Lista4

Prévia do material em texto

UEM – CCE – DMA
1689 – CA´LCULO NUME´RICO
PROF.: ESDRAS PENEˆDO DE CARVALHO
4.a Lista de Exerc´ıcios
1. Dada a func¸a˜o f(x) atrave´s da tabela:
x 0.10000 0.70000 1.00000 1.50000 1.90000
f(x) −2.20159 0.68633 2.00000 5.28047 9.40085
(a) Construa a tabela de DDF;
(b) Calcule f(0.5) por interpolac¸a˜o linear. Estime o erro cometido;
(c) Calcule f(0.85) por interpolac¸a˜o quadra´tica. Estime o erro cometido;
(d) Calcule f(1.7) por interpolac¸a˜o cu´bica. Estime o erro cometido.
2. Dados os valores funcionais:
x 0 0.2000 0.3000 0.5000 0.6000 0.8000 1.0000 1.4000 1.5000
f(x) 0 0.6067 0.9225 1.6044 1.9806 2.8294 3.8415 6.5294 7.3725
(a) Calcule f(0.32) e f(1.46) por interpolac¸a˜o linear. Estime o erro cometido;
(b) Interpole adequadamente atrave´s de uma polinomial do 2.◦ grau e use o polinoˆmio
para calcular f(0.7);
(c) Sabendo-se que f(x) = x3 + 2x+ sen(x), delimite o erro cometido no item anterior.
3. Os dados da tabela abaixo representam a temperatura T em ◦C e a pressa˜o de vapor Pv
de uma substaˆncia, em atm:
T 244 249.5 272 278.4 315 350 397
Pv 0.29 0.31 0.99 1.01 3.18 6.72 15.88
a) Para avaliar a pressa˜o de vapor em 275 ◦C, use uma polinomial interpoladora de
Lagrange do 2◦ grau;
b) Para avaliar a pressa˜o de vapor em 325 ◦C, use uma polinomial interpoladora de
Lagrange do 3◦ grau.
4. Dados os valores funcionais:
x 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000
f(x) 126.8094 16.9413 5.7405 2.9763 2.0000 1.5964 1.4280
1
(a) Calcule f(0.7) por interpolac¸a˜o quadra´tica. Estime o erro cometido;
(b) Calcule f(0.32) por interpolac¸a˜o linear. Estime o erro cometido;
(c) Usando uma polinomial interpoladora do 3.◦ grau, calcule f(0.65);
(d) Usando uma polinomial interpoladora do 2.◦ grau, calcule f(1.1);
(e) Sabendo-se que f(x) = 1
x3
+ x− ln(x), delimite o erro cometido no item anterior.
5. Da func¸a˜o f sa˜o conhecidos os seguintes valores:
x 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1
f(x) 1 4 1 −1 2 4 0
(a) Usando adequadamente uma polinomial interpoladora do 2.◦ grau, calcule f(5/12);
(b) Assumindo que
∣∣f ′′′(x)∣∣ ≤ 10, para 0 ≤ x ≤ 1, determine uma cota superior para o
erro cometido anteriormente.
6. Dados os valores funcionais:
x 5 7.5 10 12.5 15
f(x) 26.00 11.56 6.50 4.16 2.88
Pede-se calcular x tal que f(x) = 8.5.
7. A func¸a˜o y = ex e´ tabelada para x ∈[0, 1] com h = 0.01. Encontre o erro ma´ximo para
uma interpolac¸a˜o linear.
8. O calor espec´ıfico da a´gua em func¸a˜o da temperatura varia de acordo com a tabela abaixo:
T (◦C) 30 35 40
c(cal/g◦C) 0.99826 0.99818 0.99828
Qual e´ o calor espec´ıfico da a´gua a 37◦C?
9. Suponha que se queira construir uma tabela para a func¸a˜o y = log10 x no intervalo [1, 10],
de tal maneira que a interpolac¸a˜o linear ao ser aplicada nessa tabela fornec¸a resultados
com seis casas decimais corretas. Determine um valor de h de tal modo que a tabela
possa ser constru´ıda.
