
 
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
A cossecante é definida como o inverso do seno de um ângulo. 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
Lei Dos Cossenos 
 
Considere o triângulo abaixo: 
 
 
 
A Lei dos Cossenos é uma regra que possibilita o cálculo do comprimento de 
qualquer lado de um triângulo, tendo como base o conhecimento dos comprimentos 
de dois outros lados e do ângulo formado entre eles. 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 �̂� 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑠𝑐 𝑐𝑜𝑠 �̂� 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 �̂� 
 
𝑳𝒆𝒊 𝑫𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒏𝒐𝒔 
 
A Lei dos Senos estabelece que, em um triângulo, a proporção entre o 
comprimento de cada lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é a mesma para 
todos os lados do triângulo. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 �̂�
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 �̂�
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 �̂�
 
 
 
83 
 
 
Área de um triângulo 
 
Conhecendo dois lados de um triângulo, a e b, e o ângulo α formado entre eles, 
a área do triângulo pode ser calculada utilizando a fórmula específica para este caso. 
 
𝐴𝑇𝑟𝑖𝑎ˆ𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
1
2
∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
Propriedades Trigonométricas 
 
Estas propriedades o podem poupar muito tempo na hora de resolver uma 
questão, tendo em vista que são notáveis. 
 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔(𝟗𝟎° − 𝜽) 𝒄𝒐𝒕𝒈 (−𝜽) = −𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜽 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎° − 𝜽) 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 
𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝟗𝟎° − 𝜽) 𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑎 
𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏(𝟗𝟎° − 𝜽) 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝒔𝒆𝒏 (−𝜽) = − 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝒄𝒐𝒔 (−𝜽) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 
𝒕𝒂𝒏 (−𝜽) = − 𝒕𝒂𝒏 𝜽 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 =
2 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜃
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
 
 
Conversão De Graus Para Radianos 
 
Uma regra de três simples é suficiente para converter um ângulo medido em 
radianos para graus, ou o inverso. Observe a proporção: 
 
180° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚 𝑎 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
Principais ângulo: 
 
 
Ângulos Internos E Externos 
 
Em um triângulo, a soma total dos ângulos internos é sempre igual a 180 graus. 
A soma de todos os ângulos externos é 360 graus. 
 
 
 
 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠: �̂� + �̂� + �̂� = 180° 
 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠: �̂� + �̂� + �̂� = 360° 
 
Quadriláteros 
 
Retângulo 
 
 
 
 
 
Graus 
 
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
Radianos 
 
0 𝑟𝑎𝑑 
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
3𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
85 
 
 
Características Principais: 
 
➢ Comprimento: b 
➢ Largura: a 
➢ Ângulos Internos valem 90° cada 
➢ Lados paralelos são iguais 
 
Quadrado 
 
 
Características Principais: 
 
➢ Todos os lados são iguais 
➢ Todos os Ângulos Internos valem 90° 
➢ É um polígono regular 
 
Paralelogramo 
 
 
Características Principais: 
 
➢ Ângulos opostos são iguais 
➢ Lados paralelos são iguais 
 
Trapézio 
 
 
 
86 
 
 
 
Características Principais: 
 
➢ "B" representa a medida da base maior, "b" é a medida da base menor 
➢ As bases são paralelas 
➢ "h" é a altura do trapézio 
 
Circunferência 
 
 
 
Na circunferência, a medida mais importante que temos é o raio, que é a 
distância do ponto central até qualquer extremidade da circunferência. O diâmetro é 
um segmento de reta que passa duas vezes na circunferência e pelo centro. Além disso, 
temos a seguinte relação entre raio e diâmetro: 
 
𝐷 = 2𝑅 
 
O comprimento de uma circunferência é dado por: 
 
𝐶 = 2𝜋𝑅 
 
A área de uma circunferência é dada por: 
 
𝐴 = 𝜋𝑅2 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
Sóliodos Geométricos 
 
Paralelepípedo 
 
 
Cilindro 
 
 
 
Ao calcular a área superficial, é útil considerar a "abertura" ou planificação de 
um cilindro circular reto. 
 
 
 
Podemos verificar que a area lateral vale: 
 
𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ 
 
 
88 
 
 
A área da base é a área da circunferência: 
 
𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟2 
 
Para a área superficial, temos duas bases e a área lateral, logo: 
 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ + 𝜋𝑟2 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟 ∙ (ℎ + 𝑟) 
 
O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicado pela altura: 
 
𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ 
 
Esfera 
 
 
 
A esfera é um sólido geométrico classificado como um corpo redondo. Os 
principais elementos de uma esfera são o centro e o comprimento do seu raio. O centro 
é um ponto que representaremos por O e o comprimento do seu raio será 
representado por r. 
 
A área superficial de uma esfera é dada pela fórmula: 
 
𝐴 = 4𝜋𝑟2 
 
Onde: 
 
➢ A é a área superficial da esfera, 
➢ π é uma constante matemática aproximadamente igual a 3,14159, 
➢ r é o raio da esfera. 
 
89 
 
 
 
E quanto ao volume de uma esfera, a fórmula é: 
 
𝑉 =
4𝜋𝑟3
3
 
 
Pirâmide 
 
Para calcular o volume de uma pirâmide, você pode usar a fórmula: 
 
𝑉 =
𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
3
 
 
 
 
Onde: 
 
➢ V é o volume da pirâmide, 
➢ ABase é a área da base da pirâmide 
➢ ℎ é a altura da pirâmide, isto é, a distância perpendicular da base ao vértice 
Para se obter o cálculo do volume de uma pirâmide é preciso analisar e calcular 
área a base que pode ser composta por qualquer polígono, o que significa que 
podemos ter uma pirâmide com base triangular, outra com base quadrada e até 
mesmo uma com base hexagonal. 
 
 
 
Pirâmide com Base Triangular: 
 
Para calcular a área de uma pirâmide com base triangular, você precisa calcular 
a área da base e a área das faces laterais e, em seguida, somá-las. Área das Faces 
Laterais: Cada face lateral de uma pirâmide triangular é um triângulo. Você pode 
calcular a área de cada triângulo utilizando a fórmula padrão para a área de um 
triângulo, que é: 
 
90 
 
 
 
𝐴𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
 
Agora, some todas as áreas das faces laterais e a área da base para obter a área 
total da pirâmide. 
 
Pirâmide com Base Quadrada: 
 
Para uma pirâmide com base quadrada, o processo é um pouco mais simples. 
Área da Base Quadrada (A): Se você conhece o comprimento do lado do quadrado da 
base (l), então a área da base é simplesmente. 
 
𝐴 = 𝑙2 
 
Área das Faces Laterais: Cada face lateral é um triângulo. Você pode calcular a 
área de cada triângulo usando a mesma fórmula mencionada acima. Some a área da 
base e a área das faces laterais para obter a área total da pirâmide. 
 
