Métodos Determinísticos I AP1 (2013.1) Gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1
Questa˜o 1 (1 ponto). Desenvolva e decida se a desigualdade abaixo e´ verdadeira ou falsa.
−
(−3
8
÷ −5
7
)
≥ 9
8
·
(
−5
6
)
Soluc¸a˜o:
Vamos desenvolver os dois lados da desigualdade para descobrir se ela e´ verdadeira
−
(−3
8
÷ −5
7
)
≥ 9
8
·
(
−5
6
)
−
(−3
8
× −7
5
)
≥ 3
8
·
(
−5
2
)
−21
40
≥ −15
16
−21× 16 ≥ −15× 40
21× 16 ≤ 15× 40
Logo a desigualdade e´ verdadeira.
Questa˜o 2 (2 pontos). Efetue as operac¸o˜es existentes na expressa˜o seguinte e obtenha o
resultado na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel.
(
25
15
− 7
42
)
÷ 16
12
+
3
16
1
textbfSoluc¸a˜o: (
25
15
− 7
42
)
÷ 16
12
+
3
16
=
(
5
3
− 1
6
)
× 12
16
+
3
16
=
(
10
6
− 1
6
)
× 12
16
+
3
16
=
9
6
× 12
16
+
3
16
=
9
1
× 1
8
+
3
16
=
9
8
+
3
16
=
18
16
+
3
16
=
21
16
Questa˜o 3 (2 pontos). Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique
sua resposta:
a) Premissas:Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado interna-
cional; Se os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as
nossas exportac¸o˜es; Em 2012 o do´lar na˜o caiu. Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o
ca´ıram em 2012.
Soluc¸a˜o: O argumento na˜o e´ va´lido. As premissas nos permitem concluir que se o do´lar
cair as exportac¸o˜es tambe´m caira˜o, mas as premissas na˜o nos fornecem as rec´ıprocas das
implicac¸o˜es, na˜o sendo poss´ıvel concluir que se o do´lar na˜o cai as exportac¸o˜es tambe´m
na˜o caem. Podemos ter do´lar subindo e exportac¸o˜es caindo sem violar nenhuma das
premissas.
b) Premissas:Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´s-
timos ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa
2
contraia d´ıvidas com empre´stimos. Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´
porque suas vendas na˜o ca´ıram.
Soluc¸a˜o: O argumento e´ va´lido. Se as vendas cairem a primeira premissa nos garante
que havera´ d´ıvidas ou demisso˜es. Contudo a segunda premissa nos garante que na˜o havera´
d´ıvidas. Logo, se as vendas cairem, necessariamente havera´ demisso˜es. O que equivale a
dizer que se a empresa na˜o demitir e´ porque as vendas na˜o ca´ıram (forma contrapositiva da
proposic¸a˜o anterior).
Questa˜o 4 (2 pontos). As ac¸o˜es da companhia ABC subiram 40% ao longo da segunda feira
e cairam 20% na terc¸a feira.
a) Apo´s estes movimentos, qual foi o percentual de aumento do valor da ac¸a˜o em relac¸a˜o
ao seu valor anterior a` alta de segunda-feira?
b) Qual deve ser a variac¸a˜o percentual na quarta feira para que a ac¸a˜o volte a ter o valor
que tinha antes da alta da segunda (isto e´, ela deve cair ou subir quantos porcento)?
Soluc¸a˜o:
a) Vamos chamar de V o valor inicial da ac¸a˜o. Apo´s a alta da segunda ela passa a valer
1, 4V e, apo´s a queda da terc¸a, passa a 0, 8× 1, 4V = 1, 12V . Logo apo´s esta movimentac¸a˜o
ela passou a valer 12% a mais que seu valor inicial.
b) Para que o valor volte ao valor inicial, temos que multiplicar 1, 12V por x tal que
x× 1, 12V = V . Logo, x = 1/1, 12 que e´ aproximadamente 0,9. Multiplicar o valor por 0,9
equivale a uma queda da ac¸a˜o em 10%. Logo, e´ preciso que a ac¸a˜o caia aproximadamente
10% para voltar a seu valor original.
Questa˜o 5 (3 pontos). Simplifique as expresso˜es a seguir, considerando que em cada item,
todos os denominadores sa˜o na˜o-nulos e a e b sa˜o reais positivos:
3
a)
x4 + y4 − 2x2y2
x2 + 2xy + y2
+ 2xy
b)
(a2b4)1/2
(27b3a6)1/3
c)
2a1/2
b2/3
× b
a−2/3
Soluc¸a˜o:
a)
x4 + y4 − 2x2y2
x2 + 2xy + y2
+ 2xy =
(x2 − y2)2
(x+ y)2
+ 2xy =
[(x− y)(x+ y)]2
(x+ y)2
+ 2xy =
= (x− y)2 + 2xy = x2 + y2 − 2xy + 2xy = x2 + y2
b)
(a2b4)1/2
(27b3a6)1/3
=
ab2
3ba2
=
b
3a
c)
2a1/2
b2/3
× b
a−2/3
= 2a1/2+2/3 × b1−2/3 = 2a7/6b1/3 = 2 6
√
a7
3
√
b
4