10. A raiz de uma func¸a˜o pode ser aproximada pela raiz do seu polinoˆmio de interpolac¸a˜o.
Use uma para´bola para determinar a raiz da func¸a˜o tabelada a seguir:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 0.841 0.909 0.141 −0.757 −0.959 −0.279
2
11. Use uma para´bola para determinar uma aproximac¸a˜o para a u´nica raiz positiva da equac¸a˜o
4 cos(x)− ex = 0.
12. Determine, usando interpolac¸a˜o inversa, uma aproximac¸a˜o para uma raiz real de:
(a) x3 + 0.5x2 − 2.5x− 1.5 = 0;
(b) lnx+ 4x− 3 = 0.
13. Os dados da tabela a seguir representam a velocidade de um mo´vel em relac¸a˜o ao tempo
t(s) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v(m/s) 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2
Deseja-se calcular v(0.35). Se o movimento e´ parabo´lico, e´ necessa´rio utilizar todos os
pontos da tabela? Justifique.
14. Dada a seguinte tabela de valores de uma func¸a˜o f
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f(x) 0.70010 0.40160 0.10810 −0.17440 −0.43750
Supondo que f seja uma func¸a˜o invers´ıvel, calcule x¯ tal que f(x¯) = 0.
15. Dada a seguinte tabela de valores
x −2 −1 0 1 2 3
P (x) −7 0 1 α 9 28
Determine P (1) sabendo que P (x) e´ um polinoˆmio de grau 3.
16. Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma func¸a˜o em um ponto x0, quando
na˜o se conhece a expressa˜o anal´ıtica da mesma, e´ usar uma tabela para formar um
polinoˆmio que aproxime a func¸a˜o, derivar esse polinoˆmio e avaliar sua derivada em x =
x0. Dada a tabela:
x 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65
f(x) −1.52 1.51 1.49 1.49 1.44 1.42 1.39
calcule um valor aproximado para f ′(0.50) usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o de grau
2.
17. O gra´fico de uma func¸a˜o f e´ quase um segmento de para´bola atingindo seu extremo valor
em um intervalo (x0, x1). Os valores funcionais fi = f(xi) sa˜o conhecidos em abcissas
equidistantes x0, x1, x2. O valor extremo e´ procurado.
3
a) Use interpolac¸a˜o quadra´tica para obter a coordenada x do extremo;
b) As durac¸o˜es dos dias em Lulea, na Sue´cia, sa˜o dadas por:
1 de junho: 20h 56min
16 de junho: 22h 24min
1 de julho: 22h 01min
16 de julho: 20h 44min
Use o resultado do item anterior para determinar qual e´ o dia mais longo em Lulea
e qual e´ sua durac¸a˜o. Estime o erro cometido.
18. Na tabela a seguir, esta´ assinalado o posicionamento de um oˆnibus partindo do marco
zero de uma rodovia federal
tempo(min) 60 80 100 120 140 160 180
posic¸a˜o(km) 76 95 112 138 151 170 192
Pede-se os poss´ıveis posicionamentos do oˆnibus para os tempos de 95 min, 130 min e 170
min. Use reta e para´bola.
19. Um paraquedista realizou seis saltos, saltando de alturas distintas em cada salto. Foi
testada, de acordo com a altura, a precisa˜o de seus saltos em relac¸a˜o a um alvo de raio
de 5 metros. A distaˆncia apresentada na tabela a seguir e´ relativa a` circufereˆncia.
Salto Altura(m) Distaˆncia do alvo(m)
1 1500 35
2 1250 25
3 1000 15
4 750 10
5 500 7
Levando em considerac¸a˜o os dados acima, a que prova´vel distaˆncia do alvo cairia o
paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850 m? Use reta e para´bola.
20. Considere a func¸a˜o f(x) = cos x para x ∈ [0, pi]. Determine o menor nu´mero de pontos a
ser considerado no intervalo dado para que o erro ma´ximo da aproximac¸a˜o de f(x) por
um polinoˆmio interpolador nesses pontos seja inferior a 0.5.
4