Pirâmide com Base Hexagonal: 
 
A pirâmide com base hexagonal segue um padrão semelhante. Área da Base 
Hexagonal (A): Se você conhece o comprimento do lado do hexágono regular (l), a 
área da base é dada por: 
 
𝐴 =
3√3
2
∙ 𝑙2 
 
Área das Faces Laterais: Cada face lateral é um triângulo. Você pode calcular a 
área de cada triângulo usando a mesma fórmula mencionada acima. 
Novamente, some a área da base e a área das faces laterais para obter a área 
total da pirâmide.55 
Determinantes ........................................................................................................................................ 55 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 1 ............................................................................. 55 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 2 ............................................................................. 55 
Determinante De Uma Matriz De Ordem 3 ............................................................................. 56 
Propriedades Do Determinante ................................................................................................... 57 
Sequências Numéricas ........................................................................................................................ 58 
Sequência de Fibonacci ...................................................................................................................... 59 
 
4 
 
Progressão Aritmética (PA) ................................................................................................................ 59 
Progressão Geométrica (PG) ............................................................................................................. 60 
Classificações de PA e PG................................................................................................................... 61 
Produto Dos N Primeiros Termos De Uma PG ........................................................................... 62 
Elementos Na Operação De Juros .................................................................................................. 62 
Juros Simples ........................................................................................................................................ 63 
Montante Simples ............................................................................................................................. 64 
Juros Comerciais e Exatos .................................................................................................................. 64 
Juros Compostos ................................................................................................................................... 64 
Montante Composto ....................................................................................................................... 64 
Cálculo Dos Juros Composto ........................................................................................................ 65 
Taxa Nominal e Taxa Efetiva ......................................................................................................... 65 
Taxas Equivalentes ............................................................................................................................ 65 
Princípios Fundamentais Da Contagem ........................................................................................ 66 
Princípio Multiplicativo ................................................................................................................... 66 
Princípio Aditivo ................................................................................................................................ 66 
Fatorial De Um Número Natural ................................................................................................. 67 
Permutação Simples ............................................................................................................................. 67 
Permutação Simples Sem Restrições ......................................................................................... 67 
Permutação Simples Com Restrições ........................................................................................ 68 
Arranjo e Combinação ......................................................................................................................... 68 
Arranjo Simples .................................................................................................................................. 69 
Combinação Simples ....................................................................................................................... 69 
Conceitos iniciais de probabilidade ............................................................................................... 71 
Espaço amostral................................................................................................................................. 71 
Definição de Probabilidade ........................................................................................................... 72 
Probabilidade como Frequência Relativa ou Empírica ............................................................ 73 
Combinações de Eventos ................................................................................................................... 73 
Teorema do evento complementar ................................................................................................ 75 
Axiomas de Probabilidade ................................................................................................................. 75 
Probabilidade condicional ................................................................................................................. 76 
Teorema da Multiplicação ................................................................................................................. 78 
Teorema da Probabilidade Total ..................................................................................................... 78 
 
5 
 
Teorema de Bayes ................................................................................................................................. 79 
Relações Métricas do Triângulo ....................................................................................................... 80 
Seno De Um Ângulo ........................................................................................................................ 80 
Cosseno De Um Ângulo ................................................................................................................. 80 
Tangente De Um Ângulo ............................................................................................................... 81 
Razões Trigonométricas Notáveis ............................................................................................... 81 
Funções Inversas ............................................................................................................................... 81 
Lei Dos Cossenos .............................................................................................................................. 82 
Área de um triângulo....................................................................................................................... 83 
Propriedades Trigonométricas ..................................................................................................... 83 
Conversão De Graus Para Radianos ........................................................................................... 83 
Ângulos Internos E Externos ......................................................................................................... 84 
Quadriláteros .......................................................................................................................................... 84 
Retângulo ............................................................................................................................................. 84 
Quadrado ............................................................................................................................................. 85 
Paralelogramo .................................................................................................................................... 85 
Trapézio ................................................................................................................................................85 
Circunferência ......................................................................................................................................... 86 
Sóliodos Geométricos ......................................................................................................................... 87 
Paralelepípedo ................................................................................................................................... 87 
Cilindro.................................................................................................................................................. 87 
Esfera ..................................................................................................................................................... 88 
Pirâmide................................................................................................................................................ 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Como Estudar com Foco e Organização: Estratégia para 
Concursos 
 
A falta de tempo é um dos maiores desafios de quem decide se preparar para 
um concurso público, especialmente para adultos que já têm uma rotina cheia de 
responsabilidades. Trabalho, tarefas domésticas, compromissos e família ocupam boa 
parte do dia. E mesmo nos momentos livres, o cansaço pode ser tão grande que a 
vontade de descansar vence a de estudar. 
A grande questão aqui é: será que o problema está realmente no tempo ou na 
maneira como estamos utilizando ele? 
 
O Desafio da Falta de Tempo 
 
Para ilustrar essa reflexão, vamos relembrar um experimento simples. Imagine 
uma lâmpada e um laser, ambos com 100 watts de potência. A lâmpada, por espalhar 
a luz em várias direções, ilumina de forma difusa e não gera um impacto direto em um 
ponto específico. Já o laser, com a mesma potência, concentra toda a energia em um 
só ponto e é capaz de atravessar uma chapa de ferro de 8 milímetros. 
A lição aqui é clara: quando nossa energia está dispersa em várias direções, o 
resultado é limitado. Mas quando ela é direcionada com foco total para um único 
objetivo, a força e o impacto são muito maiores. 
Nesse contexto, o seu problema pode não ser a quantidade de tempo 
disponível, mas sim a maneira como você está distribuindo sua energia e foco. 
 
O foco no Concurso 
 
Durante um período específico da sua vida, o concurso precisa ser o seu único 
grande projeto. Mesmo com a necessidade de conciliar trabalho e outras 
responsabilidades, o concurso deve ser encarado como prioridade. Muitos candidatos 
acabam dividindo sua atenção com atividades como cursos de inglês, pós-graduações, 
hobbies, projetos paralelos e até aventuras em áreas como dropshipping, bitcoin ou 
marketing digital. O resultado? Energia fragmentada e dificuldade em manter o ritmo 
nos estudos. 
É importante lembrar que as pessoas que alcançam a aprovação, em sua 
maioria, possuem algo em comum: um foco único e inegociável no concurso público. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
O Desafio Extra das Mulheres 
 
Conciliar trabalho, casa e estudos é desafiador para todos, mas para as mulheres 
esse desafio costuma ser ainda maior. Além da rotina profissional, muitas acumulam a 
responsabilidade pelas tarefas domésticas e o cuidado com a família. Apesar disso, as 
mulheres são hoje a maioria das aprovadas em concursos públicos no Brasil. Elas são 
um exemplo de superação e mostram que, com foco e disciplina, é possível mudar a 
própria história e a da família. 
 
Criando Tempo: O que Cortar da Sua Rotina 
 
Imagine que sua rotina é uma garrafa cheia até a boca. Quando você tenta 
adicionar algo novo, como os estudos para concurso, ela transborda. O segredo, 
portanto, é tirar antes de colocar. Isso significa eliminar ou reduzir atividades que 
roubam seu tempo e não contribuem diretamente para o seu objetivo. 
Hoje, as distrações estão em todo lugar. As redes sociais, os aplicativos de 
mensagens e as plataformas de entretenimento foram criados para capturar sua 
atenção. Instagram, TikTok, YouTube, WhatsApp e Netflix são exemplos de ferramentas 
que, embora úteis em alguns momentos, podem consumir horas preciosas do seu dia. 
 
➢ Dica Prática: Considere desinstalar temporariamente esses aplicativos, sair de 
grupos de WhatsApp desnecessários e definir horários específicos para o uso 
do celular. 
 
Segundo Chris Bailey, autor do livro Foco, o segredo é bloquear o ambiente e 
manter uma distância mínima de 20 segundos das distrações. Se o celular é um 
problema, coloque-o fora de alcance – até mesmo em uma gaveta trancada, se 
necessário. 
 
Reavaliando Atividades Importantes 
 
Além de eliminar distrações vazias, você também pode precisar ajustar ou 
reduzir atividades importantes, pelo menos temporariamente. Isso pode incluir: 
 
➢ Reorganizar a participação em eventos sociais. 
➢ Delegar ou otimizar tarefas domésticas. 
 
Cada pessoa terá que encontrar o seu próprio equilíbrio, mas o foco deve ser 
preservar as atividades essenciais para sua saúde física e mental, enquanto reduz o que 
for possível para liberar tempo para os estudos. 
 
