Cônicas - Parábola

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19 Cônicas- Parábola 
 
19.1. Introdução 
 
 Se girarmos uma parábola em torno do seu 
eixo, ela vai gerar uma superfície chamada 
parabolóide de revolução, também conhecida como 
superfície parabólica. Esta superficie possui inúmeras 
aplicações interessantes, todas elas decorrentes de 
uma propriedade geométrica da parábola. 
 A fama das superfícies parabólicas remonta à 
Antiguidade. 
 Há uma lenda segundo a qual o extraordinário 
matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa 
em torno do ano 250 A.C., destruiu a frota que sitiava 
aquela cidade incendiando os navios com os raios de 
sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isto 
seja teoricamente possível, há sérias dúvidas 
históricas sobre a capacidade tecnológica da época 
para fabricar tais espelhos. 
 Mas a lenda sobreviveu, e com ela a idéia de 
que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de outra 
qualquer natureza), quando refletidas numa superfície 
parabólica, concentram-se sobre o foco, assim 
ampliando grandemente a intensidade do sinal 
recebido. 
 Da lenda de Arquimedes restam hoje um 
interessante acendedor solar de cigarros e outros 
artefatos que provocam ignição fazendo convergir os 
raios de sol para o foco de uma superfície parabólica 
polida. 
 Outros instrumentos atuam inversamente, 
concentrando na direção paralela ao eixo os raios de 
luz que emanam do foco. Como exemplos, citamos os 
holofotes, os faróis de automóveis e as simples 
lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente 
de uma superfície parabólica refletora. 
 Um importante uso recente destas superfícies 
é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na 
rádio-astronomia, bem como no dia-a-dia dos 
aparelhos de televisão, refletindo os débeis sinais 
provenientes de um satélite sobre sua superfície, 
fazendo-os convergir para um único ponto, o foco, 
deste modo amplificando consideravelmente sua 
intensidade. 
 
 
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F 
não pertencente a d. 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que 
são equidistantes de F e d. 
 
 
 De acordo com a defínição acima, P pertence à 
parábola se, e somente se: ( , ) ( , ')d P F d P P= , 
ou seja, 'PF PP=JJJG JJJJG . 
 
Observação: 
 
 Consideramos o fato de F�d, pois, caso 
contrário, a parábola se degeneraria numa reta. 
 
19.2. Elementos 
 
 Considerando a Figura acima, temos: 
Foco: é o ponto F. 
Diretriz: é a reta d. 
Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à 
diretriz. 
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o 
seu eixo. 
Obviamente, tem-se: d(V, F) = d(V, A). 
 Com a finalidade de obtermos uma equação da 
parábola, teremos que referi-la ao sistema de eixos 
cartesianos. Iniciemos pelo caso mais simples. 
 
19.3. Equação da Parâbola de 
Vértice na Origem do Sistema 
 
 1º caso: O eixo da parábola é o eixo dos y 
 
Seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola (conforme 
figura abaixo) de foco F(0, p
2
 ). 
 
 Da definição de parábola, tem-se: 'PF PP=JJJG JJJJG 
 2
 
Como ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
pP' x,-
2
, vem: 
 
2
2 2( ) ( ) ⎛ ⎞+ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
2 p(x - 0) y - 0 x - x y+ 
2
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: 
 
 
2 2
2 2( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
p px - 0 y - x - x y + 
2 2
 
ou simplesmente 
 
 2=2x py (1) 
 
 Esta equação é chamada equação reduzida 
da parábola e constitui a forma padrão da equação da 
parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo 
dos y. 
 
 Da análise desta equação conclui-se que, 
tendo em vista ser 2py sempre positivo ou nulo (pois é 
igual a ≥2x 0 ), os sinais de p e de y são sempre 
iguais. Conseqüentemente, se p > 0 a parábola tem 
concavidade voltada para cima e, se p < 0, a parábola 
tem concavidade voltada para baixo, conforme 
esclarecem as figuras a seguir . 
 
 
 
 
 
 Este número real ≠p 0 é conhecido como 
parâmetro da parábola. 
 
