25 Geometria Plana

Prévia do material em texto

GEOMETRIA PLANA 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma home-
nagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
horizontal 
vertical 
inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento de Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado 
de vértice do ângulo. São classificados em: 
ângulo reto (Â = 90º) 
ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a super-
fície da figura, maior será sua área. 
Perímetro 
GEOMETRIA PLANA 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Figuras Da Geometria Plana 
Triângulo 
 
Matemática › Geometria 
Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma home-
nagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
horizontal 
vertical 
inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento De Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
GEOMETRIA PLANA 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado 
de vértice do ângulo. São classificados em: 
ângulo reto (Â = 90º) 
ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a super-
fície da figura, maior será sua área. 
Perímetro 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por 
três segmentos de reta. 
Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em: 
Triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°); 
Triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes; 
Triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes. 
No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em: 
triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°; 
triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo ob-
tuso interno, maior que 90°; 
triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°. 
Quadrado 
 
Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que pos-
suem os quatro ângulos congruentes: retos (90°). 
Retângulo 
GEOMETRIA PLANA 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, 
no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°). 
Círculo 
 
Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do 
círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade. 
Trapézio 
 
Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapé-
zio é uma figura geométrica plana. 
Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em: 
Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º; 
Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida; 
Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 
Losango 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o 
retângulo, é considerado um paralelogramo. 
Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e 
paralelos. 
Geometria Espacial 
A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda as figuras que possuem mais de duas di-
mensões. 
Assim, o que a difere da geometria plana (que apresenta objetos bidimensionais) é o volume que essas 
figuras apresentam, ocupando um lugar no espaço. 
Polígonos 
Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma 
sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer 
um desses segmentos é comum a apenas um outro. 
Eles podem ser côncavos ou convexos. Dados dois pontos A e B, interiores ao polígono, ele será 
convexo se, e somente se, o segmento de reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ estiver contido inteiramente no polígono. 
Caso contrário, ele será côncavo. 
Polígono Convexo. 
A reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ está inteiramente contida no polígono. 
 
Polígono côncavo ou não convexo. 
A reta CD¯¯¯¯¯¯¯¯ não está inteiramente contida no polígono. 
 
Polígonos Simples 
Dizemos que um polígono é simples quando quaisquer dois lados não consecutivos não se interceptam. 
Quando o polígono não é simples, dizemos que ele é complexo. 
GEOMETRIA PLANA 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
 
Os polígonos A1A2A3A4A5 e B1B2B3B4B5 são polígonos simples. 
 
 
Os polígonos C1C2C3C4C5 e D1D2D3D4D5 são polígonos complexos. 
Polígonos Regulares E Irregulares 
Um polígono que possui os lados congruentes é chamado de equilátero. Quando possui os ângulos 
congruentes, é chamado de equiângulo. 
 
Um polígono convexo é regular se for equilátero e equiângulo, ou seja, quando seus lados são todos 
iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais. 
NomeDos Polígonos 
Podemos dar nomes aos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui. Abaixo, uma 
tabela apresentando o nome de cada polígono considerando seus lados. 
# de Lados Nome 
3 Triângulo ou trilátero 
4 Quadrângulo ou quadrilátero 
GEOMETRIA PLANA 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Hendecágono ou Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
n n-látero 
 
Geralmente, para polígonos com lados maiores que 20, nos referimos a ele apenas explicitando o seu 
número de lados. Por exemplo, um polígono de 27 lados. 
Círculo E Circunferência 
que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a 
distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto 
pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da seguinte 
maneira: 
dAC = r 
Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as coorde-
nadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira: 
dAC = r 
√[(a – x)2 + (b – y)2] = r 
(a – x)2 + (b – y)2 = r2 
Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C (a,b) e 
raio r. 
O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura geo-
métrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte: 
 
Circunferência de centro C e raio r 
O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, 
por sua vez, pertence à circunferência. 
Definição de Círculo 
O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira: 
GEOMETRIA PLANA 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos internos. 
Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência. 
 