 
 
 
8 
 
Dicas de Estudo 
 
Agora que você já entendeu como priorizar e reorganizar sua rotina, é hora de 
aplicar técnicas práticas para aproveitar ao máximo o seu tempo de estudo. A seguir, 
apresentamos um conjunto de estratégias fundamentais para melhorar seu 
desempenho. 
 
1. Organize seu Tempo 
 
➢ Crie um Cronograma: Planeje seu dia, semana e mês de estudos. Inclua todas as 
disciplinas necessárias para o concurso, intercalando matérias básicas e 
específicas. Nas próximas páginas sugerimos um cronograma que você pode 
seguir. 
 
➢ Priorize as Disciplinas: Comece pelos tópicos que você tem mais dificuldade. 
Isso garantirá que você dedique mais tempo aos assuntos mais complexos e 
evite acumular deficiências ao longo da preparação. 
 
2. Utilize Materiais Diversificados 
 
➢ Apostilas e Vídeos: Utilize os materiais que oferecemos como base, mas busque 
complementar com livros, artigos e outros vídeos disponíveis online para 
aprofundar o conteúdo. 
 
➢ Exercícios: Pratique com questões de concursos anteriores. Isso ajuda a 
entender o estilo das bancas e a identificar padrões nas provas. 
 
3. Estude de Forma Ativa 
 
➢ Faça Resumos: Escreva resumos dos conteúdos estudados. Isso fortalece a 
memorização e cria um material de revisão personalizado. 
 
➢ Mapas Mentais: Visualizar conceitos e suas conexões ajuda na fixação e 
organização do conhecimento. 
 
➢ Ensine Alguém: Explicar o conteúdo para outra pessoa ou para você mesmo (em 
voz alta) é uma das melhores maneiras de consolidar o que aprendeu. 
 
4. Foco nos Questões 
 
➢ Resolução de Problemas: Resolva o máximo de questões possíveis, começando 
das mais fáceis até as mais complexas. 
 
9 
 
➢ Teoria e Prática: Estude a teoria, mas sempre aplique o conhecimento na prática 
com exercícios. Isso fortalece a retenção do conteúdo. 
 
➢ Simulações: Faça simulados completos, controlando o tempo, para desenvolver 
resistência e melhorar a gestão do tempo na prova real. 
 
5. Use Recursos Adicionais 
 
➢ Acelera Concursos: Aproveite ao máximo nossa plataforma, com questões 
comentadas, videoaulas e grupos de estudo para troca de experiências. 
 
➢ Bibliotecas e Livros: Utilize bibliotecas ou adquira livros especializados nos 
concursos que você pretende prestar, especialmente nas áreas mais exigentes 
do seu edital. 
 
Competitividade e Otimização 
 
A preparação para um concurso é, acima de tudo, uma competição. Quem 
consegue estudar mais e de forma mais inteligente terá vantagem. Se hoje você 
consegue duas horas líquidas de estudo, desafie-se: como posso alcançar três horas? 
Melhore constantemente suas condições, tanto físicas quanto de materiais e 
técnicas de estudo. Isso faz toda a diferença. 
 
Conclusão 
 
A falta de tempo existe, mas o maior desafio é o foco eo direcionamento. Tal 
como o laser atravessa o ferro, sua energia, quando concentrada no concurso, pode 
romper barreiras que antes pareciam intransponíveis. 
Priorize o concurso como sua missão principal. Aplique essas dicas práticas, crie 
uma rotina produtiva e lembre-se: a disciplina diária é o que constrói o sucesso na 
prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Conjuntos 
 
Conjunto dos Números Naturais ( ℕ ) 
 
O conjunto dos números naturais, simbolizado por ℕ, consiste, 
fundamentalmente, nos números que surgem de forma "natural" pela necessidade de 
contagem. 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 … } 
 
Este conjunto é formado apenas pelo zero e números inteiros positivos. Os 
números decimais e negativos são excluídos deste conjunto. 
O conjunto mais elementar, o conjunto dos números naturais, é notável por sua 
infinidade de elementos. Uma notação relevante é o asterisco sobreposto ao símbolo 
do conjunto, indicando que o número zero está excluído da lista. Essa notação pode 
ser aplicada a qualquer conjunto que venhamos a explorar. 
 
ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5 … } 
 
No estudo dos números naturais, dois conceitos adicionais podem ser 
introduzidos: o antecessor e o sucessor de um número. 
O antecessor de um número natural é simplesmente o número que precede a 
ele. Por exemplo, o antecessor de 5 é 4, e o antecessor de 100 é 99. Note que o 0 é o 
único número do conjunto que não possui antecessor. 
O sucessor de um número é o número que vem imediatamente após ele. Por 
exemplo, o sucessor de 5 é 6, e o sucessor de 80 é 81. Neste contexto, é observado 
que todos os números naturais têm sucessores. 
 
Conjunto dos Números inteiros ( ℤ ) 
 
O conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo ℤ, é formado por 
todos os números positivos, negativos e o zero, sem incluir frações ou decimais. Ele é 
essencial para representar quantidades inteiras em diversas situações do dia a dia, 
como contagens, temperaturas negativas e saldos financeiros. 
 
ℤ = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 … } 
 
As informações iniciais a serem consideradas sobre o 
conjunto dos números inteiros incluem o fato de que ele contém 
o conjunto dos números naturais: ℤ ⊃ ℕ. 
Em termos simples, os números naturais são um 
subconjunto dos inteiros. 
 
11 
 
Assim como anteriormente, podemos utilizar o asterisco sobrescrito caso se 
queira tirar o 0 do conjunto. 
 
ℤ∗ = {−4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4 … } 
 
A partir do conjunto dos números inteiros, podemos classificar os números 
pares e ímpares. Abaixo, temos as definições matemáticas. 
➢ Números pares: todo número inteiro que pode ser escrito como: 
 
𝑝 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ 
 
➢ Números ímpares: todo número inteiro que pode ser escrito como: 
 
𝑝 = 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ 
 
Conjunto dos Números racionais ( ℚ ) 
 
Um número é considerado racional quando pode ser expresso na forma de uma 
fração, ou seja, como a razão entre dois números inteiros. O conjunto dos números 
racionais, representado por ℚ, inclui todos os números inteiros, pois qualquer número 
inteiro pode ser escrito como uma fração com 
denominador igual a 1. Assim, temos que ℚ ⊃ ℤ, ou 
seja, os números inteiros fazem parte do conjunto 
dos racionais. 
Além dos inteiros, há outros números que 
pertencem ao conjunto dos racionais, desde que 
satisfaçam uma das seguintes condições: 
1. Possuir uma representação fracionária de inteiros, como nos exemplos: 
➢ 
3
1
= 3 
➢ 
7
2
= 3,5 
➢ 
−5
4
= −1,25 
2. Ter uma parte decimal infinita periódica, ou seja, quando os dígitos decimais se 
repetem infinitamente em um padrão fixo. Esses números são chamados de 
dízimas periódicas e são racionais. Exemplos: 
➢ 2,3333 … = 2, 3̅ 
➢ 0,010101 … = 0, 01̅̅̅̅ 
➢ 1,676767 … = 1, 67̅̅̅̅ 
 
Essas propriedades garantem que o conjunto dos números racionais inclui tanto 
os inteiros quanto números com partes decimais finitas ou periódicas, mas não inclui 
números com partes decimais infinitas e não periódicas, como os irracionais. 
 