 2º caso: O eixo da parábola é o eixo dos x 
 
 Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola 
(conforme Figura abaixo) de foco F( p
2
, 0), obteremos, 
de forma análoga ao 1º caso, a equação reduzida: 
 
 2=2y px 
 
 
 
 Conforme o sinal de p, teremos: se p > 0, a 
parábola tem concavidade voltada para a direita e, se p 
< 0, a parábola tem concavidade voltada para a 
esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
19.5. Translação de Eixos 
 
 Consideremos no plano cartesiano xOy um 
ponto 
O'(h, k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema 
x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma 
unidade de medida, a mesma direção e o mesmo 
sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um 
sistema pode ser obtido do outro, através de uma 
translação de eixos. 
 
 
 Seja um ponto P qualquer do plano tal que 
suas coordenadas são: 
x e y em relação ao sistema xOy, x' e y' em relação ao 
sistema x'O'y', 
Pela Figura anterior , obtém-se: 
 x = x' + h e y = y' + k 
ou: 
 x' = x - h e y' = y - k 
 
que são as fórmulas de translação e que permitem 
transformar coordenadas de um sistema para outro. 
 A principal fínalídade da transformação de 
coordenadas é modificar a forma de equações. 
 
19.6. Equação da Parábola de 
Vértice Fora da Origem do Sistema 
 
 1º caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo 
dos y 
 
 Seja uma parábola de vértice V(h, k) e eixo 
paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de V 
em relação ao sistema xOy. 
Seja P(x, y) um ponto qualquer desta parábola. 
 Consideremos um novo sistema x'O'y' com a 
origem O' em V nas condições do que foi 
anteriormente (conforme Figura abaixo). 
 
 
 
 Sabe-se que a equação da parábola referida 
ao sistema x'O'y' é 
 
 2=2x' py' 
mas: 
 
 x' = x - h e y' = y - k, e daí: 
 
 (x- h)2 = 2p(y - k) 
 
que é a forma padrão da equação de uma parábola de 
vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 
 
2º caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x 
 
 De modo análogo ao caso anterior, teremos: 
 
 (y - k)2 = 2p(x - h) 
 
 
19.7. Exemplos 
 
01. Determinar a equação da parábola cujo vértice é a 
origem dos eixos de coordenadas, o eixo de simetria é 
o eixo y e passa pelo ponto P (-3, 7). 
 
Resolução: Se o eixo de simetria é o eixo y, a forma 
padrão da equação da parábola é x2 = 2py. Se P (-3, 7) 
pertence à parábola, temos: 
 
( ) ( )22 92 3 2 7 14 9
14
x py p p p= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
 
 
 4
Transportando o valor de p para a forma padrão, 
temos: 
2 2 29 92 2
14 7
x py x y x y= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = 
 
Resposta : A equação procurada é 
 0
7
92 =− yx 
 
02. Dada uma parábola de equação y2 = - 20x, pede-
se: 
a) as coordenadas do foco; 
b) a equação da diretriz; 
c) o esboço do gráfico. 
 
Resolução: Se y2 = - 20, a forma padrão da equação 
da parábola é y2 = 2px e o eixo de simetria é o eixo x. 
 
a) Coordenadas do foco 
 sendo x o eixo de simetria, então F (p/2, 0) 
( )22 20 2 20 10 5,02
y x p p F
y px
⎫= − ⇒ = − ⇒ = − ∴ −⎬= ⎭
 
 
b) Equação da diretriz 
 
 x = -p/2 ⇒ x = -(-10/2) ⇒ x = 5 
 
c) Esboço do gráfico 
 Como o eixo de simetria é o eixo x, temos: 
 
 
 
Resposta: a) F(-5, 0); b) x = 5; 
 
03. Determinar as coordenadas dos vértices, as 
coordenadas do foco e a equação da diretriz da 
parábola da equação y2 – 4y – 8x + 28 = 0. 
 
Resolução: Isolando os termos em y no 1º membro e 
completando o quadrado perfeito, temos: 
 
Y2 – 4y – 8x + 28 = 0 ⇒ 
y2 – 4y = 8x – 28 
Y2 – 4y + 4 = 8x – 28 + 4 
(y – 2)2 = 8x – 24 
(y – 2)2 = 8 (x – 3) 
 
Comparando com a forma padrão da parábola, temos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
3
2 8 3 2 8 4
k
y k p x h
h
y x p p
=⎧− = − ⎪⇒ =⎨− = − ⎪ = ∴ =⎩
 
 
Logo, V (h, k) ⇒ V (3, 2) 
 F (h + p/2, k) ⇒ F(5, 2) 
 
A equação da diretriz é: 
 
X = h – p/2 ⇒ x = 3 – 2X = 1 
 
Respostas: V (3, 2), F(5, 2) e x = 1 
 
05. Determinar as coordenadas do vértice, as 
coordenadas do foco e a equação da diretriz da 
parábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0. 
 