Círculo: área colorida 
Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é pratica-
mente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um conjunto 
de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação: 
dAC ≤ r 
√[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r 
(a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2 
Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área 
interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo. 
Propriedades Básicas Do Círculo E Da Circunferência 
O ponto C, centro da circunferência, não pertence a ela, mas pertence ao círculo. Dessa maneira, dado 
um ponto A qualquer (lembrando que dAC é a distância entre A e C), as posições relativas entre A e 
uma circunferência são: 
1 – A é ponto da circunferência, se dAC = r; 
2 – A é ponto externo à circunferência, se dAC > r; 
3 – A é ponto interno à circunferência, se dAC < r; 
As posições relativas entre A e o círculo são: 
1 – A é ponto do círculo, se dAC ≤ r 
2 – A é ponto externo ao círculo, se dAC > r 
Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. 
Quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Desse 
modo, o diâmetro tem o comprimento igual ao comprimento de dois raios e, além disso, é a maior corda 
encontrada em qualquer circunferência. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Circunferência contendo um exemplo de corda e um exemplo de diâmetro 
Dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu raio, o número encontrado 
sempre será, aproximadamente, 6,28. Dessa maneira, pode-se escrever a seguinte relação: 
C = 6,28 
r 
Dividindo ambos os membros por 2, obtemos o seguinte resultado: 
C = 3,14 
2r 
Esse resultado é o mesmo da divisão anterior, mas realizado com o diâmetro da circunferência no lugar 
do raio. Dessa maneira, é possível encontrar o comprimento de uma circunferência tendo em mãos 
apenas o comprimento de seu raio (ou diâmetro). Assim, é possível definir a fórmula para o compri-
mento da circunferência: 
C = 2πr, em que π é aproximadamente 3,14 
O mesmo se aplica ao cálculo do comprimento ou perímetro de um círculo. Contudo, não é possível 
calcular a área de uma circunferência. A área que é calculada, na realidade, é a área do círculo, e a 
fórmula utilizada para isso é a seguinte: 
A = π.r2 
Elementos Do Círculo E Da Circunferência 
 
O compasso é um objeto usado para desenhar círculos e circunferências 
Para um dado ponto C, chamado centro, uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que pos-
suem uma distância fixa até C. Essa distância geralmente é representada pela letra r. Os círculos, por 
sua vez, são compostos por todos os pontos de uma circunferência e por seus pontos interiores. A 
imagem a seguir ilustra uma circunferência e um círculo. 
 
Destacamos a seguir os elementos dessas duas figuras, que possuem grande importância para a Ge-
ometria: 
1 – Raio 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/elementos-circulo-e-circunferencia.htm
GEOMETRIA PLANA 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O raio é a distância entre um ponto de uma circunferência e seu centro. O raio do círculo é a distância 
entre a borda do círculo e seu centro. 
Dizemos que um ponto é interior a uma circunferência quando a sua distância até o centro é menor que 
o raio; o ponto é externo quando a distância entre o centro e ele é maior que o raio; e, por fim, dizemos 
que um ponto pertence a uma circunferência quando sua distância até o centro é igual ao raio. 
O raio da circunferência (e/ou do círculo) é indispensável em cálculos, como comprimento, área etc. 
 
O comprimento da circunferência é dado pela seguinte fórmula: 
C = 2πr 
E a área do círculo é obtida pela fórmula a seguir: 
A = πr2 
Em ambos os casos, r é o raio da circunferência (ou do círculo) e π é uma constante de aproximada-
mente 3,1415. 
2 – Cordas 
Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. Atenção: o 
centro não é ponto da circunferência! 
Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos de reta que 
ligam dois pontos distintos de sua borda. 
 
3 – Diâmetro 
O diâmetro é uma corda da circunferência que contém o centro. Dessa maneira, o diâmetro é a maior 
corda possível em uma circunferência e sua medida é igual a duas vezes o raio. 
d = 2·r 
GEOMETRIA PLANA 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O resultado da divisão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro sempre será igual 
a uma constante, representada pela letra grega π, que é aproximadamente 3,14. Isso independe do 
tamanho da circunferência, pois seu comprimento e seu diâmetro são proporcionais e a razão de pro-
porcionalidade é igual a π. 
4 – Comprimento 
O comprimento de uma circunferência é a medida da própria circunferência em alguma unidade de 
medida conhecida. Esse comprimento pode ser obtido pela fórmula: 
C = 2πr 
Nessa fórmula, π é uma constante (aproximadamente 3,14) e r é a medida do raio da circunferência. 
5 – Arco 
Considere os pontos A e B sobre uma circunferência. As duas partes formadas que vão de A até B são 
chamadas de arcos da circunferência, como demonstrado na figura a seguir: 
 
Em outras palavras, o arco é uma parte de uma circunferência limitada por dois pontos. 
6 – Setor Circular 
É o equivalente ao arco, porém para o círculo. Em dados dois raios distintos de um círculo, o setor cir-
cular é a parte limitada por eles. 
 
