Fis1C Aula 013 13 versaoM

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Aula 013 1 
CAPÍTULO 8 
gravitação 
OBS: Esse capítulo está no volume 2 das obras: 
- Fundamentos de Física, de Halliday, Resnick e Walker 
- Física, de Sears, Zemansky, Young e Freedman. 
Aula 013 2 
8.1 – Lei da Gravitação Universal : 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
Qualquer corpo no universo atrai todos os outros, de acordo com 
uma força gravitacional que depende diretamente das massas 
dos corpos (m1, m2) e inversamente da distância entre os corpos 
ao quadrado (r1-2
 2). 
𝑭𝒈𝒓𝒂𝒗 = 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒓𝟏−𝟐
𝟐 
Constante universal de gravitação 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 m
3
kg∙s2
 
Aula 013 3 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
𝒓𝟏−𝟐 
𝒎𝟏 
𝒎𝟐 
𝑭𝒈_𝟏→𝟐 
𝑭𝒈_𝟐→𝟏 𝑭𝒈_𝟏→𝟐 = 𝑭𝒈_𝟐→𝟏 
Podemos considerar objetos massivos como partículas quando a 
distância entre eles é muito maior que seus respectivos tamanhos 
RT ≈ 6.370 km RS ≈ 696.000 km 
r ≈ 150.000.000 km 
Aula 013 4 
8.2 – Princípio da superposição : 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
A atração gravitacional resultante sobre um corpo é a soma 
vetorial de todas as forças gravitacionais atuando naquele corpo. 
𝑭𝒈_𝑹𝒆𝒔 = 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝒊
𝒓𝟏−𝒊
𝟐
𝒊
 
𝒎𝟏 𝒓𝟏−𝟐 𝒎𝟐 
y 
𝒓𝟐−𝟑 
x 𝜽 
𝒎𝟑 
𝒓𝟏−𝟑 
𝑭𝒈𝟐 = −𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒓𝟏−𝟐
𝟐 𝒊 − 𝑮 ∙
𝒎𝟐 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟐−𝟑
𝟐 𝒋 
𝒓𝟏−𝟑 = 𝒓𝟏−𝟐 𝟐 + 𝒓𝟐−𝟑 𝟐 
Aula 013 5 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
𝒎𝟏 𝒓𝟏−𝟐 𝒎𝟐 
y 
𝒓𝟐−𝟑 
x 𝜽 
𝒎𝟑 
𝒓𝟏−𝟑 
𝑭𝒈𝟏 = 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒓𝟏−𝟐
𝟐 + 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟏−𝟑
𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 − 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟏−𝟑
𝟐 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒋 
𝑭𝒈𝟑 = −𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟏−𝟑
𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝑮 ∙
𝒎𝟐 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟐−𝟑
𝟐 + 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟑
𝒓𝟏−𝟑
𝟐 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒋 
Aula 013 6 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
8.3 – Gravitação próximo da superfície da Terra : 
RT ≈ 6.370 km 
h 𝑭𝒈 
MT ≈ 6x10
24 kg 
𝒎 
𝑭𝒈 = 𝑮 ∙
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒓𝟏−𝟐
𝟐 
𝑭𝒈 = 𝑮 ∙
𝒎 ∙ 𝑴𝑻
𝒉 + 𝑹𝑻 𝟐
 
Aproximamos a distribuição de 
massa da Terra como se toda 
sua massa estivesse no seu 
centro  𝒓 = 𝒉 + 𝑹𝑻 
Aula 013 7 
Como estamos considerando o caso próximo da superfície da 
Terra, aqui sempre teremos 𝒉 ≪ 𝑹𝑻 de forma que 𝒓 ≅ 𝑹𝑻 
CAPÍTULO 8 – Gravitação 
𝑭𝒈 = 𝒎 ∙
𝑮 ∙ 𝑴𝑻
𝑹𝑻
𝟐 𝒈 ≈ 𝟗, 𝟖 m/s
2 
Quanto mais longe da superfície terrestre estiver o corpo, maior 
será a importância de 𝒉, de forma que a aceleração gravitacional 
causada pela Terra não será mais igual à 𝒈. 
Local Altitude (km) agravitacional (m/s
2) 
Monte Everest 8,8 9,80 
Balão mais alto já tripulado 36,6 9,71 
Órbita do ônibus espacial 400 8,70 
Satélite de comunicações 35.700 0,25 
Aula 013 8 
CAPÍTULO 9 
Dinâmica do 
movimento 
circular 
Aula 013 9 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
• Velocidade: 
– Magnitude: constante = v 
– Direção sempre tangente ao 
círculo 
• Aceleração: 
– Magnitude: 
– Dirigida ao centro 
• Período: 
–Tempo para uma revolução 
completa da partícula 
r
v
ac
2

vac


9.1 – Relembrando o movimento circular uniforme... : 
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝑹
 