Resolução: Isolando os termos em x no primeiro 
membro e completando o quadrado perfeito, temos: 
 
X2 + 2x + 4y – 15 = 0 ⇒ 
x2 + 2x = - 4y + 15 
X2 + 2x + 1 = - 4y + 15 + 1 
(x + 1)2 = - 4y + 16 
(x + 1)2 = -4 (y – 4) 
 
Comparando com a forma padrão, temos: 
 
( )2
2
1
2 ( ) 4
( 1) 4( 4) 2 4 2
h
x h p y k k
x y p p
= −⎧⎪− = − ⇒ =⎨+ = − − ⎪ = − ∴ = −⎩
 
 
Logo, V (h, k) ⇒ V (-1, 4) 
 F (h, k + p/2) ⇒ F (-1, 3) 
 
A equação da diretriz é: 
 
Y = k – p/2 ⇒ y = 4 – (-1) 
 y = 5 
 
Resposta: V (-1, 4), F (-1, 3) e y = 5 
 
05. Uma parábola tem foco (-1, 8) e diretriz dada pela 
equação y = 5. Determine as coordenadas do vértice e 
a equação dessa parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
 
Resolução: 
 
 
Se P (x, y) é um ponto da parábola, temos: 
 
d(P, F) = d (P, D1) ⇒ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+
−=+
−+−+−=+
−−−=+
−=−++
−=−++
2
1361
3961
641625101
851
581
581
2
2
222
222
222
22
yx
yx
yyyyx
yyx
yyx
yyx
 
 
Logo, V ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
2
131, 
Resposta: (x + 1)2 = 6 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
13y e V ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
2
131, 
 
19.8. Exercícios Propostos 
 
01. A parábola de equação y = ax2 + bx + c passa 
pelos pontos (1, 0), (2, 5) e (-4, 5); então o valor 
de a + b + c é: 
a) 6 
b) 0 
c) 2 
d) 5 
e) 4 
 
02. a parábola cujo eixo de simetria é 0y e que passa 
pelos pontos de intersecção da reta x + y = 0 com 
a circunferência x2 + y2 + 8y = 0 tem por 
equação: 
 
...)
)
)
)
)
arne
xyd
xyc
xyb
xya
2
2
2
2
4
1
4
1
4
8
1
4
1
=
−=
=
+=
 
 
03. Qual é a distância da origem do sistema cartesiano 
ao vértice V da parábola de equação x2 – 6x – y + 
10 = 0? 
 
...
)
)
)
)
arn
d
c
b
a
5
102
10
10
 
 
04. A reta A passa pelo vértice da parábola de 
equação y = 4x – x2 e intercepta o eixo x no ponto 
de abcissa 5. A equação da reta A é: 
 
2
25
2
5
3
20
3
4
3
20
3
4
2
25
2
5
−=
+−=
−=
+−=
xyd
xyc
xyb
xya
)
)
)
)
 
 
05. A distância do vértice da parábola y = (x – 2) . (x – 
6) à reta 5
3
4 += xy é: 
5
43
25
4343
25
29
25
72
)
))
))
e
dc
ba
 
06. Das equações abaixo, a que representa uma 
parábola de eixo coincidente com a reta y = 0 é: 
a) y – x2 + 1 
b) x = y2 + 1 
c) y – x2 = 0 
d) x2 – y2 = 1 
e) x = 1/y + 3 
 
 
 
 
 
 6
07. Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 não 
intercepte a reta y = 3, devemos ter: 
 
a) – 4 < m < 4 
b) m < -3 ou m > 4 
c) m > 5 ou m < -5 
d) m = - 5 ou m = 5 
e) m ≠ 0 
 