12 
 
Conjunto dos Números irracionais ( 𝕀 ) 
 
Os números irracionais fazem parte do conjunto dos números reais, mas diferem 
dos números racionais porque não podem ser expressos como uma fração de dois 
números inteiros. Ou seja, não há nenhuma fração 
𝑎
𝑏
, 𝑏 ∈ ℤ e 𝑏 ≠ 0, que possa 
representá-los de forma exata. 
O conjunto dos números irracionais pode ser definido como a diferença entre 
os números reais e os números racionais, ou seja, (ℝ − ℚ). 
Entre os números irracionais mais conhecidos, destacam-se: 
➢ Número 𝜋: Aproximadamente 3,141592…, é um número essencial na 
matemática, especialmente em cálculos envolvendo círculos e trigonometria. 
➢ Número de Euler (𝑒): Um dos números mais importantes na matemática, com 
valor aproximado de 2,718…, utilizado em funções exponenciais e logaritmos. 
➢ Proporção áurea (𝜑): Aproximadamente 1,618…, aparece frequentemente em 
padrões naturais, arte e arquitetura. 
 
Além disso, raízes não exatas também são exemplos de números irracionais, 
pois não possuem representação decimal finita nem periódica. Alguns exemplos são: 
√2, √3, √5 entre outras. 
Os números irracionais são fundamentais na matemática, pois preenchem os 
"espaços" entre os números racionais dentro do conjunto dos reais, garantindo uma 
representação completa da reta numérica. 
 
Conjunto dos Números reais ( ℝ ) 
 
O conjunto dos números reais abrange tanto os números racionais quanto os 
irracionais, ou seja, inclui todos os números utilizados no dia a dia, como inteiros, 
decimais exatos, dízimas periódicas e raízes não exatas. 
 
Representação dos Números Reais 
 
Os números reais podem ser representados de duas formas principais: 
➢ Diagrama de Conjuntos: Mostra a relação entre os subconjuntos dos números 
reais, como naturais(ℕ), inteiros (ℤ), racionais (ℚ) e irracionais (ℝ − ℚ). 
➢ Reta Real: Representação visual dos números reais ao longo de uma linha 
contínua, permitindo ilustrar intervalos e conjuntos específicos. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Intervalos na Reta Real 
 
Quando queremos definir um conjunto dentro dos números reais, utilizamos a 
notação de intervalos. Por exemplo, considere o conjunto A formado pelos números 
entre −5 e 2, incluindo esses valores. Ele pode ser representado por: 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ −5 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
 
Isso indica que qualquer número entre −5 e 2 pertences ao conjunto 𝐴, e os 
símbolos ≤ mostram que os extremos estão incluídos. 
Se quisermos um intervalo onde −5 e 2 não façam parte do conjunto, usamos a 
notação de desigualdade estrita: 
 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ −5𝑥 não pertence ao conjunto A. 
 
Exemplo: 
➢ O conjunto dos números inteiros pertence ao conjunto dos racionais: ℤ ∈ ℚ. 
➢ O número -2 não pertence ao conjunto dos naturais: −2 ∉ 𝑁. 
 
Inclusão e Subconjuntos 
 
Quando todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, dizemos que 
há uma relação de inclusão, simbolizada por ⊂. 
➢ 𝐴 ⊂ 𝐵 → 𝐴 está contido em B. 
➢ 𝐴 ⊄ 𝐵 → 𝐴 não está contido em B. 
 
Podemos expressar essa relação de outra forma: 
➢ 𝐵 ⊃ 𝐴 → 𝐵 contém A. 
➢ 𝐵 ⊅ 𝐴 → 𝐵 não contém A. 
 
Exemplo: 
➢ {2,5} ⊂ 𝐴, ou seja, os elementos 2 e 5 estão dentro do conjunto A. 
➢ 𝐴 ⊃ {2,5} significa que A contém esses elementos. 
➢ {9,16} ⊄ 𝐴 indica que 9 e 16 não pertencem ao conjunto A. 
 
Os subconjuntos são partes menores de um conjunto maior. Para determinar a 
quantidade de subconjuntos de um conjunto com n elementos, utilizamos a fórmula: 
 
𝑆 = 2𝑛 
 
Onde S representa o número total de subconjuntos possíveis. 
 
 
 
 
 
15 
 
Igualdade de Conjuntos 
 
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos, 
independentemente da ordem. Por exemplo: 
 
𝐴 = {1,2,3,4,5,6}, 𝐵 = {6,5,4,3,2,1} ⇒ 𝐴 = 𝐵 
 
Operações Entre Conjuntos 
 
Os conjuntos podem ser combinados ou comparados através das operações de 
união, intersecção, diferença e complemento. 
 
União (∪) 
 
A união entre dois conjuntos resulta em um novo conjunto que contém todos 
os elementos dos dois conjuntos, sem repeti-los. 
 
Exemplo: 
Se 𝐴 = {1,2,3} e 𝐵 = {2,3,4}, então: 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = {2,3} 
 
Diferença (−) 
 
A diferença entre dois conjuntos resulta em um novo conjunto contendo os 
elementos que pertencem a um conjunto, mas não ao outro. 
Exemplo: 
Se 𝐴 = {1,2,3} e 𝐵 = {2,3,4}, então: 
 
𝐴 − 𝐵 = {1} 
 
Complemento 
 
O complemento de um conjunto é formado pelos elementos do conjunto 
universal que não pertencem ao conjunto em questão. 
Exemplo: 
Se 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e 𝐵 = {4,5,6,7}, o complemento de B em relação a A 
(ou seja, os elementos de A que não estão em B) é: 
 
𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = {1,2,3,8,9} 
 
 
 
 
 
16 
 
A relação entre complemento e união é expressa por: 
 
𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ 𝐶 ∪ 𝐵 = 𝐴 
 
Essas operações são fundamentais para o estudo da teoria dos conjuntos e têm 
diversas aplicações na matemática, lógica e computação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Razão e Proporção: Regra de três 
 
A regra de três está intrinsecamente ligada à proporcionalidade. Entretanto, 
vamos desviar brevemente do tema da proporção para enfatizar sua relevância. 
Quando abordamos a regra de três simples, estamos estabelecendo uma relação direta 
entre duas grandezas. Já na regra de três composta, necessitamos relacionar três ou 
mais grandezas. 
 
Regra de três simples 
Se a regra de três é um método prático, então é ideal começar a compreendê-
la através de uma questão atual. 
Exemplo: 
Suponha que com 3 litros de certa tinta, é possível pintar uma superfície de 
15 𝑚². Utilizando 6 litros dessa tinta, a maior superfície que poderá ser pintada será de: 
 
a) 22 m². 
b) 24 m². 
c) 26 m². 
d) 27 m². 
e) 30 m². 
 
A principal observação a ser feita é que quanto mais tinta eu tiver, maior será a 
área que poderei pintar. Portanto, estamos lidando com grandezas que variam 
diretamente. Assim, se T denota a quantidade de tinta e S representa a superfície que 
pode ser pintada com essa quantidade, podemos afirmar que: 
 
𝑆
𝑇
= 𝑘 
 
A questão afirma que 3 litros pintam 15 𝑚². Podemos substituir esses valores na 
relação mencionada acima para encontrar o valor de k. 
 
𝑘 =
15 𝑚²
3 𝐿
→ 𝑘 =
5 𝑚²
𝐿
 
 
A questão pede a área de superfície que podemos pintar com 6 litros de tinta. Temos 
T e k, se substituirmos na fórmula acima, encontramos S. Vamos fazer isso. 
 
𝑆
𝑇
= 𝑘 →
𝑆
6
= 5 → 𝑆 = 30 
 
 
 
 
18 
 
 
Respondemos à questão sem recorrer à regra de três, apenas aplicando os 
conceitos de proporcionalidade que aprendemos. Ou seja, a regra de três é utilizada 
apenas como uma ferramenta auxiliar, facilitando a resposta desse tipo de questão de 
maneira mais direta. 
Considere que temos uma quantidade T₁ de tinta e essa quantidade pinta uma 
superfície de área S₁. Assim: 
 
𝑆1
𝑇1
= 𝑘 
 
Analogamente, vamos considerar outra quantidade de tinta T₂ que pinta uma 
superfície com área S₂. Assim: 
 
𝑆2
𝑇2
= 𝑘 
 
Veja que podemos igualar as duas expressões acima, pois ambas representam 
o mesmo valor de "k". 
 
