Física 1-Mecânica- Terceira prova resolvida

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Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Terceira Prova de F´ısica Geral e Experimental I - A (IAD221) − T01 − 1/2015
Prof. Angelo Marconi Maniero
Data: 11 de dezembro de 2015
Resoluc¸a˜o Comentada
Observac¸o˜es:
• LEIA AS QUESTO˜ES ATENTAMENTE
• e´ proibido usar telefone celular, calculadora e/ou similares e desgrampear as folhas da prova;
• respostas sem justificativas ou que na˜o incluam os ca´lculos necessa´rios na˜o sera˜o consideradas;
• esta prova vale 12,0 (doze) pontos;
• prova individual e sem consulta;
• os ca´lculos devem ser explicitados;
• A prova pode ser respondida a la´pis.
• Dados de valores de momentos de ine´rcia:
casca esfe´rica de raio R e massa M , eixo passando pelo centro: I =
2
3
MR2
barra delgada de comprimento L e massa M , eixo passando pelo centro: I =
1
12
ML2
barra delgada de comprimento L e massa M , eixo na extremidade: I =
1
3
ML2
cilindro ou disco macic¸o de raio R e massa M , eixo passando pelo centro: I =
1
2
MR2
esfera macic¸a de raio R e massa M , eixo passando pelo centro: I =
2
5
MR2
Questa˜o n0 01 − (2,0 pontos) O vetor posic¸a˜o de uma
part´ıcula cuja massa e´ de 3 kg e´ dado por ~r = 4ˆı + 3t2 ˆ,
onde ~r e´ expresso em metros e t em segundos.
(a) Determine o momento angular da part´ıcula em
relac¸a˜o a` origem. Justifique a sua resposta.
(b) Determine o torque atuante na part´ıcula em relac¸a˜o
a` origem. Justifique a sua resposta.
Questa˜o n0 02 − Uma bola e´ presa a uma extremidade
de um pedac¸o de fio inextens´ıvel. Voceˆ segura a outra
extremidade do fio e gira a bola descrevendo um c´ırculo
em torno da sua ma˜o.
(a) (1,0 ponto) Se a bola move-se a uma velocidade
de intensidade constante, o seu momento linear ~p e´
constante? Justifique a sua resposta.
(b) (1,0 ponto) Nas condic¸o˜es do item anterior, o seu
momento angular ~` e´ constante? Justifique a sua
resposta.
(c) (1,0 ponto) Ainda nas mesmas condic¸o˜es, o que
se pode afirmar do torque ~τ? Justifique a sua
resposta.
Questa˜o n0 03 − (2,0 pontos) Se as calotas polares
derretessem por completo devido ao aquecimento global,
o gelo derretido se redistribuiria pela superf´ıcie terrestre.
Essa variac¸a˜o faria com que a durac¸a˜o do dia
(a) aumentasse;
(b) diminu´ısse;
(c) permanecesse inalterada.
Considere a Terra um sistema isolado. Justifique a sua
resposta.
Questa˜o n0 04 − (2,0 pontos) Um cilindro so´lido uni-
forme e uma esfera so´lida uniforme teˆm massas iguais.
Ambos rolam sem deslizamento em uma superf´ıcie hori-
zontal. Se suas energias cine´ticas sa˜o as mesmas, enta˜o
(a) a intensidade da velocidade de translac¸a˜o do cilin-
dro e´ maior que a da esfera.
(b) a intensidade da velocidade de translac¸a˜o do cilin-
dro e´ menor que a da esfera.
(c) a intensidade da velocidade de translac¸a˜o dos dois
corpos e´ mesma.
(d) (a), (b) ou (c) podem estar corretas, dependendo
dos raios dos corpos.
Justifique a sua resposta.
2
Questa˜o n0 05 − Uma bolinha de gude com raio r rola
a partir do repouso do topo de uma grande esfera com
raio R, na qual esta´ firmemente fixada.
