Aula_3

Prévia do material em texto

Física II
Oscilações
Otoniel da Cunha Mendes
Engenharias
Sample text here
Os slides desta aula foram adaptados
de:
1. Notas de aulas encontrados na
internet
2. Livros
3. Apostilas.
Objetivos de 
Aprendizagem
• Como descrever oscilações em termos da amplitude, 
período, freqüência e freqüência angular;
• Como fazer cálculos com Movimento Harmônico 
Simples (MHS), um tipo importante de oscilação;
• Como usar conceitos de energia para analisar MHS;
• Como Aplicar os conceitos de energia para analisar 
MHS a diferentes situações físicas;
• O que é um pêndulo físico? E como calcular suas 
propriedades.
4
Movimentos Periódicos
A vibração de um
cristal de quartzo em um
relógio, a oscilação do
pendulo de um relógio de
carrilhão, as vibrações
sonoras são exemplos de
movimento que se repetem
indefinidamente. Esse tipo de
movimento é chamado de
movimento periódico ou
oscilação.
5
Movimentos Periódicos
6
Causas da Oscilação
Na figura vemos um dos sistemas mais simples que podem 
executar um movimento periódico.
É mais simples definir o sistema de coordenas com a origem 
O na posição de equilíbrio para o qual a mola não está esticada
nem comprimida
7
Causas da Oscilação
Quando um corpo é
deslocado da posição de equilíbrio
da mola, a força da mola tende a
fazer o corpo voltar para sua
posição de equilíbrio. Chamamos
essa força de força restauradora.
8
Movimento Harmônico Simples
O tipo mais simples de movimento oscilatório é o chamado 
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Didaticamente, estuda-se 
uma partícula realizando um 
MHS no oscilador 
harmônico.
Um oscilador harmônico 
consiste numa partícula de 
massa m presa a uma mola 
ideal de constante elástica K. 
9
Lembre-se, como foi visto em física 1, de que uma partícula 
unida a uma mola idealmente desprovida de massa é deslocada para 
uma posição x, a mola exerce uma força sobre ela dada pela Lei de 
Hooke, 
Movimentos Periódicos
mas, lembre-se de que a força resultante atuando em um corpo é 
dada por;
F  kx
10
Movimentos Periódicos
Vamos imaginar uma partícula submetida a uma força restauradora 
linear tal como aquela dada pela equação da lei de Hooke, vamos admitir um 
sistema que não possua forças dissipativas, então;
m dx
2
dt2
 kx(Oscilador harmônico simples)
Um corpo que executa um MHS e chamado de oscilador harmônico simples (OHS)
11
Movimentos Periódicos
2  km
Se chamarmos; Teremos;
dx2
dt2
 2x
Precisamos agora de uma solução matemática para equação, isto 
é, uma função x(t) que satisfaça essa equação diferencial de 
segunda ordem. Começamos com um Ansatz (palavra alemã para 
“palpite fundamentado”):
xt  Acost  
A, e  constantes
12
Por que o
movimento harmônico
simples é tão importante?
Não esqueça de que nem
todos os movimentos são
periódicos, a força
restauradora depende do
deslocamento de modo
mais complicado.
Movimentos Periódicos
13
Movimentos Periódicos
Seja x a coordenada de um objeto em MHS, então
14
O período, T, é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é 
sempre positivo. A unidade SI é o segundo.
Período, Frequência e Frequência Angular
1. Característica de qualquer movimento oscilatório (inclusive
do MHS), é que o movimento se repete após um determinado
intervalo de tempo, chamado período T.
2. Para um ciclo completo, a fase aumenta de 2πrad enquanto o
tempo aumenta de T,
15
Período, Frequência e Frequência Angular
16
A frequência, 𝒇, é o número de ciclos na unidade de tempo. 
Ele é sempre positiva. A unidade SI é o hertz.
1 hertz  1 Hz  1 ciclo/s  1s1
Período, Frequência e Frequência Angular
17
Período, Frequência e Frequência Angular
A frequência angular (também chamada pulsação) 𝜔0 é o 
número de radianos com que a fase muda em um segundo.
18
Período, Frequência e Frequência Angular
19
Período, Frequência e Frequência Angular
Agora, usamos nosso resultado para a massa em uma mola,
Período:
Frequência:
Essa relação era usada para manter o ajuste de tempo em relógios
antigos (a partir de R. Hooke e antes do quartzo)
T 
2
0

