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Sistemas de Equações Lineares � Equação Linear é toda equação da forma em que naaaa ,...,,, 321 são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas nxxxx ,...,,, 321 , e b é um número real chamado termo independente. Por exemplo, 1−=+−+ tzyx é uma equação linear a quatro incógnitas. Quando b = 0, a equação denomina-se linear homogênea. Uma equação não linear é aquela que apresenta termos da forma 21 2 1 . , xxx . Portanto as equações 24 e 323 2 2 1 =+−−=+ zxyxx não são lineares. Nas equações lineares, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. � Sistema Linear de m equações e n incógnitas é o conjunto de equações lineares da forma: Uma solução para este sistema é uma n-upla de números reais ordenados ( )nxxxx ,...,,, 321 , que satisfaça simultaneamente as m equações do sistema. No caso particular em que 0...321 ===== nbbbb , o sistema é chamado de sistema linear homogêneo. A n-upla ( )0,...,0,0,0 é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais =++++ =++++ =++++ mnmnmmm nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa ... ... ... 332211 22323222121 11313212111 (*) bxaxaxaxa nn =++++ ...332211 � Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares. Utilizando matrizes, podemos representar o sistema (*) da seguinte forma: 1 3 2 1 1 3 2 1 mxn321 3333231 2232221 1131211 mxmnxnmnmmm n n n b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa = MM K MKMMM K K L matriz dos termos independentes matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas matriz constituída pelas incógnitas ou equivalentemente AX = B. Outra matriz que podemos associar ao sistema é: 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 mmnmmm n n n b b b b aaaa aaaa aaaa aaaa M K MKMMM K K L que chamamos matriz ampliada ou completa do sistema. Cada linha desta matriz, é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. Por exemplo, consideremos o sistema de equações lineares =−− =++ =++ 523 4452 134 321 321 321 xxx xxx xxx sua forma matricial é: = −− 5 4 1 231 452 341 3 2 1 x x x e a matriz ampliada do sistema 5 4 1 231 452 341 −− � Classificação dos Sistemas Lineares Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: Determinado Possível ou Compatível (admite uma única solução) (quando admite solução) Indeterminado (admite infinitas soluções) Sistema Linear Impossível ou incompatível (quando não admite solução) Cada uma destas situações pode ser representada geometricamente no caso de sistemas de equações lineares de 2 equações e 2 incógnitas e também para o caso de sistemas de 3 equações e 3 incógnitas. Para ilustrar o que foi exposto, vejamos os exemplos a seguir: Consideremos os sistemas, a) � 2� + � = 4−� + 2� = 3 b) � 2� + � = 48� + 4� = 12 c) � 2� + � = 48� + 4� = 16 a) �� = −2� + 4� = �� � + �� b) � � = −2� + 4� = − �� � + ��� c) � � = −2� + 4� = − �� � + ��� , Por meio de operações apropriadas, os sistemas acima podem ser reescritos como, UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Álgebra Vetorial e Matricial Sistemas Lineares Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda Cada equação presente nos sistemas acima representa uma reta no Plano Cartesiano. Repare que a primeira equação é comum a todos os sistemas e tem por gráfico, a reta representada abaixo: Para cada ponto desta reta, temos associado um par (�, �) que satisfaz a primeira equação, ou seja, é solução desta equação. Observe que, sendo assim, uma única equação linear com 2 incógnitas apresenta infinitas soluções, a saber, todos os pares (�, �) que satisfazem a equação da reta. O conjunto solução do SISTEMA em cada caso dar-se-á, então, quando confrontarmos estas soluções com as soluções da equação. Isto é, corresponderá ao conjunto interseção de soluções das duas retas (equações). Voltando aos nossos exemplos e, considerando as posições relativas entre retas no plano, temos que as únicas possibilidades para esse conjunto