FisXP1-Exp08

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
I. TÍTULO: DECOMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
(LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS - I)
(Colaboração com o Prof. Emerson Guerra)
II. MOTIVAÇÃO E REFERENCIAL TEÓRICO:
Neste experimento estudaremos um problema físico básico em Mecânica: o lançamento de 
projéteis sob os quais atuam apenas a força gravitacional.
Este problema foi (um dos muitos) estudado por Galileu, que propôs um princípio, 
denominado "Princípio de Independência dos Movimentos", o qual podemos resumir na seguinte 
declaração:
"Dado um movimento complexo, este pode ser desdobrado na ocorrência 
simultânea de dois ou mais movimentos independentes que se compõem definindo 
a trajetória observada."
O Princípio da Independência dos Movimentos está contido na formulação da Mecânica 
Newtoniana, se relembramos que a Equação Fundamental da Dinâmica, R = dp/dt, é de caráter 
vetorial, tal que se verificam igualdades COMPONENTE a COMPONENTE entre os vetores 
envolvidos. Logo, é possível desmembrar os movimentos segundo a dinâmica em cada uma das 
direções do espaço tridimensional.
Consideremos então a Figura 1, onde esquematizamos um lançamento de uma esfera, de 
massa m, por uma canaleta. A esfera é liberada no repouso (Energia mecânica sem termo cinético), 
porém sob ação do campo gravitacional da terra. Uma vez livre, ela se desloca pela canaleta e é 
lançada na horizontal. Neste processo, ela é acelerada e após seu lançamento realiza uma dada 
trajetória até se chocar com um anteparo (no nosso esquema, o anteparo é horizontal, mas nada 
impedia que fosse vertical).
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Figura 1: Lançamento de uma esfera numa canaleta na vertical.
Durante sua trajetória fora da canaleta, se desprezamos a resistência do ar (seja lá por que 
motivo!), temos que sobre a esfera atua apenas a força-peso, dada por:
p
→
= m g
→
Ao atingir o anteparo, a esfera terá se distanciado de um certo intervalo "A" com relação ao 
ponto de lançamento. Chamaremos a esta distância de "Alcance" da esfera.
Seja agora o fato bruto, demonstrado em sala pelo seu Professor: quando mudamos o ponto de 
liberação da esfera na canaleta, muda o alcance da esfera. Vamos construir um fato científico.
No ponto de lançamento, supomos que a velocidade da esfera consiste apenas de uma 
componente HORIZONTAL. Logo, no termo geral:
V
→
(2) = V0x x
∧
 + V0y y
∧
,
temos que V0y = 0.
Além disso, sobre a esfera em movimento só atua a sua força-peso, que está na direção 
vertical com sentido "para baixo". SÓ EXISTE, PORTANTO, COMPONENTE DE FORÇA NA 
VERTICAL E NÃO NA HORIZONTAL. Logo, SÓ EXISTE ACELERAÇÃO NA DIREÇÃO 
VERTICAL. 
Desta forma, podemos considerar o movimento de queda da esfera como composto de um 
MRU na horizontal, e um MRUV, com aceleração "g", na vertical, compondo-se para produzir a 
trajetória final no espaço.
Matematicamente:
am=
→
R
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Em termos das componentes:
→
R = [Rx , Ry]
v = [vx, vy] = [v(2) , 0]
a = [ax, ay]
Logo, componente a componente, temos:
Rx = m ax = 0 ∴ ax = 0 ⇒ vx(t)= v(2) ∀ t
Ry = m ay ⇒ p = m g ∴ vy(t)= g t ∀ t
Ou ainda, integrando em relação ao tempo (supondo a origem das posições no ponto de 
lançamento):
x(t) = v(2) t
y(t) = 
g
2
 t2
Estas são as chamadas "Equações paramétricas" do problema. Para obtermos equação de 
trajetória y(x), temos que eliminar o parâmetro t, tal que (mostre!):
2
2
)2(
x
v2
)x(y g=
Que curva geométrica pode ser construída por esta equação?
Como obtivemos uma relação entre coordenadas do espaço, “y” sendo função de “x”, ela 
define a trajetória da esfera: é uma parábola (consulte um livro de Geometria Analítica).
Para que a trajetória fique bem definida, resta-nos determinar v(2), já que “g” tem valor 
conhecido. Considere o valor nominal gN = 9,879 m/s2 ± 0,001 m/s2.
Neste experimento, nossos objetivos são:
1) Traçar a curva que expressa a trajetória de uma esfera lançada por uma canaleta;
2) Verificar se esta trajetória pode ser assumida como parabólica, LINEARIZANDO a 
relação y(x);
3) Determinar a velocidade de lançamento horizontal v(2). 
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III. EQUIPAMENTO: 
1) Uma canaleta.
2) Um fio de prumo.
3) Papel milimetrado;
4) Papel carbono;
5) Esferas metálicas;
6) Paquímetro;
7) Régua ou trena.
Figura 2: Esquema da montagem a ser utilizada
# DETALHES IMPORTANTES:
1- Verifique se o lançamento e o movimento estão planares,
2- Verifique se o anteparo vertical perpendicular ao plano de trajetória, tal que a colisão seja frontal.
 