2
k /m
 2 m
k
f 
0
2

1
2
k
m
0 
k
m
20
Velocidade e Aceleração - MHS
Posição:
Velocidade:
Aceleração:
xt  xm cost  
vt  xm sint  
at  2xm cost  
Observação:
1.Deslocamentos de fase de 90°entre x & v, v & a
2.Aceleração sempre no sentido oposto ao deslocamento
3.Razão entre as amplitudes (v/x, a/v) é 0
21
Velocidade e Aceleração - MHS
22
Movimentos Periódicos
No movimento harmônico simples, o período e a 
frequência não dependem da amplitude
23
Movimentos Periódicos
24
Movimentos Periódicos
25
Movimentos Periódicos
26
Movimentos Periódicos
Um sistema em oscilação 
está em movimento 
harmônico simples(MHS) 
apenas se a força for 
restauradora
27
Energia no Movimento Harmônico Simples
Podemos aprender ainda mais sobre o movimento harmônico 
simples levando em conta aspectos relacionados à energia.
• Já dissemos que a força da mola é a única força horizontal 
que atua sobre o corpo
• A força que a mola ideal exerce sobre o corpo é uma força 
conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho, de 
modo que a energia mecânica do sistema é conservada
• Vamos também supor que a massa da mola seja 
desprezível.
28
No curso de física I, você viu que:
A energia cinética é dada por: K  1
2
mv2
A energia potencial é dada por: U  1
2
kx2
Não existe nenhuma força dissipativas realizando trabalho, 
logo a energia mecânica é conservada.
E  1
2
mv2  1
2
kx2
Energia no Movimento Harmônico Simples
29
Energia no Movimento Harmônico Simples
30
Energia no Movimento Harmônico Simples
O que aconteceria se 
tentássemos fazer x maior 
que A?
31
Energia no Movimento Harmônico Simples
32
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
Há um segundo sistema que oscila importante, com o qual todos 
estamos familiarizados: o pêndulo
Em sua forma ideal, um pêndulo consiste em uma corda fina, sem massa,
com um objeto maciço preso a sua extremidade
Vamos determinar a equação do movimento de um objeto oscilando em 
uma corda
Suponha que temos uma esfera presa a uma corda de comprimento l que 
forma um ângulo  em relação à vertical
Para pequenos valores de  , essa situação resulta na equação diferencial
para o pêndulo:
33
Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído 
por corpo puntiforme suspenso por um fio de massa desprezível.
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
34
Temos que a única força na direção do movimento(oposta ao 
deslocamento) a componente da força peso.
As forças que atuam sobre o corpo são a força d etração T
atuando ao longo do fio e a força gravitacional mg.
Utilizando o diagrama de forças
Ft  mat  mgsin  m d
2s
dt2
Onde s é a posição medida ao longo do arco circular. 
Mas, , onde L é constante.
d2s
dt2
 L d
2
dt2
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
s  L
35
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
36
A equação será reduzida:
d2
dt2
 
g
L
sin
Compare essa equação com a do sistema massa 
mola; saí concluímos que não é um movimento 
harmônico simples.
Se no entanto, pressupomos que o ângulo é pequeno.
sin    d
2
dt2
 
g
L
A equação torna-se MHS
 
g
L
 T  2  2
L
g
O período e a frequência de um pêndulo simples oscilando em ângulospequenos depende apenas do comprimento do fio e da aceleração de queda livre.
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
37
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
38
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
 Agora, a velocidade angular é dada por
 E o período e a frequência de um pêndulo são dados por
 Vemos que a evolução temporal da solução da equação de movimento para o pêndulo 
resulta no mesmo movimento harmônico simples que encontramos para o caso de uma 
massa em uma mola
 Também observamos que, para o pêndulo, diferentemente do caso da mola, a massa do 
objeto oscilando é irrelevante
 Esse resultado significa que dois pêndulos idênticos com apenas massas diferentes têm o 
mesmo período
 A única maneira com a qual podemos ajustar o período de um pêndulo, além de indo para 
outro planeta ou para a Lua, onde a aceleração gravitacional é diferente, é variando seu 
comprimento
0
0
2
 
g
T


  
1
2
g
f

2T
g

39
Exemplos do Movimento Harmônico Simples
Se um corpo pendurado oscila em torno de um eixo fixo que não 
passa pelo seu centro de massa, ele deve ser tratado como um pêndulo 
composto ou físico. 
Para um pêndulo físico, precisamos usar o modelo de um corpo rígido. 
Quando o pêndulo é deslocado de seu ponto de equilíbrio, surge um torque 
restaurador.
Utilizando a segunda lei de Newton para a rotação
  I  I d2
dt2
Combinado:
  r  F  mghsin
40
Oscilações Amortecidas
Os sistemas oscilantes ideais que foram discutidos até o 
momento não possuíam atrito. Nesse sistemas as forças são 
conservativas, a energia mecânica total é constante e, quando o 
sistema começa a oscilar, ele continua oscilando eternamente.
41
Oscilações Amortecidas
Se você esperar o bastante, um pêndulo irá, eventualmente, parar
de oscilar e ficará apenas suspenso em repouso
Por quê?
Resistência do ar e outros efeitos de atrito
Do capítulo de movimento em 1-d:
A resistência do ar e atrito dependem da velocidade e tem 
sentido oposto
ao vetor velocidade
Normalmente, precisamos introduzir uma força de amortecimento nas
nossas equações de movimento:
Fd  bv
42
Oscilações Amortecidas
43
Oscilações Amortecidas
44
Oscilações Amortecidas
45
Oscilações Amortecidas
46
Oscilações Amortecidas
47
Oscilações Amortecidas
48
Oscilações Amortecidas
Superamortecido
Subamortecido
Amortecimento crítico
49
Oscilações Forçado
Exemplo: alguém em um balanço sofre um movimento pendular 
harmônico criado por ser empurrado em intervalos regulares, permitindo 
essa pessoa a balançar mais alto
Há uma ampla classe de fenômenos em todas as áreas da ciência que 
lida com oscilações estimuladas periodicamente
Estudamos uma força estimulada periodicamente do tipo
na qual Fd e d são constantes
F(t)  Fd cos(dt)
50
Oscilações Forçado – Sem amortecimento
 Comece novamente com F = ma
 Equação diferencial
 Reorganize para obter a forma padrão:
kx  Fd cos(dt)  m
d2x
dt 2
d2x
dt 2

k
m
x 
Fd
m
cos(dt)  0
51
Oscilações Forçado
Uma solução particular (após um tempo de transição razoavelmente 
longo)
Aqui, a amplitude C depende de quão longe a frequência intrínseca, 0, 
está da frequência de excitação d:
x(t) Ccos(dt)
C 
Fd
m( 0
2  d
2 )