O setor circular é algo que se parece com uma fatia de pizza. A parte restante também é chamada de 
setor circular. 
7 – Ângulo Central 
GEOMETRIA PLANA 
 
12 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
É um ângulo cujo vértice está no centro de um círculo e os lados são seus raios. Um ângulo cen-
tral está ligado a um arcono círculo onde foi definido. A imagem seguinte mostra um exemplo de ângulo 
central. 
 
8 – Coroa Circular 
A coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos que possuem o mesmo centro (con-
cêntricos) de raios diferentes. Essa figura é a que mais se assemelha a um anel, como mostra a ima-
gem abaixo. 
 
Congruência De Figuras Geométricas 
Figuras congruentes são aquelas que possuem lados e ângulos correspondentes com medidas iguais. 
As medidas são iguais, mas os lados e ângulos não são. É como comparar paredes e ângulos de duas 
casas distintas. As medidas podem ser iguais, mas isso não quer dizer que as paredes da primeira 
casa sejam iguais às paredes da segunda. Imagine que a primeira casa é verde e a segunda é branca! 
Do mesmo modo, não é possível afirmar que duas figuras congruentes são iguais. A igualdade entre 
elas é apenas entre as medidas de seus lados e de seus ângulos. Por isso, dizer que duas figuras são 
iguais significa dizer que a primeira figura é exatamente igual à segunda figura. Afirmar que duas figuras 
são congruentes é equivalente a dizer que a primeira figura possui medidas de ângulos e lados corres-
pondentes de igual valor. 
 
As duas figuras acima são congruentes por serem polígonos regulares de lado 1 cm e por possuírem 
todos os ângulos iguais a 120 graus, entretanto, a imagem seguinte torna a correspondência entre 
lados e ângulos mais óbvia. 
GEOMETRIA PLANA 
 
13 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Imagine que o pentágono da direita é uma versão do pentágono da esquerda de cabeça para baixo. 
Observe que: 
1- O lado AB é correspondente ao lado FG e que AB = FG = 2 cm. 
2- O lado BC é correspondente ao lado GH e BC = GH = 1,41 cm. 
3- Seguindo esse raciocínio, podemos escrever outros pares de lados congruentes: CD = IH, DE = IJ e 
EA = JF. 
Com relação aos ângulos, observe que os ângulos correspondentes seguem o mesmo padrão dos 
lados. Por exemplo, o ângulo “a”, localizado no vértice A, é de 135 graus e é correspondente ao ângulo 
“f”, localizado no vértice F. Representando os ângulos pelos vértices correspondentes em letras minús-
culas, teremos as correspondências: a = f, b = g, c = h, d = i, e = j. 
Existem figuras congruentes cujas medidas correspondentes não são tão óbvias. Repare na figura a 
seguir: 
 
Observe que os ângulos correspondentes agora ocupam posições não tão óbvias quanto anterior-
mente. Observe as relações de congruência: a = i, d = j, c = k e b = l. 
As relações de congruência entre os lados agora são as seguintes: AB = IL, BC = LK, CD = KJ e DA = 
IJ. 
Portanto, duas figuras geométricas são congruentes quando as medidas de seus lados corresponden-
tes são congruentes e, além disso, quando as medidas dos ângulos correspondentes são congruentes. 
Congruência E Semelhança De Triângulos 
Temos que dois triângulos são congruentes: 
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. 
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. 
 
Casos de congruência: 
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
14 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo 
oposto ao lado. 
 
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas 
sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. 
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. 
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. 
Relações Métricas No Triângulo Retângulo 
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com 
um ângulo de 90º). 
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo: 
 
Sendo: 
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) 
b: cateto 
c: cateto 
h: altura relativa à hipotenusa 
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa 
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa 
Semelhança E Relações Métricas 
GEOMETRIA PLANA 
 
15 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos 
semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens: 
 
 
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes ( ), temos as seguintes proporções: 
Usando que encontramos a pro-
porção: 
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção: 
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja: 
Teorema de Pitágoras 
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema 
usando a soma de duas relações encontradas anteriormente. 
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo: 
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos: 
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como: 
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
Exemplos 
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo: 
GEOMETRIA PLANA 
 