IV- PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
No caso em questão, vamos permitir que o anteparo da esfera seja vertical. Logo, para uma 
altura de lançamento fixa, h1 (vide Figura 3) temos que se o anteparo dista “x” do ponto de 
lançamento, então o ponto atingido no anteparo vertical será “y”. 
Figura 3: Modelo da montagem a ser utilizada
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Estas coordenadas MEDIDAS yM e xM estão previstas se relacionar por:
2
M2
)2(
M v2
xgy =
 
g
v2
M
2
(2)2
M yx =
Note que a relação acima pode ser LINEARIZADA, sendo escrita como Y = A + B X, em que 
definimos:
X = yM,
Y = xM2,
A = 0 (coeficiente linear) e
B = (2/g) v(2)2 (coeficiente angular).
Atenção: não confunda os significados entre x e y (em letra minúscula) com X e Y (em letras 
maiúsculas). Estas ultimas grandezas (X e Y) se prestam para linearizar a relação x(y). 
Com base no que foi discutido, sugerem-se os seguintes procedimentos:
1) Escolha uma altura de lançamento h1 e lance a esfera. 
2) Verifique a posição em que ela atinge o solo e divida, usando uma régua milimetrada (ou trena), 
o espaço entre esta posição e a de saída da canaleta (em linha reta) em 10 (dez) posições xi, i∈
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A incerteza em xi é a incerteza instrumental da régua milimetrada: δ
xi = 0,5 mm.
3) Fixe uma folha de papel milimetrado no anteparo vertical e sobre ela uma folha de papel 
carbono.
4) Posicione o anteparo frontalmente ao lançamento da esfera, em uma posição xi escolhida, 
registrando esta seleção.
5) Meça a altura h1 e MANTENHA-A CONSTANTE para todas as medidas. 
6) Libere a esfera no ponto indicado (h1) e permite sua colisão frontal com o anteparo. Realize este 
ensaio três vezes, pelo menos (lançamentos j = 1, 2, 3, ..., N).
7) Identifique o conjunto de pontos { yi,j } marcado no anteparo como relacionados à coordenada xi 
(“yi,1”, “yi,2”, “yi,3”, etc). A incerteza em CADA yi,j é a incerteza da marcação do papel 
milimetrado: δyi,j = 0,5 mm ou então metade da largura da mancha formada no impacto.
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8) Mude o anteparo de posição, para outro valor de xi, e repita os passos 5 a 6, até que todas as dez 
posições xi tenham sido usadas.
9) Obtenhao valor médio de cada “yi”: 
∑
=
=
N
j
jii yN
y
1
,
1
.
NOTE QUE a incerteza em yi é a incerteza do valor médio: ys .
10) Construa a seguinte tabela:
Tabela 1: Coordenadas da trajetória de uma esfera lançada
(não esqueça as incertezas!)
xi yi (valor médio!!)
x1 y1
x2 y2
x3 y3
( . . . ) ( . . . )
x10 y10
11) Com base na Tabela 1, construa a tabela auxiliar abaixo (“Tabela 2):
Tabela 2: Tabela auxiliar para estudo da trajetória
de uma esfera lança por uma canaleta.
(não esqueça as incertezas!)
X = yi (médio!!) Y = (xi)2
X1 Y1 = (x1)2
X2 Y2
X3 Y3
( . . . ) ( . . . )
X10 Y10
OBS: A incerteza de Y = xi2 é δY = 2 xi δxi
11.a) Construa o GRÁFICO 1: x -vs- y, em papel milimetrado e avalie sua forma. 
11.b) Construa o GRÁFICO 2: X -vs- Y (atenção: valores de yi no eixo das abscissas e de xi 2 
no das ordenadas!) em papel milimetrado e obtenha os coeficientes linear e angular e deles 
obtenha o valor de v(2) e sua incerteza:
v(2)2=g/2B
B2
gv )2( =
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


 

 +
= 2)2( B
δg BδB g
4
1
B2
gδv
12) Assumindo o modelo de que a curva é uma parábola, discuta seus resultados considerando os 
parâmetros características de uma parábola e a situação “física” estudada.
Seus resultados devem ser apresentados em um relatório com o seguinte formato:
1. TÍTULO
2. OBJETIVO
3. DESCRIÇÃO DO EQUIPAMENTO (lista de material e desenho das montagens)
4. REFERENCIAL TEÓRICO (Conceitos relevantes e dedução das equações)
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS (ETAPAS DE MEDIDA)
6. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS (tabelas, cálculo dos valores, etc...)
7. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS (avaliação de valores obtidos, comparações com o apresentado 
no referencial teórico, discussão sobre as características de uma parábola, etc.)
8. CONCLUSÃO
9. OBSERVAÇÕES FINAIS
10. BIBLIOGRAFIA