𝑆1
𝑇1
=
𝑆2
𝑇2
 
 
Por que mostrar para vocês nessa forma? Pois, na hora da prova, fazemos assim: 
 
𝑇1
𝑆1
 
𝑇2
𝑆2
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
𝑆1 ⋅ 𝑇2 = 𝑇1 ⋅ 𝑆2 →
𝑆2
𝑆1
=
𝑇2
𝑇1
 
 
Do enunciado, retiramos que: 
 
𝑆1 = 15𝑚2 𝑇1 = 3𝐿 𝑇2 = 6𝐿 
 
Substituindo: 
 
𝑆2
15
=
6
3
→ 𝑆2 = 30𝑚2 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Regra de três inversa 
Quando as grandezas de uma regra de três forem inversamente proporcionais, 
é necessário inverter a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações, 
para, posteriormente, multiplicar-se cruzado. 
Exemplo: 
Para a confecção das provas de um concurso, uma gráfica dispunha de 15 
impressoras, que demorariam 18 horas para imprimir todas as provas. No preparo para 
o início do trabalho, foi diagnosticado que só havia 10 impressoras funcionando. Qual 
é o tempo, em horas, que será gasto para a confecção de todas as provas do concurso? 
 
As grandezas são quantidades de impressoras e tempo. 
 
Impressoras Horas 
15 18 
10 x 
 
Analisando-se as duas grandezas, é notório que se a quantidade de impressoras 
for diminuída, consequentemente, o tempo para fazer as impressões será aumentado, 
logo, essas grandezas são inversamente proporcionais. 
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é necessário inverter-se 
a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações, para, posteriormente, 
multiplicar-se cruzado. 
 
 
Impressoras Horas 
15 18 
10 x 
 
10
15
=
18
𝑥
→ 10𝑥 = 15 ⋅ 18 → 10𝑥 = 270 → 𝑥 =
270
10
= 27ℎ 
 
 
Regra De Três Composta 
 
Nas questões anteriores, abordamos a regra de três simples, que relaciona duas 
grandezas. Por outro lado, na regra de três composta, relacionamos três ou mais delas, 
e muitos problemas apresentados em provas possuem esse nível de complexidade. 
Menciono "complexidade", mas não se preocupe, você ficará habilidoso nisso. 
 
 
20 
 
 
 
Exemplo: 
Se 6 servidores, igualmente eficientes, limpam 20 salas de aula em exatamente 
3 horas, então, 12 servidores, trabalhando com a mesma eficiência dos primeiros, 
limparão 40 salas em exatamente: 
 
a) 7 horas. 
b) 6 horas. 
c) 5 horas. 
d) 4 horas. 
e) 3 horas. 
 
O primeiro passo é identificar as grandezas. 
• Número de servidores; 
• Quantidade de salas de aula; 
• Tempo gasto para limpar. 
 
O enunciado solicita o tempo gasto para a limpeza das salas. Portanto, essa será 
nossa grandeza de referência. Agora que identificamos nossos parâmetros e 
determinamos quem será a referência, devemos avaliar quais são diretamente ou 
inversamente proporcionais ao tempo gasto para limpar. 
Veja que quanto maior o número de servidores, menor será o tempo gasto para 
limpar. Assim, tempo e número de servidores são inversamente proporcionais. Agora, 
quanto mais salas de aula houver para limpar, maior será o tempo gasto para essa 
tarefa. Com isso, temos que a quantidade de salas e o tempo gasto são diretamente 
proporcionais. Entenderam, pessoal? É crucial fazer essa identificação, pois agora 
sabemos que: 
O tempo gasto para limpar (𝑇) é diretamente proporcional à quantidade de salas 
(𝑄) e inversamente proporcional ao número de servidores (𝑆). Caímos naquele 
problema que já estudamos. 
 
𝑇𝑆
𝑄
= 𝑘 
 
O problema estabelece que, com 6 servidores (𝑆 = 6) e20 salas (𝑄 = 20), o 
tempo gasto é de 3 horas (𝑇 = 3). Podemos determinar a constante de 
proporcionalidade com base nessas informações. 
 
3 ∙ 6
20
= 𝑘 → 𝑘 =
18
20
 
 
 
 
 
21 
 
 
Em seguida, o enunciado apresenta uma nova situação, onde há 12 servidores 
(𝑆 = 12) designados para limpar 40 salas (𝑄 = 40). O objetivo é determinar quanto 
tempo (𝑇) será necessário. Com base nas informações anteriores, podemos proceder. 
 
𝑇𝑆
𝑄
= 𝑘 →
𝑇 ∙ 12
40
=
18
20
→ 𝑇 =
72
24
→ 𝑇 = 3 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Este é o método de resolver a questão utilizando apenas os conceitos de 
proporcionalidade que já conhecemos. No entanto, existe uma maneira mais rápida: a 
aplicação da regra de três composta. Para utilizar esse método, será necessário criar 
uma tabela para organizar os dados e simplificar o processo de resolução. 
Para desenhar a tabela, é importante começar colocando a grandeza de 
referência na primeira coluna. Em seguida, as informações fornecidas pelo enunciado 
devem ser preenchidas na primeira e segunda linhas da tabela. 
 
Tempo Servidores Salas 
3 6 20 
x 12 40 
 
Para manter a padronização, vamos adotar o uso de uma seta para baixo na 
grandeza de referência. Dessa forma, a primeira coluna da tabela será iniciada com 
essa seta. 
 
Tempo Servidores Salas 
3 6 20 
x 12 40 
 
Trata-se apenas de uma padronização para facilitar o entendimento. Na tabela, 
colocaremos uma seta para baixo nas grandezas que forem diretamente proporcionais 
ao tempo e uma seta para cima nas grandezas que forem inversamente proporcionais. 
Isso nos ajudará a visualizar melhor a relação entre as grandezas e o tempo. 
 
Tempo Servidores Salas 
3 6 20 
x 12 40 
 
 
22 
 
 
Com essa padronização, torna-se bastante claro identificar quais grandezas 
estão diretamente relacionadas ao tempo e quais estão inversamente relacionadas. 
Agora, podemos prosseguir montando uma equação para resolver o problema. 
 
3
𝑥
=
12
6
×
20
40
 
 
Observa-se que a razão dos servidores foi registrada de forma inversa em 
relação à tabela. A seta vermelha serve como um lembrete desse fato. Quando lidamos 
com grandezas inversamente proporcionais, elas entram invertidas na equação 
resultante da regra de três composta. O sinal de igualdade é inserido imediatamente 
após escrevermos a razão da grandeza de referência. Agora, podemos proceder à 
resolução do problema. 
 
3
𝑥
=
12
6
×
20
40
 →
3
𝑥
=
2
2
→ 𝑥 = 3 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Note que tiramos uma equação de uma tabela. Tudo baseado na 
proporcionalidade. Vamos resolver mais uma questão fazendo uma aplicação mais 
direta, ou seja, resposta: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
Equações De Primeiro Grau 
 
Para identificar se uma equação é de primeiro grau, é suficiente buscar pelo 
maior expoente em alguma variável. Caso o maior expoente seja um, a equação será 
considerada de primeiro grau. Isto quer dizer que a equação não será de primeiro grau 
caso haja uma variável elevada ao quadrado, ao cubo etc. 
 