16 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y. 
Usando a relação: a = m + n 
y = 9 + 3 
y = 12 
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim: 
x2 = 12 . 3 = 36 
 
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções 
mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. 
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n 
 
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n 
a = 16 + 9 = 25 
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m 
 
Fórmulas 
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
17 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Relações Métricas Nos Polígonos Regulares 
Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência 
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que: 
• o polígono está inscrito na circunferência; 
• a circunferência está circunscrita ao polígono. 
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que: 
• o polígono está circunscrito à circunferência; 
• a circunferência está inscrita no polígono 
 
2. Polígonos regulares 
Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equi-
látero quando possui todos os lados congruentes. 
Exemplos: 
 
a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes. Logo, o retângulo é equiângulo. 
 
Propriedade Dos Polígonos Regulares 
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas 
formam um polígono regular inscrito na circunferência. 
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos 
consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência. 
Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou 
dividida em quatro arcos congruentes. 
 
As cordas consecutivas formam um quadrado inscrito na circunferência. 
GEOMETRIA PLANA 
 
18 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
 
As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência. 
 
Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa 
por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados. 
• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. 
•Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. 
 
 
Elementos De Um Polígono Regular 
Se um polígono é regular, consideramos:•Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). 
•Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC). 
• Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus 
lados (OM) 
•Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do 
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm 
dois raios consecutivos (CÔD) 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
19 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Relações Métricas No Círculo 
Conceitos básicos: 
Uma CORDA é todo segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. 
Uma reta que tenha um único ponto em comum com uma circunferência é uma reta TANGENTE a essa 
circunferência. 
Uma reta que tenha dois pontos em comum com uma circunferência é uma SECANTE a essa circun-
ferência. 
 
Relações Métricas No Círculo 
A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, se-
cantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas. 
Cruzamento Entre Duas Cordas 
O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre 
as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da 
outra corda. Observe: 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
20 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
21 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Confira A Aula Selecionada Para Ampliar Os Seus Estudos. 
 
Relações Métricas Na Circunferência: Relação Entre Cordas 
Relações métricas são propriedades que possibilitam o cálculo de medidas de comprimento de algu-
mas figuras geométricas e de seus elementos. Assim, a partir da relação entre cordas de uma circun-
ferência, é possível encontrar algumas medidas do comprimento dessas cordas por meio de uma pro-
priedade bem definida com cálculo simples. 
Para facilitar a compreensão dos cálculos, relembraremos, primeiro, as definições básicas de circunfe-
rência e corda. 
Definição De Circunferência E De Corda 
Para dado ponto O, chamado centro, a circunferência de raio r é o conjunto de pontos cuja distância até 
o ponto O é igual a r. Um de seus elementos é a corda, definida como segmento de reta que liga dois 
GEOMETRIA PLANA 
 
22 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
pontos pertencentes a uma circunferência. Assim, um diâmetro fica definido como a maior corda que 
uma circunferência possui, ou como a corda que passa pelo centro dela. 
 
Cordas no interior de uma circunferência 
Relação Entre Cordas 
Na imagem a seguir, observe a circunferência c, de raio r e centro O. Nessa figura, construímos duas 
cordas, o segmento AB e o segmento CD, que se encontram no ponto P. 
 
Nessas circunstâncias, os segmentos formados pelas cordas são proporcionais conforme a igualdade: 
AP = CP 
DP BP 
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
AP·BP = CP·DP 
Essas igualdades podem ser usadas para encontrar a medida de um dos quatro segmentos de reta 
definidos pelas cordas da circunferência quando as medidas dos outros três são conhecidas. 
Exemplo: Determine o valor de x na imagem abaixo: 
 
Solução: Basta usar uma das igualdades dadas acima para descobrir o valor de x. 
AP·BP = CP·DP 
8·3 = x·4 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
GEOMETRIA PLANA 
 
23 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
24 = x 
4 
x = 6 
Demonstração Da Proporcionalidade Das Cordas 
Dada a circunferência c, cortada pelas cordas AB e CD que se cruzam no ponto P, temos a formação 
de alguns ângulos, como mostra a seguinte imagem: 
 