08. As parábolas dadas pelas equações y = x2 e x = 
y2: 
 
a) nunca se encontram 
b) se encontram apenas na origem 
c) se encontram em exatamente dois pontos 
d) se encontram em três pontos 
e) se encontram em quatro pontos 
 
09. Qual é a equação da diretriz da parábola Y2 = 8x? 
 
a) x = - 4 
b) x = -2 
c) x = - 3 
d) x = -5 
e) x = -1 
 
10. Ache a distância do ponto P(3, 6) à reta 
determinada pelos pontos de interseção das 
curvas x2 + y2 = 2 e y = x2. 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
Gabarito: 
01. b 
02. c 
03. a 
04. c 
05. e 
06. b 
07. a 
08. c 
09. b 
10. c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
20 Cônicas - Elipse 
 
 Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um 
plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos 
desse plano é constante. 
 Consideremos no plano dois pontos distintos, 
F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c. 
 Seja um número real a tal que 2a > 2c. 
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
 d(P, F1 ) + d(P, F2) = 2a 
ou: 
 2+ =JJJG JJJJG1 2PF PF a 
dá-se o nome de elipse. 
 
 
 
 A abaixo sugere como se pode construir uma 
elipse no papel. 
 
 
 
 Nos pontos F1 e F2 fixemos dois pregos e 
neles amarremos um fio não esticado. Tomemos um 
lápis e distendamos com sua ponta o fio, marcando o 
ponto P1. Então, a soma das distâncias d(P1, F1) e 
d(P1, F2) é o comprimento do fio. Se o lápis deslizar 
sobre o papel, mantendo o fio sempre esticado, ficará 
traçada uma elipse de focos F1 e F2 . A figura mostra 
outra posição P2 da ponta do lápis e, também para 
este ponto, a soma das distâncias d(P2 F1 ) e d(P2, F2) 
é o comprimento do fio. Assim, para as infinitas 
posições da ponta do lápis, a soma das distâncias a F1 
a F2 é constante. 
 A constante 2a anteriormente referida é o 
comprimento do fio. 
 Se mantivermos constante o comprimento do 
fio e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da 
elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos 
estão entre si, tanto mais a forma da elipse se 
assemelha à da circunferência, e quando F1 = F2 
obtém-se uma circunferência. Por outro lado, quanto 
mais afastados os focos estiverem entre si, mais 
"achatada" será a elipse. 
 
20.1 Elementos 
 
Focos: são os pontos F1 e F2 . 
 
Distância focal: é a distância 2c entre os focos. 
 
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2 . 
 
Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a (o 
segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos 
pertencem à elipse). 
 
Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b 
(B1B2 ∞ A1A2 no seu ponto médio). 
 
Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2. 
 
Excentricidade: é o número e dado por ce = 
a
. 
 
 
 Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1. 
Observação 
 Em toda elipse vale a relação: 
 
 2 2 2a = b + c 
 
Na verdade, esta igualdade é a relação de Pitágoras 
no triângulo retângulo B2CF2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
20.2. Equação da Elipse de Centro 
na Origem do Sistema 
 
1º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos x 
 
 
 
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse de focos 
F1 (-c, 0) e F2 (c, 0). 
 
Por definíção, tem-se: 
 1 2d(P,F ) + d(P,F ) = 2a 
ou: 
 + =JJJG JJJG1 2FP F P 2a 
 
ou em coordenadas: 
2= =2 2 2 2(x + c) + (y - 0) (x - c) + (y - 0) a 
2 2 2 2 2 2x + y + 2cx + c = 2a - x + y - 2cx + c 
( ) ( )222 2 2 2 2 2x + y + 2cx + c = 2a - x + y - 2cx + c 
= +
+
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x + y + 2cx + c 4a - 4a x + y - 2cx + c
x + y - 2cx + c
 
2 2 2 24a x + y - 2cx + c = 4a - 4cx 
2 2 2 2a x + y - 2cx + c = a - cx 
2 2 2 2 4 2 2 2a (x + y - 2cx + c ) = a - 2a cx + c x 
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x + a y - a 2cx + a c = a - 2a cx + c x 
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x - c x + a y = a - a c 
)2 2 2 2 2 2 2 2(a - c )x + a y = a (a - c 
mas: 
2 2 2a c b− = 
logo: 
2 2 2 2 2 2b x + a y = a b 
Dividindo ambos os membros da equação por 2 2a b , 
obtemos 
2 2
2 2
x y + = 1
a b
 
que é a equação reduzida da elipse de centro na 
origem e eixo maior sobre o eixo dos x. 
 
