Aula 06 - Simplificação Álgebra de Boole

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ELETRÔNICA DIGITAL
Engenharia Elétrica
Simplificações de funções
Prof. Marcos Antônio Salvador - marcos.salvador@ifsc.edu.br
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Simplificações de funções
Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito lógico ou de
uma tabela verdade, pode-se tentar sua redução, buscando um
circuito equivalente ao original, mas contendo menos elementos.
Além de facilitar a implementação do circuito, a simplificação
também tem vantagem no que diz respeito a velocidade operacional
dos circuitos, uma vez que as portas lógicas estão sujeitas a atrasos
de propagação.
Vamos estudar a simplificação por meio da álgebra de Boole...
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Simplificações de funções
Forma de soma-de-produtos
Os métodos de simplificação e projeto de circuitos lógicos que
serão estudados a seguir, requerem que a expressão booleana esteja
na forma soma-de-produtos. Alguns exemplos desse tipo de
expressão:
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐶
Vejamos as ferramentas da álgebra de Boole para simplificação...
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Tabelas de postulados, propriedades e 
teoremas da Álgebra de Boole
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Número Postulados
(1) 𝐴 ∙ 0 = 0
(2) 𝐴 ∙ 1 = 𝐴
(3) 𝐴 + 1 = 1
(4) 𝐴 + 0 = 𝐴
(5) 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴
(6) 𝐴 ∙ 𝐴 = 0
(7) 𝐴 + 𝐴 = 𝐴
(8) 𝐴 + 𝐴 = 1
Número Propriedades
(9) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴
(10) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
(11) 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶
(12) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
(13) 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
(14) 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶
Número Teoremas
(15) 𝐴 = 𝐴
(16) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
(17) 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵
(18) 𝐴 + 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴
(19) 𝐴 + 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
Morgan
Comutativa
Associativa
Distributiva
Complemento
Identidades
Auxiliares
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Dedução de algumas das 
identidades auxiliares
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Identidades
Auxiliares
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Simplificações de funções
Vejamos um exemplo...
Vamos simplificar a função: 
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S A B A C   
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Simplificações de funções
Inicialmente temos de verificar quais funções podem ser
simplificadas diretamente, sem influenciar em outras
funções.
É possível identificar que as funções NOR podem ser
simplificadas pelo Teorema de Morgan.
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S A B A C   
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Simplificações de funções
Aplicando o teorema de Morgan (17):
Agora, aplicando o complemento (15), obtém-se:
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S A B A C = A B A C      
V W V W  
S A B A C = A B A C      
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Simplificações de funções
Aplicando o teorema de Morgan (16):
Agora, aplicando o complemento (15), obtém-se:
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S A B A C= A B A C      
V W V W  
S A B A C = A B A C       
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Aplicando a distributiva (13):
Por fim, aplicando o postulado (6), obtém-se a expressão:
Comparando as expressões: desenhe ambos, confira a T.V.
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S A B A C = A A A B C       
S A A  A B C = A B C    
S A B A C    S A B C  
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Simplificações de funções
Comparando as tabelas...
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S A B A C    S A B C  
A B C A B C
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Simplificações de funções
Agora um exemplo contextualizado...
A tensão Vcc de um barramento de 15 V, está sendo monitorada
através da leitura proveniente de um conversor AD (Analógico-Digital).
A saída do conversor possui 4 bits (ABCD), e representa a tensão do
barramento em degraus de 1 V, sendo A o MSB. As saídas do
conversor são a entrada do circuito lógico, que por sua vez, deverá
gerar uma saída em nível alto enquanto a tensão for maior que 6 V.
Obtenha o circuito lógico que possibilite esse comportamento.
Vamos projetar o circuito lógico!
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Simplificações de funções
Sugestão de procedimento para projeto
1. Interprete o problema e construa a tabela verdade que o descreve;
2. Escreva o termo AND (produto) para os casos em que a saída for 1;
3. Escreva a expressão da soma-de-produtos para a saída;
4. Simplifique a expressão de saída, se for possível;
5. Implemente o circuito para a expressão final, simplificada.
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Solução...
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A B C D S
A tensão Vcc de um barramento de 15 V, está sendo monitorada
através da leitura proveniente de um conversor AD (Analógico-Digital).
A saída do conversor possui 4 bits (ABCD), e representa a tensão do
barramento em degraus de 1 V, sendo A o MSB. As saídas do
conversor são a entrada do circuito lógico, que por sua vez, deverá
gerar uma saída em nível alto enquanto a tensão for maior que 6 V.
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Solução...
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Dúvidas
Encaminhar no grupo da turma 
ou por email marcos.salvador@ifsc.edu.br
Material disponibilizado no SIGAA
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