são: Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Infinito Resolvendo algebricamente os sistemas, confirmamos o que vimos acima: a) � 2x + y = 4−x + 2y = 3 ∗� � 2x + y = 4−2x + 4y = 6 ∗∗� �2x + y = 45y = 10 � y = 2 e x = 1, • nenhuma solução (dizemos que o SISTEMA é IMPOSSÍVEL) • Infinitas soluções (dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO • uma única solução (dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO ) UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Álgebra Vetorial e Matricial Sistemas Lineares Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda ou seja, o par (1, 2) é a única solução do sistema. *multiplicando a segunda equação por 2; **somando as duas equações e substituindo a resultante na segunda equação; b) � 2� + � = 48� + 4� = 12 ∗� �−8� + 4� = −168� + 4� = 12 ∗∗� � 0 = −45� = 10 , ou seja, a inconsistência da igualdade obtida denota que o sistema é impossível. *multiplicando a primeira equação por -4; **somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação; c) � 2� + � = 48� + 4� = 16 ∗� �−8� + 4� = −168� + 4� = 16 ∗∗� � 0 = 08� + 4� = 16 , ou seja, o sistema resume-se a uma única equação (já que 0 = 0 para quaisquer valores de � e �) que, como vimos, tem infinitas soluções. *multiplicando a primeira equação por -4; **somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação; ESTENDENDO A IDEIA É fundamental notarmos que ao trabalharmos com 3 equações e 3 incógnitas, embora de natureza geométrica diferente, o sistema também apresentará apenas uma das situações: •uma única solução – o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO (SPD); • nenhuma solução - o SISTEMA é IMPOSSÍVEL (SI); • infinitas soluções – o SISTEMA é POSSÍVEL e INDETERMINADO (SPI) Isto se deve ao fato de uma equação linear com 3 incógnitas representar um plano no espaço. Se considerarmos 3 planos concomitantemente, teremos 7 situações possíveis, quais são: • com uma única solução UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Álgebra Vetorial e Matricial Sistemas Lineares Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda • sem solução • com infinitas soluções � Resolução de um Sistema Linear pelo Método de Escalonamento O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é denominado método de escalonamento. Este método consiste em transformar o sistema linear original AX = B, por meio de operações elementares1, num sistema linear equivalente2 com matriz dos coeficientes triangular superior. A solução do sistema é encontrada por retro- substituição. Exemplo 1 : Resolva o sistema ====++++ −−−−====−−−− 1042 234 yx yx pelo método de escalonamento. Exemplo 2: Resolva o sistema ====−−−−−−−− ====++++−−−− ====++++++++ 733 822 542 321 321 321 xxx xxx xxx pelo método de escalonamento. 1 São operações realizadas sobre as equações de um sistema linear, que o transformam num sistema triangular equivalente sem alterar a solução do sistema, a saber: i. Trocar a ordem de duas equações do sistema; ii. Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; iii. Adicionar duas equações do sistema. 2 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Álgebra Vetorial e Matricial Sistemas Lineares Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda Exercícios Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método de escalonamento: a) ====++++ ====−−−− 32 12 yx yx b) ====++++ −−−−====++++ ====++++ ====++++ 2210 65 6810 852 43 21 42 32 xx xx xx xx c) −−−−====++++−−−− ====−−−−++++ ====−−−−++++ 132 3344 532 321 321 321 xxx xxx xxx d) −−−−====++++−−−− ====−−−−++++ −−−−====++++−−−− 532 642 523 zyx zyx zyx e) ====++++−−−− ====++++++++ ====−−−−++++ 2 6 22 zyx zyx zyx f) ====++++++++++++ −−−−====−−−−−−−−−−−− ====++++++++++++ ====++++++++++++ 3 1 5432 10234 zwyx zwyx zwyx zwyx Respostas: a) � = 1 " � = 1 b) �� = −1; �� = −1; �� = 2 " �� = 2 c) �� = 1; �� = 2 " �� = 3 d) � = −1; � = 2 " $ = 0 e) � = 1; � = 2 " $ = 3 f) Sistema Impossível
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