Aula 2

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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
16 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Equac¸o˜es lineares
Sejam n varia´veis xi , i = 1, · · · , n. A equac¸a˜o linear que relaciona
essas varia´veis, na sua forma mais geral, e´:
n∑
i=1
aixi = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b ,
onde os a′i s sa˜o os coeficientes da equac¸a˜o.
Exemplos:
x + 2y + z = 10 ,
y =
1
2
z + 20x ,
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 8 ,
etc.
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Equac¸o˜es na˜o-lineares
Exemplos de equac¸o˜es que na˜o sa˜o lineares:
y =
√
x + z ,
y = x r + 6 , r 6= 1 ,
y =
1
x
+ 10 ,
y = 10x + 4 ,
y = xz + 10 ,
y = sin x .
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Soluc¸a˜o de equac¸o˜es lineares
Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
e´ um conjunto S = {s1, s2, · · · , sn} tal que
x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfaz a equac¸a˜o linear acima. O
conjunto S e´ chamado conjunto-soluc¸a˜o.
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Sistemas Lineares
Um conjunto finito de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x1 , · · · , xn e´
chamada de um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente
sistema linear.
Soluc¸a˜o do sistema: Um conjunto S = {s1, s2, · · · , sn} e´ uma
soluc¸a˜o do sistema se x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfizer o
nu´mero finito de equac¸o˜es lineares.
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Sistema linear arbitra´rio
Um sistema arbitra´rio de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas xi
(i = 1, · · · , n) e´ descrito por
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b1
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Em termos matriciais
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 .
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Matrizes Aumentadas
Outra forma de escrever o sistema de equac¸o˜es lineares
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b1
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
e´ atrave´s da ide´ia de matrizes aumentadas:
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 · · · amn bm
 .
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Operac¸o˜es com Equac¸o˜es Lineares/Matrizes Aumentadas
As seguintes operac¸o˜es com Equac¸o˜es Lineares/Matrizes
Aumentadas podem ser realizadas:
1. Multiplicar uma Equac¸a˜o/Linha inteira por uma constante
na˜o nula;
2. Trocar duas Equac¸o˜es/Linhas entre si;
3. Somar um mu´ltiplo de um Equac¸a˜o/Linha a uma outra
Equac¸a˜o/Linha
Exemplo:
(1) x + y + 2z = 9
(2) 2x + 4y − 3z = 1
(3) 3x + 6y − 5z = 0
 1 1 2 92 4 −3 1
3 6 −5 0

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Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.1 Livro texto
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Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.1 Livro texto
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Respostas Sec¸a˜o 1.1 Livro texto
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