Exemplos de equações de primeiro grau: 
 
𝑥 + 1 − 9 = 0 
6𝑥 + 8 = 5 
Para resolver uma equação do primeiro grau, basta isolar a variável em um dos 
lados, mantendo a igualdade. Para isso, aplicamos a mesma operação em ambos os 
lados da equação. Veja o exemplo: 
 
𝑥 + 1 − 9 = 0 
Observe que queremos isolar o “x” do lado esquerdo da equação, para isto, 
precisamos subtrair “1” que está sendo somado. Devemos realizar isto dos dois lados 
da igualdade. 
𝑥 + 1 − 1 − 9 = 0 − 1 
Da mesma forma, faremos com o “-9”, e iremos somar desta vez. 
𝑥 + 1 − 1 − 9 + 9 = 0 − 1 + 9 
𝑥 + 1 − 1 − 9 + 9 = 0 − 1 + 9 
𝑥 = 8 
Podemos usar a igualdade a nosso favor em qualquer operação, seja 
multiplicação, divisão, adição e subtração. Estas operações podem ser simplificadas 
com a prática utilizando o conceito de “passar para o outro lado”. Dessa forma, ao 
“passar” um número para o outro lado, sua operação se inverte: adição vira subtração, 
subtração vira adição, multiplicação vira divisão e divisão vira multiplicação. Observe: 
6𝑥 + 8 = 5 
6𝑥 = 5 − 8 
6𝑥 = −3 
𝑥 = −
3
6
 
𝑥 = −
1
2
 
Equações De Segundo Grau 
 
As equações de segundo grau serão aquelas em que o expoente encontrado 
em uma variável é 2. Definimos uma equação de segundo grau como sendo qualquer 
equação que possa ser escrita na forma de: 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
24 
 
 
Chamamos a, b e c de coeficientes da equação, então, para que a equação seja 
de segundo grau, a deve ser diferente de 0. 
Para resolver uma equação deste tipo, não conseguimos isolar a variável, pois 
existe uma soma entre dois expoentes diferentes, então, não podemos realizar esta 
soma. É necessário utilizar a Fórmula de Bhaskara. 
 
 𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Note que, na fórmula de Bhaskara, há um operador ±. 
Isto acontece, pois, as equações de segundo grau possuem dois resultados para “x” 
que irá satisfazer a igualdade. Chamamos este resultado de “raízes da equação”, e 
utilizamos x’ (raiz positiva) para o primeiro resultado e x’’ (raiz negativa) para o 
segundo. 
Observe, abaixo, um exemplo de equação de segundo grau e sua resolução: 
 
Passo 1: Identificar os coeficientes. 
1𝑥2 + 3𝑥 − 4 
𝑎 = 1, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = −4 
Passo 2: Cálculo do discriminante. 
∆= 32 − 4 ∙ 1 ∙ (−4) 
∆= 9 + 16 = 25 
Passo 3: Fórmula de Bhaskara. 
𝑥 =
−3 ± √25
2 ∙ 1
=
−3 ± 5
2
 
𝑥′ =
−3 + 5
2
=
2
2
= 1 𝑥′′ =
−3 − 5
2
=
−8
2
= −4 
 
Funções De Primeiro Grau 
 
As funções de primeiro grau (ou função Afim) são funções de 𝑓: ℝ → ℝ. Isto 
significa que, uma função será alimentada com um número Real e retornará um 
número também Real. Sua lei de formação pode ser vista abaixo. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
∆ é chamado de 
Discriminante 
Observação: quando o Discriminante de uma equação é negativo, sabemos 
que não existem resultados para uma raiz negativa dentro dos números 
reais, logo, dizemos que a equação de segundo grau não tem soluções 
reais. 
 
25 
 
 
Onde, a e b são coeficientes da função, e necessariamente 𝑎 ≠ 0. Podemos, 
também, chamar f(x) de y, dessa forma, para todo x fornecido, teremos um valor para 
y. 
 
Domínio (𝐷) E Imagem (𝐼𝑚) De Uma Função Do Primeiro Grau 
 
O Domínio (D) de uma função são todos os valores válidos para aquela função, 
ou seja, todos os valores que x pode assumir. O domínio de uma função do primeiro 
grau é o conjunto dos números Reais. 
 
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 
 
Já a Imagem (Im) de uma função, são todos os valores que o y assume mediante 
os valores de x fornecidos. Como o domínio das funções de primeiro grau são todos 
os números Reais, o y também pode assumir qualquer valor dentro dos reais. 
 
𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
Estudo Dos Coeficientes Dos Coeficientes Da Função De 
Primeiro Grau 
 
A função do primeiro grau é representada pela equação: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
Nessa equação, os coeficientes a e b determinam características essenciais da 
reta no plano cartesiano. 
 
Coeficiente Angular (a) 
 
O coeficiente angular é o número que multiplica x e define a inclinação da reta. 
Ele indica a taxa de variação da função e determina seu crescimento ou decrescimento: 
 
➢ Se a>0: a reta é crescente, ou seja, conforme x aumenta, f(x) também aumenta. 
➢ Se aEsse valor determina a inclinação da reta: quanto maior o módulo de a, mais 
inclinada ela será. 
 
Para calcular o valor do coeficiente angular, podemos escolher dois pontos 
distintos na reta representada pelo gráfico e aplicar os valores de x e y na seguinte 
fórmula: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
(𝑦1 − 𝑦2)
(𝑥1 − 𝑥2)
 
 
Coeficiente Linear (b) 
 
O coeficiente linear b indica o ponto onde a reta corta o eixo y, ou seja, o valor 
da função quando x=0: 
 
𝑓(0) = 𝑏 
 
27 
 
 
Ele desloca a reta para cima ou para baixo no gráfico, mas não altera sua 
inclinação. 
Note que, diferente do a, o coeficiente linear pode assumir qualquer valor, seja 
ele positivo, negativo ou nulo. 
 
Gráfico Da Função De Primeiro Grau 
 
Conforme já foi apresentado, a função de primeiro grau assume um gráfico de 
uma reta. Por isto, função de primeiro grau também pode ser chamada de equação da 
reta. Para exemplificar, iremos utilizar a função abaixo. 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑎 
O primeiro passo para conseguir traçar o gráfico de uma função de primeiro 
grau é escolher dois ou mais valores do Domínio da função, e encontrar sua Imagem. 
 
𝒙 𝒚 
0 4 
2 10 
-1 1 
-2 -2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Com os valores em mãos, é necessário achar estes pontos em um plano 
cartesiano, e é possível traçar uma reta a qual passe por todos os pontos. 
 
 
 
Dessa forma, obtemos o gráfico da função fornecida. Pela equação, era possível 
observar que o coeficiente angular era positivo, logo, a função seria crescente. 
Observando o gráfico, confirmamos isto. 
 
Classificação Das Funções De Primeiro Grau 
 
A classificação de uma função do primeiro grau é melhor vista à partir de seu 
gráfico. Porém, também podemos expressá-las de maneira matemática. As funções 
Afim podem levar três classificações. 
A primeira, é chamada de Função Constante, onde o a = 0, logo, temos que: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑏 
Neste caso, independentemente do valor de x, a função sempre retornará b. 
 
 
A segunda maneira de classificação é chamada de Função Identidade, e temos 
um caso desses quando a = 1 e b = 0. Dessa forma, temos que: 
 
29 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
Assim, temos um caso especial onde y = x. O gráfico gera uma reta chamada de 
bissetriz dos quadrantes 1 e 3. 
 
 
 
 
 
 
A terceira classificação é a Função Linear, onde o valor de b = 0 e 𝑎 ≠ 1. Dessa 
forma, uma função Linear sempre irá ter um ponto na origem (0, 0), mas poderá ter 
qualquer valor para a, desde que não seja 1, pois esta seria a função identidade. 
 