(a) (2,0 pontos) Presumindo que a bolinha de gude
rola sem deslizar enquanto se mante´m em contato
com a esfera, mostre que o aˆngulo a partir do topo
da esfera com o ponto onde a bolinha perde contato
com a esfera e´
θ = arccos
(
10
17
)
≈ 53, 97◦
(b) (1,0 ponto) Por que na˜o e´ realista admitir que a
bolinha rola sem deslizamento ate´ perder contato
com a superf´ıcie da esfera? Justifique a sua re-
sposta.
Calvin e Haroldo
3
RESOLUC¸A˜O
Questa˜o n0 01
Temos uma part´ıcula de massa igual a 3 kg cuja equac¸a˜o de movimento e´ dada por
~r(t) = 4ˆı + 3t2 ˆ (1)
O momento angular de uma part´ıcula e´ dado por
~`= ~r × ~p , (2)
onde ~r e´ o seu vetor posic¸a˜o e ~p e´ o seu momento linear. O torque atuante sobre a part´ıcula e´ dado por
~τ =
d~`
dt
(3)
(a) Expressando o momento angular da part´ıcula:
~` = ~r × ~p = ~r ×m~v = m~r × ~v (4)
= m~r × d~r
dt
Calculando
d~r
dt
temos que
d~r
dt
=
d
dt
(
4ˆı + 3t2 ˆ
)
= 6tˆ (5)
Assim, o momento angular e´ dado por
~`= (3, 0)
(
4ˆı + 3t2 ˆ
)× (6tˆ) (6)
mas,
ıˆ× ˆ = kˆ e ˆ× ˆ = ~0 (7)
portanto,
~`= (72, 0t J · s)kˆ (8)
(b) E o torque e´ enta˜o
~τ =
d
dt
~`=
d
dt
(72, 0t)kˆ (9)
= (72, 0 N ·m)kˆ
Questa˜o n0 02
(a) Na˜o.
A bola descreve uma movimento circular e uniforme. Assim, a intensidade de sua velocidade e´ sempre constante,
ou seja,
|~v| = constante (10)
mas,
~v = na˜o e´ constante (11)
Ou seja, trata-se de um movimento cuja a intensidade da velocidade e´ constante, pore´m e´ acelerado de modo a
modificar a direc¸a˜o da part´ıcula, e portanto a sua velocidade ~v, pois a resultante das forc¸as na˜o e´ nula. Deste
modo
~p = m~v = na˜o e´ constante (12)
4
(b) Sim.
No movimento circular e uniforme, o vetor ~r varia, mas a sua intensidade e´ sempre constante. Ou seja,
|~r| = constante (13)
Como vimos no item anterior, o momento linear da part´ıcula varia, mas a sua intensidade e´ sem constante.
|~p| = |m~v| = constante (14)
Ale´m disso, no movimento circular e uniforme temos que os vetores ~r e ~p sa˜o sempre perpendiculares. Deste
modo, se o movimento da part´ıcula estiver contido no plano xOy, enta˜o o momento angular da part´ıcula, dado
pelo produto vetorial,
~`= ~r × ~p (15)
estara´ direcionado no eixo +Oz, cujo mo´dulo sera´
|~`| = |~r × ~p| = |~r||~p|sen
(pi
2
)
= constante (16)
Portanto, o vetor ~` e´ sempre constante.
(c) E´ nulo.
Conforme vimos anteriormente, o momento angular da part´ıcula ~` e´ constante, enquanto que o momento linear
da part´ıcula ~p e´ varia´vel. Se o momento varia enta˜o existe uma forc¸a resultante atuando na part´ıcula. Embora
exista forc¸a resultante, na˜o ha´ torque resultante, pois ~r e ~F sa˜o paralelos. Pode-se tambe´m concluir de outra
modo que se o momento angular da part´ıcula e´ constante e´ porque o torque resultante sobre ela e´ nulo.
Questa˜o n0 03
A resposta e´ (i). Pois, na auseˆncia de quaisquer torques externos, o momento angular da Terra
`z = Iωz (17)
permanece constante. O gelo derretido se deslocaria dos po´los para a regia˜o do equador, ou seja, distante do eixo de
rotac¸a˜o do planeta Terra e, portanto, o momento de ine´rcia I da Terra aumentaria levemente. Logo, a velocidade
angular ωz diminuiria suavemente. Mas como
ωz =
2pi
T
(18)
onde T e´ o tempo necessa´rio para uma volta em torno de seu eixo, enta˜o o dia seria um pouco mais longo.