 2º caso: O eixo maior está sobre o eixo dos y 
 
 Com procedimento análogo ao 1º caso, 
obteremos a equação reduzida 
2 2
2 2
x y+ = 1
b a
 
 
Observação: 
 
Tendo em vista que 2 2 2a = b + c , segue-se que: 
 
2 2 ,a b> eportanto a > b. 
 
 Então, sempre o maior dos denominadores na 
equação reduzida representa o número a2, onde a é 
medida do semi-eixo maior. 
 Ainda mais: se na equação da elipse o número 
a2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixo maior 
sobre o eixo dos x. 
 
Exemplos: 
 
A equação reduzidada elipse abaixo é: 
 
2 2
2 2
x y+ = 1
3 2
 
 
 Já a elipse abaixo tem equação reduzida: 
 
2 2
2 2
x y+ = 1
2 3
 
 9
 
 
 
20.3. Equação da Elipse de Centro 
Fora da Origem do Sistema 
 
 1º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo dos x 
 
 Consideremos uma elipse de centro C(h, k) e 
seja P(x, y) um ponto qualquer da mesma. 
 
 
 
 Faremos um processo análogo ao caso da 
equação da parábola com vértice em (h, k) quando 
ocorre uma translação de eixos, pois o caso presente 
da elipse é perfeitamente análogo àquele. 
Assim: 
 
2 2
2 2
x y + = 1
b a
 
é a equação de uma elipse de centro C(0, 0) e eixo 
maior sobre o eixo dos x; quando o eixo maior for 
paralelo ao eixo dos x e o centro for C(h, k), a equação 
passa a ser 
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
a b
 
 Este mesmo detalhe irá se repetir também no 
estudo da hipérbole a ser feito logo a seguir. 
 
 2º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo dos y 
 
 De forma análoga, temos: 
 
2 2
2 2
(x - h) (y - k) + = 1
b a
 
 
 
 
20.4. Exemplos 
 
01. numa elipse, o eixo maior está contido no eixo x e 
seu comprimento é 16. Sabendo-se que a 
distância entre os focos é 10, determinar a 
equação da elipse. 
 
Resolução: como o eixo maior está contido no eixo x, a 
forma padrão da equação é: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x 
Pelos dados do problema, temos: 
 
2a = 16 ⇒ a = 8 
2c = 10 ⇒ c = 5 
a2 = b2 + c2 ⇒ 64 = b2 + 25 ⇒ b2 = 39 
 
Então, a equação procurada é: 
 
1
3964
1
22
2
2
2
2
=+⇒=+ yx
b
y
a
x 
Resposta : A equação é 1
3964
22
=+ yx . 
 
02. Determinar as coordenadas dos focos e dos 
vértices da elipse de equação 
4x2 + 25y2 = 100. 
 
Resolução: Vamos escrever a equação na forma 
padrão, dividindo todos os termos por 100: 
 
4x2 + 25y2 = 100. ⇒ 
1
425
100
100
100
25
100
4
22
22
=+
=+
yx
yx
 
Como 25 > 4, o eixo maior está contido no eixo x, logo: 
a2 = 25 ⇒ a = 5 
b2 = 4 ⇒ b = 2 
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 
c = 21 
 10
 
 
Sabendo que os focos e os vértices estão situados no 
eixo x, temos: ( ) ( ) ( ) ( )0505021021 2121 ,,,,,, −− VeVFF 
 
Resposta: ( ) ( ) ( ) ( )0505021021 2121 ,,,,,, −− VeVFF 
 
03. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0, 
6) e V2 (0, -6) e que passa pelo ponto P (3, 2). 
Resolução: Como os vértices estão no eixo y, a forma 
padrão da equação é: 
12
2
2
2
=+
a
y
b
x 
 
Pelos dados do problema, temos: 
 
A = 6 
 
Como a elipse passa pelo ponto P (3, 2), devemos ter: 
 
8
81
9
89
9
1191
36
49
1
6
23
2
222
2
2
2
2
=⇒=⇒−=⇒=+
=+
b
bbb
b 
 
Substituindo a2 e b2 na equação padrão, temos: 
 