Observe que construímos também os segmentos AC e BD para formar dois triângulos dentro da cir-
cunferência: ACP e BDP. Os ângulos formados no ponto P em destaque na figura são opostos pelo 
vértice, por isso, suas medidas são iguais. 
Os ângulos α e β também são congruentes. Isso acontece porque eles são ângulos inscritos da circun-
ferência e relacionam-se ao mesmo arco. 
Como os dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então, essas figuras são semelhantes 
pelo caso de semelhança ângulo-ângulo. É por esse motivo que os lados desses triângulos são pro-
porcionais. 
Área De Polígonos Regulares 
são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de 
pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses 
segmentos é comum a apenas um outro. 
Um polígono convexo é regular quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e 
seus ângulos internos também são iguais. 
Na geometria plana, existem diferentes tipos de polígonos e, para muitos deles, há uma fórmula mate-
mática para se calcular sua área. 
Área De Um Triângulo Regular 
 
Um triângulo regular é também chamado de triângulo equilátero. Obtemos a sua área através da se-
guinte fórmula matemática: A=a23√4. 
Onde a é a medida do lado do triângulo. Obtemos essa fórmula da seguinte maneira: 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
GEOMETRIA PLANA 
 
24 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Considere o triângulo regular ABC, de lado a: 
 
Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados, ABD e aplicar o Teorema 
de Pitágoras. 
a2=h2+(a2)2 
a2=h2+a24 
h2=a2−a24 
h2=3a24 
h=3a24−−−√ 
h=a3√2 
Agora, como a área de um triângulo qualquer é: A=b⋅h2, teremos: 
A=a⋅(a3√2)2=a33√2⋅12=a33√4 
Assim, em todo triângulo regular encontramos a sua área utilizando a fórmula A=a33√4. 
Área De Um Quadrado 
Um quadrado, por si só, já é regular pois, por definição, é um quadrilátero cujos lados são sempre 
iguais. 
Calculamos a sua área multiplicando a sua base pela sua altura: 
A=b⋅h 
Área De Um Hexágono Regular 
Vamos considerar um hexágono regular de lado L e apótema a. 
 
O hexágono é o único polígono regular onde todos os seus 6 triângulos são também regulares (equilá-
teros). 
GEOMETRIA PLANA 
 
25 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Assim, para calcular a área de um dos triângulos basta utilizar a fórmula: A=a23√4. 
Como temos 6 triângulos que formam o hexágono, a sua área será, então: 
A=6⋅a23√4=3⋅a23√2 
A=3a23√2 
Fórmula Geral Para Cálculo Da Área De Qualquer Polígono Regular 
Existe uma fórmula que nos dá a área de qualquer polígono regular. A fórmula é a seguinte: 
A=n⋅L⋅a2 
Onde n é a quantidade de lados do polígono, L é a medida do lado desse polígono e a é a medida do 
apótema, quase sempre dado. 
Para chegarmos à fórmula, vamos considerar o hexágono abaixo e suponhamos que não sabemos da 
existência de uma fórmula específica pra ele (como vimos anteriormente). 
 
Um hexágono é um polígono regular de 6 lados. Podemos dividir esse polígono em 6 triângulos idênti-
cos. Assim, para determinar a área desse hexágono, basta determinar a área de um dos triângulos e, 
em seguida, multiplicar o resultado por 6. 
A área de um triângulo qualquer é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura e dividindo 
esse resultado pela metade, ou seja, A=b⋅h2. 
No caso desse hexágono, a base do triângulo em destaque será L e a altura será a, que é o apótema 
do hexágono. 
O apótema é a medida do segmento que parte do centro do polígono e forma ângulo de 90° com um 
de seus lados. Nesse caso, o apótema a desse polígono tem a mesma medida que a altura do triângulo 
em destaque. 
Assim, a área será: A=L⋅a2. 
Como o hexágono é composto por 6 triângulos iguais ao destacado, para encontrar a área do hexá-
gono, devemos multiplicar a área do triângulo por 6: A=6⋅L⋅a2. 
Veja que, se fosse um polígono de 5 lados, teríamos 5 triângulos e, por isso, multiplicaríamos a área 
do triângulo por 5. O mesmo aconteceria com um polígono regular de 10 lados: teríamos 10 triângulos 
e a área seria multiplicadapor 10. 
Considerando, então, um polígono de n lados, teríamos n triângulos iguais e a área deveria ser multi-
plicada por n. Assim, A=n⋅L⋅a2. 
Observe que, ajeitando a fórmula para A=n⋅L⋅a2, temos que n⋅L é, na verdade, o perímetro do polí-
gono. Como o perímetro é a soma de todos os lados e temos n lados iguais a L, o perímetro será P=n⋅L. 
Assim, também podemos expressar essa fórmula como: 
A=P⋅a2 
GEOMETRIA PLANA 
 
26 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Se a medida do apótema não for dada, teremos que o encontrá-la. 
Apótema 
Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado 
mede 3 cm. 
 