Raiz Da Função Do Primeiro Grau 
 
A raiz de uma função é definida quando o valor da função é igual a zero. Como 
estamos falando de uma função de primeiro grau, ela possui apenas uma raiz. Dessa 
forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑓(𝑥) = 0 
 
 
30 
 
 
Assim, temos: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
𝑎𝑥 = −𝑏 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
 
Função De Segundo Grau 
 
As funções de segundo grau (ou função Quadrática) são funções de 𝑓: ℝ → ℝ. 
Isto significa que, uma função será alimentada com um número Real e retornará um 
número também Real. Sua lei de formação pode ser vista abaixo. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Onde, a, b e c são coeficientes da função, e necessariamente 𝑎 ≠ 0. Note que o 
valor de b e c ficam livres para serem representados por qualquer número real. 
 
 
 
Gráfico Da Função De Segundo Grau 
 
Uma função de segundo grau é caracterizada pela presença de uma parábola, e 
ela pode ser apresentada de duas maneiras diferentes. Observe os gráficos abaixo. 
 
Em ambos os gráficos, estão expressas uma função do segundo grau. A primeira 
observação que teremos é em relação ao valor do coeficiente a. No Gráfico I, temos 
um valor negativo para este coeficiente. Isto resulta em uma parábola com a 
concavidade virada para baixo. Quando observamos o Gráfico II, podemos observar 
que o sinal positivo do coeficiente resultará em uma parábola com concavidade virada 
para cima. 
 
31 
 
 
Além disso, através de ambas as raízes conseguimos identificar os valores do 
coeficiente c, pois ele é o valor onde a função corta o eixo y, ao igualar 𝑥 = 0, o Gráfico 
I retornará em 2 e o Gráfico II nos retorna o valor -1. 
Por fim, também é possível identificar o valor das raízes desta função, ou seja, 
quando 𝑦 = 0. Observamos que, no Gráfico I, os valores das raízes serão 2 e -0,5. Já 
para o Gráfico II, as raízes serão -0,732 e 2,732 (Estes valores se dão, pois, ao calcular a 
raiz da função, os resultados encontrados são: 
 
𝑥′ = 1 − √3 e 𝑥′′ = 1 + √3 
 
Raízes Da Função Do Segundo Grau 
 
A raiz de uma função é quando o valor da função é zerado. Como estamos 
falando de uma função de segundo grau, ela possui duas raizes. Dessa forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑓(𝑥) = 0 
 
 
 
 
 
Temos que: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Desta forma, conseguimos resolver a equação a partir de Bhaskara, conforme 
visto anteriormente, encontrando o valor das duas raízes da função. 
 
Valor De Δ Graficamente 
 
O valor do delta encontrado ao tentar resolver por Bhaskara nos revela algumas 
outras características da função de segundo grau quando observamos graficamente. 
Ao calcular o valor do delta, ele terá três possibilidades: 
 
➢ Δ > 0: A função cortará o eixo x em dois pontos, pois possui duas raízes; 
➢ Δ = 0: A função cortará o eixo x em um ponto, pois possui uma raíz; 
➢ Δ 0. E o valor da função 
será mínimo no x do vértice caso aa > 1, encontramos uma função crescente, que será 
semelhante à função abaixo. 
 
 
Note que, quanto menor o valor de x, menor será o valor da função. Entretanto, 
o valor de y nunca será 0, mesmo que muito próximo. Podemos dizer que o limite 
desta função quando x tende à 0 é menos infinito (−∞). 
Conforme o valor de x aumenta, a função tem uma explosão de valores, 
crescendo rapidamente. Para este caso, o valor de b “deslocará” a função para cima ou 
para baixo, porém a “aparência” da função será a mesma. 
 
 
Agora, se considerarmos um valor de 0 > a > 1, encontramos uma função 
decrescente, observe abaixo. 
 
 
A função basicamente fica espelhada em relação ao eixo y, pois estamos 
tratando de números entre 0 e 1. Nesse intervalo, à medida que o expoente aumenta, 
 
35 
 
 
o valor da base diminui. Por exemplo, 0,112 é menor que 0,111, assim como 0,13 é 
menor que 0,12. 
 
Logaritmo 
 
Para conseguir entender sobre as funções logarítmicas, é necessário entender 
um pouco sobre a operação matemática de logaritmo. Embora seja um tema temido 
por muitas pessoas. 
A função logarítmica pode ser entendida como o inverso da função exponencial. 
Contudo, antes de iniciarmos seu estudo, e importante revisar o logaritmo e suas 
propriedades, como descrito a seguir: 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 → 𝑎𝑦 = 𝑥 
 
Propriedades De Definição 
Dos Logaritmos 
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂 = 𝟏 
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝟏 = 𝟎 
𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = 𝒙 
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂𝒙 = 𝒙 
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 → 𝒙 = 𝒚 
Caso a base do logaritmo não esteja especificada, sempre consideramos a base 
10. Além disso, quando tratamos de logaritmos na qual a base é o Número de Euller 
( ℯ ), chamaremos de Logaritmo Natural (𝐿𝑛). 
 
Os logaritmos possuem, ainda, propriedades quanto às operações. 
 
Propriedades De Operações Dos 
Logaritmos 
𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒙 × 𝒚) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 
 
36 
 
 
𝒍𝒐𝒈𝒂 
𝒙
𝒚
= 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 − 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙𝒑 = 𝒑 × 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒑 𝒙 =
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙
𝒑
 
 
 
Função Logarítmica 
 
As funções logarítmicas são funções de 𝑓: ℝ+
∗ → ℝ, onde a função está 
associada a um a, onde 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 0. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝒂 𝑥 
 
Esta função varia bastante o seu domínio, pois ele dependerá da base do 
logaritmo, e a sua imagem poderá ser qualquer número Real, incluindo números 
negativos e o zero. 
 
Gráfico Da Função Logarítmica 
 
Assim como a função exponencial, o gráfico da função logarítmica também terá 
dois comportamentos a depender da base a. Vamos começar considerando a > 1. 
Quando o valor de a é maior que 1, temos uma função crescente. Note que, 
assim como a função exponencial, deslocamentos podem ser realizados nesta função. 
 
Para quando o valor de 0um sistema seja considerado possível e determinado, é necessário que 
ele atenda a alguns critérios. 
 
São eles: 
➢ Possuir um número de equações igual ao número de incógnitas; 
➢ Essas equações não podem ser combinações lineares entre si; 
➢ Essas equações não podem se contradizer. 
 
Para classificar este tipo de sistema, podemos calcular a determinante da matriz 
que representa o sistema linear. Caso o determinante seja diferente de 0, o sistema 
possui apenas uma solução e é classificado como SPD. Caso o determinante seja igual 
a 0, o sistema pode ser SPI ou SI. 
 
Sistema Linear Homogêneo 
 
Um sistema linear homogêneo é caracterizado pelo fato de que os termos 
independentes de todas as equações são iguais a zero. 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
 
 
 
42 
 
 
Observe que, neste caso, (x, y, z) = (0, 0, 0) já é uma solução possível para este 
sistema. Logo, sistemas lineares homogêneos sempre terão pelo menos uma solução. 
Para determinar se é um SPD ou SPI é necessário verificar a determinante. 
 
Solução De Um Sistema Linear (Métodos) 
 
Solução Por Substituição 
 
A técnica de solução por substituição envolve isolar uma variável em uma 
equação e substituir esse valor na outra equação do sistema. Observe o sistema abaixo. 
 
{
2𝑥 + 𝑦 = 10
3𝑥 + 𝑦 = 15
 
 
Vamos manipular a segunda equação e isolar o y nela. 
 
