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Séries - Profa. Rosely Pestana
1
SÉRIES
Considere a seguinte “soma maluca”:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 
Qual é o valor de S?
Seria possível encontrar um valor para as 
expressão 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ?
E para ?1 1 1 1 11 ... ...
2 3 4 5 n
+ + + + + + +
DEFINIÇÃO 1. Dada uma seqüência {an}, 
chamamos de série infinita ou, simplesmente,
série uma expressão da forma
a1 + a2 + a3 + + an + 
que é representada simbolicamente por
Os números a1, a2, a3, sãs os termos da série.
∑∑
∞
=
n
1n
n a ou a
Considere a seguinte série 
Vamos considerar o valor da soma tomando um 
termo, dois termos, três termos, etc. Cada soma 
dessa é chamada soma parcial
n
1 1 1 1 1
... ...
2 4 8 16 2
+ + + + + +
1
1
s 0,5
2
= =
2
1 1 3
s 0,75
2 4 4
= + = =
3
1 1 1 7
s 0,875
2 4 8 8
= + + = =
4
1 1 1 1 15
s 0,9375
2 4 8 16 16
= + + + = =
5
1 1 1 1 1 31
s 0,96875
2 4 8 16 32 32
= + + + + = =
6
1 1 1 1 1 1 63
s 0,984375
2 4 8 16 32 64 64
= + + + + + = =
n n n
1 1 1 1 1 1 1 1
s ... 1
2 4 8 16 32 64 2 2
= + + + + + + + = −
Observe que essas somas parciais se tornam cada 
vez mais próximas de 1. De fato, adicionando um 
número suficiente de termos da série, podemos 
fazer as somas parciais se tornarem tão próximas 
de 1 quanto desejarmos. Assim, parece razoável 
escrevermos
n n
n 1
1 1 1 1 1 1
... ... 1
2 4 8 162 2
∞
=
= + + + + + + =∑
De modo geral, dada uma série
a1 + a2 + a3 + a4 + + an + 
chamamos de somas parciais às seguintes somas
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
 
sn = a1 + a2 + a3 + a4 + + an = ∑
=
n
1i
ia
Séries - Profa. Rosely Pestana
2
Essas somas parciais formam uma nova seqüência 
{sn} que é chamada seqüência das somas 
parciais. Quando n cresce, as somas parciais 
incluem mais e mais termos da série. Logo, se 
quando n → +∞, a soma sn tender a um valor finito, 
então podemos tomar este limite como sendo a 
soma de todos os termos da série.
DEFINIÇÃO 2. Seja uma série e considere 
{sn} sua seqüência de somas parciais. Dizemos que 
a série converge (ou é convergente), se a
seqüência das somas parciais converge, isto é, se
, com S < ∞. O número S é chamado
soma da série. Escrevemos .
Caso contrário, dizemos que a série diverge (ou é
divergente) e, portanto, não tem soma.
n
n 1
a
∞
=
∑
n
n 1
a
∞
=
∑
n
 n
lim s S
→+∞
=
n
n 1
a S
∞
=
=∑
Exemplos:
( )n=1
1
a) 
n n+1
∞
∑
( ) ( )n=1
1
b) 
2n-1 2n 1
∞
+∑
CONVERGENTE
( )n=1
1
1
n n+1
∞
=∑
( ) ( )n=1
1 1
2n-1 2n+1 2
∞
=∑
CONVERGENTE
n=1
1
d) 
n
∞
∑
n=1
n
c) ln
n 1
∞
 
 + 
∑ DIVERGENTE
n
 n
lim s
→+∞
= +∞
n
 n
lim s
→+∞
= −∞
DIVERGENTE
n
n=1
e) a 1 1 1 1 1 ...
∞
= + − + − +∑
n
 n
não existe lim s
→+∞
DIVERGENTE
n 1 2 3 n 1
n 1
ar a ar ar ar ... ar ..., a 0
∞
− −
=
= + + + + + + ≠∑
f) SÉRIE GEOMÉTRICA
• Se |r| ≥ 1, isto é, r ≤ -1 ou r ≥ 1, então a série
diverge.
• Se |r| < 1, isto é, -1 < r < 1, então a série
converge e sua soma é igual a/(1 - r).
Verifique se as seguintes séries geométricas são
convergentes. Em caso afirmativo, determine sua
soma. 
f.1) 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + .
n 1
n=1
1
f.2) 3
2
−∞
 
 
 
∑
n 2
n=1
1
f.3) 
5
−∞
 
 
 
∑
n 1
n=1
f.4) 4
∞
−∑
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3
O conjunto de Cantor, em homenagem ao
matemático russo Georg Cantor (1845-1918), é
construído como a seguir. Começamos com um 
intervalo fechado [0,1] e removemos o intervalo
aberto ]1/3,2/3[. Isso nos leva a dois intervalos, 
[0,1/3] e [2/3,1]. Dividimos novamente cada
intervalo em três e removemos cada terço
intermediário aberto. Quatro invervalos
permanecem, e novamente repetimos o processo. 
Continuamos esse procedimento indefinidamente, 
em cada passo removendo o terço do meio de 
cada invertalo aberto que permanece do passo
anterior. O conjunto de Cantor consiste dos 
números que permanecem em [0,1] depois de 
todos os intervalos terem sido removidos.
a) Mostre que o comprimento total de todos os
intervalos que foram removidos é 1. Apesar disso, 
o conjunto de Cantor contém infinitos números. Dê
exemplos de alguns números no conjunto de 
Cantor.
b) O carpete de Sierpinski é o correspondente
bidimensional do conjunto de Cantor. Ele é
construído pela remoção do nono subquadrado
central de um quadrado da lado 1 dividido em nove
subquadrados. A etapa seguinte consiste em em
remover os subquadrados centrais dos oitos
subquadrados menores que permaneceram, e 
assim por diante. Mostre que a soma das áreas
dos quadrados removidos é 1. Isso implica que o 
carpete de Sierpinski tem área 0.
PROPRIEDADES
( ) ( )
∞ ∞
= =
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
± ± = ±
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
n n
n 1 n 1
n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1
i) Se as séries a e b convergem, então
a b converge e a b a b .
 
( ) ( )
∞
=
∞ ∞ ∞
= = =
=
∑
∑ ∑ ∑
n
n 1
n n n
n 1 n 1 n 1
ii) Se a série a converge e k é uma constante,
então ka converge e ka k a .
 
PROPRIEDADES
( )
∞ ∞
= =
≠∑ ∑n n
n 1 n 1
iv) Se a série a diverge e k 0, então ka
diverge.
 
( )
∞ ∞
= =
∞
=
±
∑ ∑
∑
n n
n 1 n 1
n n
n 1
iii) Se a converge e b diverge, então
a b diverge. 
v) Um número finito de termos não afeta a conver-
gência ou divergência de uma série.