360o6=60o 
60o2=30o 
Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 
360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°. 
O apótema sempre divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida, no nosso caso, 30°. 
Agora, podemos usar algumas relações trigonométricas para encontrar o valor do apótema: 
tg(30o)=cateto opostocateto adjacente 
tg(30o)=L2a 
a⋅tg(30o)=L2 
a=L2⋅tg(30o) 
a=32⋅3√3=3⋅32⋅3√=92⋅3√ 
a=923√⋅sqrt33√=93√2⋅3=33√2 
Generalizando para o caso onde temos um polígono de lado n lados de medida L: 
O ângulo do apótema será dado por 360on. Como temos que dividir esse ângulo por 2, teremos: 
360on2=360on⋅12=180on. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
27 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Aplicando trigonometria para encontrar o apótema: 
tg(180on)=L2a 
a⋅tg(180on)=L2 
a=L2⋅tg(180on) 
Com essa fórmula do valor do apótema, a nossa fórmula A=n⋅L⋅a2 pode ser escrita como: 
A=n⋅L⋅(L2⋅tg(180on))2=n⋅L⋅L2⋅tg(180on)2=nL22tg(180on)⋅12 
A=nL24tg(180on) 
Essa é a fórmula geral para se calcular a área de qualquer polígono regular. 
Exemplos 
1. Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm? 
Aplicando a fórmula obtida teremos: 
A=nL24tg(180on) 
A=12⋅424tg(180o12) 
A=12⋅164tg(15o) 
A=1924⋅(2−3√) 
A=482−3√ 
A=179,13cm2 
2. Qual a área de um polígono regular de 4 lados, que tem 6 como medida de cada lado? 
Temos um quadrado de lado 6, cuja área pode ser calculada por: 
A=L2=62=36cm2 
Mas vamos calcular utilizando a fórmula obtida anteriormente: 
A=nL24tg(180on) 
A=4⋅624tg(180o4) 
A=4⋅364tg(45o) 
A=361=36cm2 
Cálculo Do Perímetro E Área De Polígonos 
Superfícies como uma mesa e sólidos geométricos como o dado, estão presentes no espaço que nos 
cerca. Realizar a medição dessas regiões pode ser necessário, para isso utilizamos o cálculo do perí-
metro e da área. 
Perímetro 
Definimos perímetro como sendo a soma das medidas dos lados de um polígono. Considere polígono 
como sendo uma figura fechada plana constituída por segmento de reta. Veja um exemplo: 
Calcule o perímetro do polígono: 
GEOMETRIA PLANA 
 
28 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Pontos: A, B, C, D, E, F, G 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA. 
Perímetro do polígono ABCDEFG: 
P = 5 cm + 8 cm + 6 cm + 7 cm + 10 cm + 8 cm + 8 cm 
P = 52 cm 
Área De Polígonos 
Utilizamos o cálculo de área para dimensionar as superfícies planas. Para cado polígono é utilizado 
uma fórmula, a unidade de medida resultante do cálculo da área é sempre elevada ao quadrado. As 
figuras geométricas planas que apresentam fórmula definida para o cálculo de área são: Retângulo, 
quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losangolo e círculo. Observe como calculamos a área do: 
retângulo, quadrado, paralelogramo e triângulo: 
Retângulo 
Área do retângulo = medida da base x medida da altura 
Ar=b⋅h 
Exemplo: 
 
Elementos do retângulo: 
Pontos: A, B, C, D 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA 
Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD 
Obs. Segmentos paralelos são congruentes, possuindo a mesma medida 
Base do retângulo: BD = 10 cm 
Altura do retângulo: CD = 5 cm 
Área do retângulo = medida da base x medida da altura 
Ar=b⋅h 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/03/perimetro-poligonos.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/03/perimetro.jpg
GEOMETRIA PLANA 
 
29 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Ar=10cm⋅5cm 
Ar=50cm2 
Quadrado 
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado 
Aq=l⋅l 
Aq=l2 
Exemplo 
 