Questa˜o n0 04
A energia cine´tica de um corpo e´ a soma das energias cine´ticas de translac¸a˜o e de rotac¸a˜o. Assim, podemos expressar
a energia cine´tica do cilindro adotando M a sua massa e R o seu raio, como
Kcilindro =
1
2
Mv2cilindro +
1
2
Icilindroω
2
cilindro
=
1
2
Mv2cilindro +
1
2
(
1
2
MR2
)(vcilindro
R
)2
=
3
4
Mv2cilindro
No caso da esfera, vamos adotar que a sua massa seja M e o raio r.
Kesfera =
1
2
Mv2esfera +
1
2
Iesferaω
2
esfera
=
1
2
Mv2esfera +
1
2
(
2
5
Mr2
)(vesfera
r
)2
=
7
10
Mv2esfera
5
Como as energias cine´ticas sa˜o iguais, temos que
Kcilindro = Kesfera =⇒ vcilindro =
√
14
15
vesfera < vesfera
De forma que o item correto e´ o (b).
Questa˜o n0 05
Seja r o raio da bola de gude, m a sua massa, R o raio da esfera grande, e v a velocidade da bola de gude que perde
o contato com a superf´ıcie. Na figura, o numeral 1 denota a configurac¸a˜o inicial do sistema bola de gude e esfera e
o numeral 2 e´ a configurac¸a˜o quando a bola de gude separa da esfera. Podemos usar a conservac¸a˜o da energia para
relacionar a energia potencial da bola de gude como a soma de sua energia cine´tica de rotac¸a˜o e energiacine´tica de
translac¸a˜o. Vamos escolher como potencial nulo da energia potencial demonstrado no diagrama, ou seja, no ponto
em que a bola perde o contato com a esfera..
(a) Aplicando a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica
∆U + ∆K = 0 (19)
ou ainda
U2 − U1 +K2 −K1 = 0 (20)
mas, U2 = K1 = 0. Assim,
−mg (R+ r − (R+ r) cos(θ)] + 1
2
mv2 +
1
2
ω2 = 0 (21)
ou
−mg [(R+ r) (1− cos θ)] + 1
2
mv2 +
1
2
I
v2
r2
= 0 (22)
mas,
I =
2
5
mr2 (23)
enta˜o,
−mg [(R+ r) (1− cosθ)] + 1
2
mv2 +
1
2
(
2
5
mr2
)
v2
r2
= 0 (24)
ou
−mg [(R+ r) (1− cosθ)] + 1
2
mv2 +
1
5
mv2 = 0 (25)
resolvendo para v2
v2 =
10
7
g (R+ r) (1− cos θ) (26)
6
No momento em que a bola se desprende da esfera, a sua forc¸a normal se anula. Ale´m disso, apenas a componente
do peso radial contribui para a forc¸a resultante radial (centr´ıpeta). Portanto,
mg cos θ = m
v2
R+ r
(27)
ou ainda,
cos θ =
v2
g(R+ r)
(28)
substituindo para v2, vem que
cos θ =
1
g(R+ r)
[
10
7
g(R+ r)(1− cosθ)
]
(29)
=
[
10
7
(1− cosθ)
]
(30)
resolvendo para θ, vem
θ = cos−1
(
10
17
)
(31)
quod erat demonstrandum
(b) A forc¸a de atrito e´ sempre menor que a forc¸a de atrito esta´tica, ou seja, µs multiplicada pela forc¸a normal da
bolinha. Contudo, intensidade da forc¸a normal diminui para zero ate´ o ponto em que a bolinha perde o contato
com a esfera, significando que a forc¸a de atrito deve ser menor do que a forc¸a necessa´ria para manter a bolinha
rolando sem deslizar antes de deixar a esfera.