1
3681
81
36
8
81
2222
=+⇒=+ yxyx 
Resposta: A equação procurada é 
1
3681
8 22 =+ yx 
 
04. Determinar a excentricidade da elipse de equação 
x2 + 5y2 = 20. 
 
05. Resolução: x2 + 5y2 = 20 
1
42020
20
20
5
20
2222
=+⇒=+⇒ yxyx 
 
Da equação obtida, temos: 
 
a2 = 20 5220 =⇒= aa 
242 =⇒= bb 
a2 = b2 + c2 ⇒ 20 = 4 + c2 
 c2 = 16 
 c = 4 
 
Daí, temos: 
52
4=⇒= e
a
ce 
 
5
52=e 
 
Resposta: 
5
52 
 
05. Determinar as coordenadas do centro, as 
coordenadas dos focos e as medidas dos semi-eixos 
da elipse de equação 
( ) ( ) 1
16
3
25
4 22 =++− yx . 
 
Resolução: Comparando com a forma padrão, temos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
−=
=
⇒
=++−
=−+−
416
525
3
4
1
16
3
25
4
1
2
222
2
2
2
2
bb
aa
k
h
yx
b
ky
a
hx
 
 
Como a2 = b2 + c2, vem: 
 
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 
 c2 = 9 
 c = 3 
 
Portanto, O (h, k) ⇒ O (4, -3) 
 F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3) 
 F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3) 
 
Resposta: O (4, -3), F1 (7, -3), F2 (1, -3), a = 5 e b = 4 
 
20.5. Exercícios Propostos 
 
01. Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, a equação x2 + 4y2 = 4 
representa: 
 
a) uma circunferência de centro na origem 
b) uma parábola de vértice na origem 
c) uma circunferência de raio 2 
d) uma elipse cujo eixo maior é o dobro do eixo 
menor 
e) uma elipse cujo eixo maior é o quádruplo do eixo 
menor 
 
02. Um ponto P da elipse 1
49
22
=+ yx dista 2 de um 
dos foco. Qual é a distância de P ao outro foco da 
elipse? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 7 
 
 11
03. O eixo menor da elipse de equação 5x2 + 2y2 = 20 
tem comprimento igual a: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 10 
d) 
2
10 
e) 52 
 
04. A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 
0), (-2, 0) e (0, 1) é: 
 
44
142
1
4
44
22
22
2
2
22
=−
=−
=+
=+
yxd
yxc
yxb
yxa
)
)
)
)
 
 
05. A equação da circunferência com centro na 
origem e cujo raio é igual ao semi-eixo menor da 
elipse x2 + 4y2 = 4 é: 
 
1
4
16
2
22
22
22
22
=+
=+
=+
=+
yxd
yxc
yxb
yxa
)
)
)
)
 
06. A reta passa pelos pontos de intersecção da 
parábola y = x 2 com a elipse ( ) 1
164
2 22 =+− yx é: 
a) y = -x 
b) y = 2x + 1 
c) y = 2x 
d) y = 3x 
e) não sei. 
 
07. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 8y – 23 = 0 
representa uma: 
a) circunferência 
b) hipérbole 
c) parábola 
d) elipse 
e) reta 
08. A reta y = ax + 1 intercepta a elipse x2 + 4y2 = 1 
somente num ponto. Calcule 8 a2. 
 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 7 
e) 1 
 
09. Os pontos A (10, 0) e B (-5, y) estão sobre uma 
elipse cujos focos são F1 (-8, 0) e F2 (8, 0). Calcule 
o perímetro do triângulo BF1F2. 
 
a) 24 
b) 32 
c) 36 
d) 44 
e) 46 
 
10. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 é de 
uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem: 
a) 4 e 3 
b) 4 e 2 
c) 4 e 1 
d) 3 e 2 
e) 3 e 1 
 
Gabarito: 
 
01. d 
02. c 
03. d 
04. a 
05. d 
06. c 
07. d 
08. a 
09. c 
10. d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
21. Cônicas- Hipérbole 
 
21.1. Definição 
 
Considerando, num plano α, dois pontos distintos, F1 e 
F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância 
entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos 
pontos do plano α tais que o módulo da diferença das 
dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual 
a 2a. 
 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um 
mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: 
 
 
 
 
A figura obtida é uma hipérbole. 
 