Elementos do quadrado 
Pontos: A, B, C, B 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA 
Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD 
Lados do quadrado: AB = 5 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm, CA = 5 cm 
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado 
Aq=l⋅l 
Aq=l2 
Aq=(5cm)2 
Aq=25cm2 
Paralelogramo 
Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura 
Ap=b⋅h 
Exemplo 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
30 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Elementos do paralelogramo 
Pontos: B, C, D, E, F 
Segmentos paralelos: BC\\DE e CD\\BE 
Base do paralelogramo: BE = 6 cm 
Altura do paralelogramo: EF = 7 cm 
Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura 
Ap=b⋅h 
Ap=6cm⋅7cm 
Ap=42cm2 
Triângulo 
Área do triângulo = base⋅altura2 
At=b⋅h2 
Exemplo 
 
Elementos do triângulo 
Pontos: A, B, C, D 
Base do triângulo: BC = 8 cm 
Altura do triângulo: AD = 5 cm 
Área do triângulo = At=b⋅h2 
At=8cm⋅5cm2 
At=40cm22 
At=20cm2 
Área do Polígono Regular 
Polígonos regulares são aqueles que possuem lados e ângulos internos congruentes. Para calcular a 
área desse tipo de polígono, é possível usar uma fórmula que relaciona a medida de seu apótema e 
lado com a medida da área. A demonstração dessa fórmula é uma alternativa para esse cálculo, uma 
vez que se pode obter também a área de um polígonoregular qualquer por meio dela. 
A seguir, demonstraremos a fórmula para calcular a área do polígono regular e apresentaremos um 
exemplo resolvido desse cálculo. 
Área Do Polígono Regular 
GEOMETRIA PLANA 
 
31 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A área de um polígono regular pode ser obtida pela seguinte fórmula: 
A = P·a 
 2 
Na qual, A é a área do polígono, P é o perímetro e a é o apótema desse polígono. Se essa fórmula for 
reorganizada, podemos dizer que a área do polígono regular é igual à metade do perímetro – também 
chamada semiperímetro – multiplicada pelo apótema. Assim, essa fórmula pode ser interpretada da 
seguinte maneira: 
A área do polígono regular é igual ao produto do semiperímetro 
desse polígono pela medida de seu apótema. 
Demonstração Da Fórmula 
Dado um polígono regular de lado l e que possui n lados, encontre seu centro P e construa os segmen-
tos que ligam cada um de seus vértices a esse ponto. Para tanto, basta construir as mediatrizes de dois 
lados quaisquer. Essas retas encontrar-se-ão no centro do polígono. 
A imagem a seguir representa uma parte de um polígono que possui n lados e que cada um desses 
lados tem medida representada pela letra l. 
 
Nesse polígono, foram formados n triângulos e todos eles são isósceles e congruentes. Para ter certeza 
disso, basta construir a circunferência que circunscreve esse polígonoe notar que todos os segmentos 
construídos são raios dela e, por isso, possuem a mesma medida. Além disso, todos os ângulos cen-
trais formados são congruentes e medem 360°/n. 
Como os triângulos são congruentes, para calcular a área do polígono, basta calcular a área de um dos 
triângulos e multiplicar esse resultado por n, que é tanto o número de lados do polígono como o número 
de triângulos obtidos. Portanto, calcularemos a área do triângulo ABP. 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/area-poligono-regular.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/area-poligono-regular.htm
GEOMETRIA PLANA 
 
32 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono ao ponto médio de um de seus 
lados. Como o triângulo ABP é isósceles, o apótema também é altura e bissetriz nesse triângulo. Sendo 
assim, base e altura desse triângulo já são conhecidos: respectivamente, lado do polígono e apótema 
do triângulo. 
A área do triângulo ABP, portanto, é: 
At = l·a 
 2 
E, como dito anteriormente, a área do polígono é igual a n vezes a área dotriângulo ABP: 
A = n·At = n·l·a 
 2 
Note apenas que o número de lados multiplicado pelo comprimento dos lados é igual ao perímetro P 
do polígono. Assim, podemos substituir n·l por P: 
A = P·a 
 2 
Exemplo: 
Um eneágono regular tem lado igual a 6 centímetros. Qual a medida de sua área? 
Solução: O perímetro desse polígono é igual a 6·9 = 54 cm. Em seguida, será necessário encontrar a 
medida do apótema desse polígono. Para isso, faremos a mesma construção anterior em um eneá-
gono: 
 