𝑦 = 15 − 3𝑥 
 
Agora, basta substituir o valor de y na primeira equação. 
 
2𝑥 + 𝑦 = 10 
2𝑥 + (15 − 3𝑥) = 10 
2𝑥 − 3𝑥 + 15 = 10 
−𝑥 = 10 − 15 
−𝑥 = −5 
𝑥 = 5 
 
Com o valor de x, podemos substituir o valor dele em qualquer uma das 
equações para encontrar o valor de y. 
 
3 × 5 + 𝑦 = 15 
15 + 𝑦 = 15 
𝑦 = 0 
 
Assim, achamos a solução de (x, y) = (5, 0) para este sistema. 
 
Solução Por Eliminação De Variável 
 
A técnica consiste em eliminar variáveis por meio de uma combinação linear 
adequada das equações do sistema linear. Observe o sistema abaixo. 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 = 2
2𝑥 − 2𝑦 = 3
 
 
43 
 
 
Ao realizar uma combinação linear de 𝐿1 + 𝐿2, elimina-se a variável y. 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 = 2
2𝑥 − 2𝑦 = 3
5𝑥 + 0𝑦 = 5
 
𝑥 =
5
5
 
𝑥 = 1 
 
Com o valor de x, basta substitui-lo em qualquer uma das equações iniciais para 
encontrar o valor de y. 
 
3(1) + 2𝑦 = 2 
3 + 2𝑦 = 2 
2𝑦 = −1 
𝑦 = −
1
2
 
 
Teorema De Cramer 
 
É importante compreender que o Teorema de Cramer só pode ser aplicado 
quando o número de equações do sistema linear é igual ao número de incógnitas. 
Nesse caso, a matriz dos coeficientes do sistema linear será quadrada. 
Considere, então, um sistema linear escrito na forma matricial: 
 
𝐴𝑛×𝑛𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑛×1 
 
Chamaremos de D o determinante da matriz dos coeficientes (A). 
 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝐷 
 
O teorema de Cramer nos diz, então, que se D for diferente de 0, o sistema 
possui solução, e que a solução é dada por: 
 
𝛼𝑖 =
𝐷𝑖
𝐷
 
 
Onde 𝐷𝑖 é o determinante da matriz A substituindo a coluna i pela matriz dos 
termos independentes. 
Para obter os valores de Di, basta substituir os valores de B na coluna da variável 
escolhida e calcular a determinante desta nova matriz. Entenda. 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
44 
 
 
𝐵 = [
𝑎
𝑏
𝑐
] 
 
Para achar os valores de cada Di, fazemos as substituições, tendo as matrizes 
abaixo. 
 
𝐷𝑥
[
𝑎 𝑎12 𝑎13
𝑏 𝑎22 𝑎23
𝑐 𝑎32 𝑎33
]
, 
𝐷𝑦
[
𝑎11 𝑎 𝑎13
𝑎21 𝑏 𝑎23
𝑎31 𝑐 𝑎33
]
, 
𝐷𝑧
[
𝑎11 𝑎12 𝑎
𝑎21 𝑎22 𝑏
𝑎31 𝑎32 𝑐
]
 
 
Assim, calcula-se a determinante de cada matriz e dividimos pela determinante 
da matriz principal para encontrar os valores de x, y e z. 
 
 
Método Do Escalonamento 
 
O método do escalonamento, também conhecido como Eliminação Gaussiana, 
é considerado o melhor meio para resolver sistemas lineares. Este método fornece um 
procedimento passo a passo, uma abordagem sistemática, sem a necessidade de 
insights especiais para resolver o sistema. Além disso, não exige a resolução de 
determinantes, como ocorre no Teorema de Cramer. 
O método consiste em obter um sistema equivalente ao sistema original, no 
qual o número de variáveis explícitas diminui de equação para equação. Em outras 
palavras, o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação. 
 
Considere o seguinte sistema: 
 
{
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 22
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 10
 
 
A ideia do método do escalonamento é chegar no seguinte sistema equivalente: 
 
{
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
 3𝑦 + 3𝑧 = 18
 −𝑧 = −12 
 
 
Dizemos que esse sistema é escalonado porque o número de variáveis explícitas 
diminui de equação para equação. Observa-se que na primeira equação existem 3 
variáveis explícitas, na segunda há 2 variáveis, e na última equação há apenas uma 
variável explícita. 
 
 
 
45 
 
 
A natureza escalonada do sistema é notável: a partir da última equação, 
podemos determinar o valor de z. Na penúltima equação, conseguimos obter o valor 
de y, pois já conhecemos z. Finalmente, na primeira equação, podemos determinar o 
valor de x, pois já possuímos os valores de y e z. 
 
Para obter o sistema escalonado, seguimos os seguintes passos: 
➢ Colocamos como a 1ª equação aquela que contém a 1ª incógnita. 
➢ Anulamos a 1ª incógnita em todas as equações (exceto na 1ª) usando a 1ª 
equação. 
➢ Anulamos a 2ª incógnita em todas as equações (exceto na 1ª e na 2ª) usando 
a 2ª equação. 
➢ Anulamos a 3ª incógnita em todas as equações (exceto na 1ª, na 2ª e na 3ª) 
usando a 3ª equação. 
➢ E assim sucessivamente, até que tenhamos utilizado todas as equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
Introdução Às Matrizes 
 
A concepção fundamental de uma matriz é expressar uma tabela de forma mais 
formal, utilizando uma "linguagem matemática". Para entender melhor, vamos 
considerar que um aluno resolveu organizar em uma tabela a quantidade de questões 
das provas de um concurso. 
Dessa forma, vamos imaginar que na tabela o aluno alocou os assuntos em cada 
linha e as provas separadas por anos nas colunas. 
 
Questões/Ano 2013 2014 2015 
Assunto 1 7 10 5 
Assunto 2 13 17 5 
Assunto 3 1 3 1 
 
Este aluno na aula de Matrizes, resolveu transformar sua tabela em linguagem 
matemática, transformando-a em uma matriz. Dessa forma, ele apenas precisou 
selecionar a área destacada em vermelho e colocar na linguagem matemática. Observe 
como ficou. 
[
7 10 5
13 17 5
1 3 1
] 
 
Podemos representar uma matriz tanto com colchetes "[ ]" quanto com 
parênteses "( )". Assim, a matriz em questão também pode ser expressa da seguinte 
forma: 
 
(
7 10 5
13 17 5
1 3 1
) 
 
Dimensão De Uma Matriz 
 
Podemos afirmar que uma matriz de dimensão 𝑚 × 𝑛 (lê-se: matriz de dimensão 
m por n) é uma matriz composta por elementos (ou entradas) distribuídos em m linhas 
e n colunas. No exemplo acima, temos uma matriz com 3 linhas e 3 colunas, logo, 
temos uma matriz 3×3. Observe outros tipos de matrizes. 
 
[1 0]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 × 2
 ; 
[
5
3
]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 × 1
 ; 
[1 2 3]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 × 3
 ; 
[
2 4 6
8 10 12
]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 × 3
 ; 
[
1 0
0 1
1 0
]
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 × 2
 
 
 
 
47 
 
 
Elementos De Uma Matriz 
 
Cada elemento de uma matriz ocupa uma posição específica dentro dela, 
determinada pela linha e pela coluna do elemento. 
 
 
Genericamente, o elemento de uma matriz é representado por aij, onde i 
representa a linha do elemento, e j representa a coluna. 
 
Representação De Uma Matriz Pela Lei De Formação 
 
Podemos expressar uma matriz por meio de uma fórmula específica, onde cada 
elemento é calculado conforme a lei de formação apresentada. Um exemplo seria: 
 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)
3×3
, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 
 
A matriz é 3x3, então, escrevemos a matriz com os elementos. 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22