Observação: 
 
Os dois ramos da hipérbole são determinados por um 
plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones 
circulares retos e opostos pelo vértice 
 
21.2. Elementos 
 
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, 
temos os seguintes elementos: 
 
 • semi-eixo real: a 
• semi-eixo imaginário: b 
• semidistância focal: c 
• distância focal: cFF 221 = 
• eixo real: aAA 221 = , contém os focos 
• eixo imaginário: 
 
 
Excentricidade 
 Chamamos de excentricidade o número real e tal 
que: 
 
 Como c > a, temos e > 1. 
 
21.3. Equações 
 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox 
 13
 
F1 (-c, 0) 
F2 ( c, 0) 
 
Aplicando a definição de hipérbole: 
 
Obtemos a equação da hipérbole: 
 
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy 
 Nessas condições, a equação da hipérbole é: 
 
 
 
 
21.4. Hipérbole eqüilátera 
 
 Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as 
medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: 
 
a = b 
 
 
 
21.5. Assíntotas da hipérbole 
 
 Assíntotassão retas que contêm as diagonais do 
retângulo de lados 2a e 2b. 
 Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente 
angular dessas retas é m = ± b/a; quando é vertical, o 
coeficiente é m = ± a/b. 
 
 
Equação 
 
 Vamos considerar os seguintes casos: 
a) eixo real horizontal e C(0, 0) 
 As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente 
angular m = ± b/a; logo, suas equações são da forma: 
 
b) eixo vertical e C(0, 0) 
 As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente 
angular m = ± a/b; logo, suas equações são da forma: 
 
 
21.6. Exemplos 
 
01. Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (5, 
0) e F2 (-5, 0) e de vértices V1 (3, 0) e V2 (-3, 0). 
 
Resolução: Como os focos pertencem ao eixo das 
abcissas, a forma padrão da equação é: 
 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 
Pelos dados do problema, temos: 
 
a = 3 
c = 5 
c2 = a2 + b2 ⇒ 52 = 32 + b2 ⇒ b2 = 25 – 9 ⇒ b2 = 16 ⇒ 
b = 4 
 
Substituindo na forma padrão, temos: 
 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 1
169
22
=−⇒ yx 
 
 14
Resposta: a equação pedida é 1
169
22
=− yx 
 
02. Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (0, 
4) e F2 (0, -4), sabendo-se que o comprimento do 
eixo real é 6 unidades. 
 
Resolução: Como os focos pertencem ao eixo das 
ordenadas, a forma padrão da equação é: 
 
12
2
2
2
=−
b
x
a
y 
Pelos dados do problema, temos: 
 
C = 4 
2a = 6 ⇒ a = 3 
c2 = a2 + b2 ⇒ 42 = 32 + b2 ⇒ b2 = 16 – 9 ⇒ b2 = 7 
 
Substituindo na forma padrão, temos: 
 
1
79
22
=− xy 
 
Resposta: A equação pedida é 1
79
22
=− xy 
 
03. Determinar a medida do eixo real, do eixo 
imaginário e da distância focal da hipérbole de 
equação 9x2 – 16y2 = 144. 
 
Resolução: Vamos escrever a equação na forma 
padrão, dividindo todos os termos por 144: 
1
916144
144
144
16
144
9 2222 =−⇒=− yxyx 
 
Nesse caso, os vértices e os focos estão no eixo das 
abcissas e: 
 
a2 = 16 ⇒ a = 4 
b2 = 9 ⇒ b = 3 
 
Logo, c2 = a2 + b2 ⇒ c2 =16 + 9 
 c = 25 
 c = 5 
 
portanto, 
102
62
82
21
21
21
==
==
==
cFF
bMM
aVV
 
 
Resposta: 1068 212121 === FFMMVV ,, 
 
04. Determinar a excentricidade e a equação das 
assíntotas da hipérbole de equação 4x2 – y2 = 16. 
 
Resolução: Escrevendo a equação dada na forma 
reduzida, temos: 
 