Construindo o apótema que divide o lado AB em duas partes iguais e que também é altura e bissetriz, 
teremos o triângulo retângulo OKB. Observe que o ângulo AÔB é igual a 360°/9, pois o eneágono 
é regular. 
360° = 40° 
9 
Observe também que o apótema é bissetriz desse ângulo. Assim, β = 20°. Para descobrir o compri-
mento do apótema a, basta calcular a tangente de β nesse triângulo. 
tg β = 3 
 a 
GEOMETRIA PLANA 
 
33 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
tg 20° = 3 
 a 
No texto Tabelas de razões trigonométricas, há uma aproximação de tg 20° = 0,364. Substituindo esse 
valor na fórmula, teremos: 
0,364 = 3 
 a 
a = 3 
 0,364 
a = 8,24 cm, aproximadamente. 
Usando a fórmula para área do polígono regular, teremos: 
A = P·a 
 2 
A = 54·8,24 
 2 
A = 444,96 
 2 
A = 222,48 cm2 
Observe que o maior trabalho desse exercício foi encontrar a medida do apótema. Caso essa medida 
fosse dada, todo o cálculo deveria resumir-se a essa última parte. 
Áreas Das Figuras Planas – Geometria Básica 
Área ou superfície de uma figura plana tem a ver com o conceito (primitivo) de sua extensão (bidimen-
sional). 
Usamos a área do quadrado de lado unitário como referência de unidade de área, chamando de metro 
quadrado (m²) sua unidade de medida principal. 
Área do Quadrado 
 
Área do Retângulo 
 
Área do Paralelogramo 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
34 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Área do Losango 
 
Área do Trapézio 
 
Triângulos Quaisquer 
 
Triângulo Retângulo 
 
Triângulo Equilátero 
 
Fórmula de Heron 
GEOMETRIA PLANA 
 
35 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Área do Círculo 
 
Área da Coroa Circular 
 
Área Setor Circular 
 
Área Segmento Circular 
 
 
Dica! Muitos exercícios de áreas cobram conhecimen-tos de tópicos anteriores, principalmente rela-
ções métricas e semelhança; portanto fique atento. 
Área do Setor Circular 
A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * 
r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas 
GEOMETRIA PLANA 
 
36 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são 
determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcu-
laremos a área de um segmento circular. 
Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo 
da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com 
a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe: 
360º ------------- π * r² 
θº ------------------ x 
Onde: 
π = 3,14 
r = raio do círculo 
θº = medida do ângulo central 
x = área do arco 
Exemplo 1 
Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m. 
Resolução: 
 
360º ------------- π * r² 
32º ------------------ x 
 
360x = 32 * π * r² 
x = 32 * π * r² / 360 
x = 32 * 3,14 * 2² / 360 
x = 32 * 3,14 * 4 / 360 
x = 401,92 / 360 
x = 1,12 
 
A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m². 
 
Exemplo 2 
 
Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 
metros. 
 
360º ------------- π * r² 
120º ------------------ x 
 
 
360x = 120 * π * r² 
x = 120 * π * r² / 360 
x = 120 * 3,14 * 12² / 360 
x = 120 * 3,14 * 144 / 360 
x = 54259,2 / 360 
x = 150,7 
 
A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m². 
Área da Coroa do Círculo 
Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. 
Nesse caso elas podem ter raio de tamanhos diferentes. Observe: 
GEOMETRIA PLANA 
 
37 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a 
diferença entre as áreas é denominada coroa circular. Observe: 
 
A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais 
das duas circunferências, isto é, área do círculo maior menos a área do círculo menor. 
Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor 
Área da coroa = (π * R²) – (π * r²) 
Área da coroa = π * (R² – r²) 
Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por 
seu valor aproximado, 3,14. 
Exemplo 1 
Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual 
a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros. 
 
 
A = π * (R² – r²) 
A = π * (10² – 8²) 
A = π * (100 – 64) 
A = π * 36 
A = 36π m² 
ou 
A = 36 * 3,14 
A = 113,04 m² 
Exemplo 2 
Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área 
total da pastagem possui raio de 50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima 
do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do cavalo. 
GEOMETRIA PLANA 
 
38 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
A = π * (50² – 20²) 
A = π * (2500 – 400) 
A = π * (2100) 
A = π * 2100 
A = 2100π m² 
ou 
A = 2100 * 3,14 
A = 6594 cm² 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________