𝑻 =
𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹
𝒗
 
• Aceleração: 
–Magnitude: 
–Dirigida ao centro 
 
• Força: 
–Da segunda lei de Newton 
 
–Magnitude 
 
–Dirigida ao centro 
Aula 013 10 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
r
v
ac
2

vFres


resc Fa

||
9.2 – Força centrípeta : 
𝑭𝒓𝒆𝒔 
𝑭𝒓𝒆𝒔 
𝑭𝒓𝒆𝒔 
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝑭𝒄 
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝑹
 
vac


𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝒎 ∙ 𝒂 
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒄 = 𝒎 ∙
𝒗𝟐
𝑹
 
Aula 013 11 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
QUEM é a força centrípeta? 
 A Força centrípeta NÃO É uma “nova espécie” de 
força 
 
 O termo “centrípeta” é um adjetivo dado à uma 
força que mantém um corpo em movimento circular 
com aceleração centrípeta 
 
𝑭𝒄 = 𝒎 ∙
𝒗𝟐
𝑹
 
Aula 013 12 
gF

gF


Qual é a velocidade de um satélite s que está em órbita circular 
a uma distância R do centro de um planeta P ? 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
9.3 – Exemplos de aplicação da força no movimento circular : 
9.3.1 – Satélite em órbita: 
órbita circular  Fres = Fcentrípeta 
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒄 = 𝒎 ∙
𝒗𝟐
𝑹
 
Força gravitacional faz o papel de 
força centrípeta 
𝒎 
𝑴 
𝑮 ∙
𝒎 ∙ 𝑴
𝑹𝟐
= 𝒎 ∙
𝒗𝟐
𝑹
 
Aula 013 13 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
𝑮 ∙
𝑴
𝑹
= 𝒗𝟐 𝒗 = 𝑮 ∙
𝑴
𝑹
 (não depende de m !) 
9.3.2 – Carro no loop: 
(exemplo real em http://www.youtube.com/watch?v=pFC5snGZeS0) 
Um dublê precisa fazer uma cena para um filme de ação onde o 
carro que ele pilota deve completar um loop de raio R. 
a) Determine a Fres sobre o carro 
quando ele estiver na base do loop 
e no topo do loop. 
b) Calcule a velocidade mínima vmín 
que o carro deve ter para completar 
o loop sem cair. 
Aula 013 14 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
𝑷 
𝑵 𝑷 
𝑵 
No topo: 𝑭𝒓𝒆𝒔 = −𝒎 ∙ 𝒈 − 𝑵 = −𝑭𝒄 
𝑵+𝒎 ∙ 𝒈 =
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
𝑹
 
Na base: 
𝑭𝒓𝒆𝒔 = −𝒎 ∙ 𝒈 + 𝑵 = 𝑭𝒄 
𝑵−𝒎 ∙ 𝒈 =
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
𝑹
 
𝒙 
𝒚 
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 
Comparando as relações no topo e na base, vemos 
que se o carro mantém v constante então a força N 
deve ser menor no topo e maior na base do loop. 
Aula 013 15 
CAPÍTULO 9 – Dinâmica do movimento circular 
Quando o carro estiver na iminência de perder contato com a 
pista, o carro estará prestes a sair da trajetória circular e não 
conseguirá mais fazer o loop. Então a velocidade do carro não 
pode ser menor do que aquela correspondente ao caso onde N 
= 0 no topo do loop. 
𝑵+𝒎 ∙ 𝒈 =
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
𝑹
 𝟎 +𝒎 ∙ 𝒈 =
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
𝑹
 
𝒗 = 𝒈 ∙ 𝑹 (não depende de m !)