4x2 – y2 = 16 1
16416
16
1616
4 2222 =−⇒=−⇒ yxyx 
 
Pela equação obtida, temos: 
 
a2 = 4 ⇒ a = 2 
b2 = 16 ⇒ b = 4 
c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 4 + 16 ⇒ c2= 20⇒ 
⇒c = 20 ⇒ c = 52 
 
5
2
52 =⇒=⇒= ee
a
ce 
• Cálculo da equação das assíntotas 
 
xyxyx
a
by 2
2
4 =⇒=⇒=
 
xyxyx
a
by 2
2
4 −=⇒−=⇒−=
 
Resposta: xyexye 225 −=== , 
 
05. Determinar o centro, as medidas do eixo real e do 
eixo imaginário, a excentricidade e os focos da 
hipérbole x2 – y2 = 16. 
 
x2 – y2 = 16 (dividindo a expressão por 16) 
 
1
1616
22
=− yx 
Como a hipérbole é do tipo 12
2
2
2
=−
b
y
a
x , o centro tem 
coordenadas C(0, 0). 
• O eixo real mede A1 A2 = 2a = 2 . 4 = 8 
• O eixo imaginário mede B1 B2 = 2b = 2 . 4 = 8 
É importante observar que, nesse caso, a = b = 4, 
portanto, trata-se de uma hipérbole eqüilátera. 
• A excentricidade é dada por 
a
ce = 
c2 = a2 + b2 
c2 = 42 + 42 2
4
242432 ==⇒==⇒ ec 
Os focos têm coordenadas F1(x0 -c, y0) e F2 (x0 + c, y0). 
 ( ) ( )024024 21 ,, =−= FeF 
 
 
 
 
 15
21.7. Exercícios Propostos 
 
01. A cônica representada pela equação 3x2 – 4y2 + 
8y – 16 = 0 é: 
 
a) parábola 
b) hipérbole 
c) elipse 
d) circunferência 
e) duas retas 
 
02. O valor de b para o qual a reta y = x + b não 
intercepta a hipérbole x2 – y2 = 1 é: 
 
a) 2 
b) 2 
d) 1 
f) 0 
g) -1 
 
03. A equação de uma das assíntotas à hipérbole 
1
6416
22
=− yx é: 
 
a) y = 2x – 1 
b) y = 4x 
c) y = x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x 
 
04. Considerando-se a equação da hipérbole 
4x2 – 16y2 = 49, determine a medida do eixo real: 
 
a) 6 
b) 9 
c) 4 
d) 7 
e) 0 
 
05. Obtenha a distância focal da hipérbole cuja 
equação é .1
916
22
=− yx 
 
a) 2c =12 
b) 2c = 9 
c) 2c = 11 
d) 2c = 10 
e) 2c = 13 
 
06. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole 
cuja equação é 144y2 – 25x2=3600. 
a) F1(0, -12) e F2(0, 12) 
b) F1(0, -10) e F2(0, 10) 
c) F1(0, -13) e F2(0, 13) 
d) F1(0, -11) e F2(0, 11) 
 
07. O gráfico da equação x2 – y2 = 4 representa uma 
hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
10
2
10
2020
022022
0202
0
2
10
2
1
,,)
,,)
,,)
,,)
,,)
ee
ed
ec
eb
ea
 
 
08. Assinalar a falsa: 
 
a) As retas 2y = 3x + 5 e 3x – 2y = 0 são paralelas 
b) As retas 5x – 2y = 1 e 2x + 5y = 0 são 
perpendiculares 
c) A distância do ponto (5; 3) à reta y = 5 é 2 
d) 2x2 + 5y2 = 1 é a equação de uma hipérbole. 
e) X = 4y2 é a equação de uma parábola. 
 
09. A equação de uma das assíntotas da hipérbole x2 
– y2 = 16 é: 
 
a) y = 2x – 1 
b) y = 4x 
c) y = x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x 
 
10. A cônica de excentricidade 2 e vértice (-1;0) e 
(1; 0) tem equação: 
 
a) 3x2 + y2 = 3 
b) 3x2 – y2 = 3 
c) 3x2 – y2 = 1 
d) x2 + 3y2 = 3 
e) x2 - 3y2 = 1 
 
Gabarito: 
 
01. b 
02. d 
03. e 
04. d 
05. d 
06. c 
07. c 
08. d 
09. c 
10. b