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Teoremas de Green 0.1 Conjuntos compactos no Rn Antes de tudo, recordamos uma nomenclatura bem utilizda para intervalos dos números reais R. Um intervalo do tipo (a, b) é chamado de aberto. Se for da forma[a, b] é um compacto. Mais ainda, um do tipo (a,+∞) é ilimitado, etc. Estes conceitos são naturalmente estendido pra subconjuntos de R2. Vejamos. Um disco aberto em R2 com centro em (x0, y0) e de raio r > 0 é o conjunto D○ = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 < r}. Acompanhando a notação, o disco fechado com mesmo centro e mesmo raio é o conjunto D = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r}. (x ,y ) 0 0 r Disco aberto (x ,y ) 0 0 r Disco fechado O bordo( ∂) destes dois conjuntos é um círculo (não confundir com discos que são objetos geométricos bidimensionais). Usualmente, o bordo de uma figura em R2 é unidimensional, uma linha. Os bordos dos discos acima é o conjunto ∂D = C = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 = r}. Diz-se que Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto se para qualquer (x, y) ∈ Ω existe um disco centrado em (x, y) inteiramente contido em Ω. 1 2 W Aberta W Fechada Diz-se que um conjunto Ω ⊂ R2 é fechado se seu conjunto complementar em R2 é aberto. Intuitivamente falando, um conjunto é fechado quando ele contém os pontos do seu bordo. Como ilustração, sugerimos graficamente nos desenhos acima, as duas situações. A região à esquerda é aberta e a região indicada à direita é fechada. Um conjunto Ω ⊂ R2 é limitado se ele está contido num disco centrado na origem e de raio R > 0. Ver figuras. W R (0,0) Limitada W (0,0) Ilimitada Definição 0.1. Uma região Ω ⊂ R2 é compacta se Ω é fechada limitada. W Compacta Iremos considerar regiões compactas cujos bordos podem ser parametrizados por curvas que possuem derivadas (exceto nos pontos de �quina�). Diremos que o bordo 0.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) 3 está parametrizado positivamente se no percurso feito a região limitada pelo bordo fica à esquerda. W Compacta Exercício 0.1. Classifique a região plana comparando-a com cada definição dada acima (aberta, fechada, limitada, etc). Parametrize o bordo de cada região (se existir) de modo que a região fique do lado esquerdo do percurso. ¬ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y}. Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y}. ® Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y < 1}. ¯ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}. ° Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x < y}. ± Ω = R2. ◻ 0.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) Seja Ω um aberto de R2. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são objetos funcionais. O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens. Observe que as funções de F(Ω,R) são aquleas com mesmo domínio Ω. E mais, os elementos de F(Ω,R) são as funções com as quais trabalhamos ao longo do curso. Por exemplo, se Ω = R2 − {(0,0)} (R2 perfurado na origem), a função f ∶ Ω→ R, f(x, y) = x2ye4x−y − sen(xy), pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação f(x0, y0). A função g ∶ Ω→ R, g(x, y) = 1 x2 + y2 , também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω podemos avaliar g(x0, y0). Entretanto, a função h ∶ Ω→ R, h(x, y) = xy(x − 1)3 + y4 4 não pertence a F(Ω,R) pois (1,0) ∈ Ω mas não podemos fazer a avaliação de h(x, y) neste ponto. O domínio de h não é Ω. O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função de F(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função. Por exemplo, se F(Ω,R) é o conjunto descrito acima e f e g, são as funções já citadas, nós temos (f + g)(x, y) =∶ x2ye4x−y − sen(xy) + 1 x2 + y2 . Claro, (f + g) ∈ F(Ω,R). Agora, se λ = −4, a função λg(x, y) =∶ −4 x2 + y2 também pertence a F(Ω,R). Novamente, seja Ω um subconjunto aberto do R2. O segundo conjunto que iremos considerar, V(Ω,R2), é o conjunto constituído por todos os campos de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2. Portanto, os elementos de V(Ω,R2) são funções com duas funções coordenadas, F⃗ (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)). Exemplifiquemos. Suponha que Ω = R2. Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2, F⃗ (x, y) = (−y, x). Para vizualizar o campo devemos esboçar em cada ponto (x, y) um segmento orientado com início neste ponto que represente o vetor F⃗ (x, y) = (−y, x). A seguir um esboço deste campo de vetores. (x,y) F(x,y) Da mesma forma, o conjunto dos campo de vetores V(Ω,R2) admite uma estrutura de espaço vetorial. Basta definir a soma de campo de vetores e o produto de um 0.3 Gradiente e rotacional em R2 5 campo de vetores por um escalar da seguinte forma. Sejam F⃗ = (F1, F2) e G⃗ = (G1,G2) campo de vetores de V(Ω,R2) e λ um escalar. Definimos as operações coordenada a coordenada:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ (F⃗ + G⃗)(x, y) = (F1(x, y) +G1(x, y), F2(x, y) +G2(x, y)) (λ ⋅ F⃗ )(x, y) = (λF1(x, y), λF2(x, y)) . Exemplo 0.1. Considere F⃗ (x, y) = (xy, sen(x)) e G⃗(x, y) = (ey, sen(y)) campo de vetores em V(R2,R2) e λ = 3. Então (F⃗ + G⃗)(x, y) = (xy + ey, sen(x) + sen(y)) e λ F⃗ (x, y) = (3xy, 3sen(x)). Neste caso, Ω = R2. ◻ 0.3 Gradiente e rotacional em R2 Iremos considerar a sequência de operadores (transformação lineares) entre os es- paços vetoriais definidos acima: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R) O operador ∇ é nosso conhecido, ele é o gradiente: ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y ) . Como sabemos, este operador transforma funções f ∈ F(Ω,R) em campo de vetores deV(Ω,R2). Por exemplo se f(x, y) = x2y − ey, então ∇f(x, y) = ( ∂f ∂ x (x, y), ∂f ∂ y (x, y)) = (2xy, x2 − ey). O segundo operador rot, denominado rotacional, transforma campo de vetores em funções. O cálculo é feito por um algoritmo formal. Se F⃗ = (F1, F2) é um campo de vetores de V(Ω,R2), então rot(F⃗ ) é a função em F(Ω,R) definida por rotF⃗ = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x F1 ∂ ∂ y F2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂F2 ∂ x − ∂F1 ∂ y . 6 Exemplo 0.2. Considere o campo de vetores em R2, F⃗ (x, y) = (x2y − 3, xey). Por definição rotF⃗ (x, y) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x x2y − 3 ∂ ∂ y xey ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂ ∂ x (xey) − ∂ ∂ y (x2y − 3) = ey − 2xy. Observe que, de fato, o rotacional de um campo de vetores é uma função. ◻ A primeira relação que podemos estabelecer entre o operador gradiente e o operador rotacional envolve a composta dos operadores. Como as derivadas cruzadas de funções que estamos considerando são iguais podemos verificar que a composta rot∇f ≡ 0, para toda função f ∈ F(Ω,R). Vejamos rot∇f = rot( ∂f ∂ x , ∂f ∂ y ) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x ∂f ∂ x ∂ ∂ y ∂f ∂ y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ∂2f ∂ x∂ y − ∂2f ∂ y ∂ x= 0. Vale uma releitura deste fato em termos de Álgebra linear. A imagem do gradiente é um subespaço de V(Ω,R2), mais precisamente Im(∇) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); existef ∈ F(Ω,R) tal que F⃗ = ∇f} Por outro lado, o núcleo de rot é o subespaço Nuc(rot) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); rotF⃗ = 0}. O que foi mostrado acima transcreve-se na seguinte proposição. Proposição 0.1. Im(∇) ⊂ Nuc(rot). Na Física, um campo vetorial gradiente F⃗ , ou seja F⃗ = ∇f , também é chamado de campo conservativo e a função f de função potencial de F⃗ . Um fato relevante desta teoria, é que, em geral, Im(∇) ⊊ Nuc(rot). Ou seja, existem campos de vetores cujo rotacional é nulo, mas eles não são campos gradien- tes! Estudaremos mais tarde, que a igualdade Im(∇) = Nuc(rot) depende do tipo de domínio Ω! Rodrigo Nota Erro. Correto seria...null= e^y - x^2 Rodrigo Realce 0.4 Integral de linha 7 0.4 Integral de linha Nestas notas utilizaremos a seguinte terminologia. Ê Ω um aberto do R2; Ë Uma curva significa uma aplicação α ∶ [a, b] → Ω, α(t) = (α1(t), α2(t)), seccio- nalmente C1 (α é contínua e existe a derivada α′ exceto numnúmero finito de pontos). Ì F ∶ Ω→ R2, F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y) um campo de vetores de V(Ω,R2). Definiremos uma integral denominada integral de linha de um campo de vetores F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α. Esta integral tem várias notações (depende do livro texto). Uma das notações utilizasserá ∫ α F1dx + F2dy. Apresentaremos dois teoremas relacionando os operadores de derivação, ∇ e rot, e integral de linha e integral de funções em reigões planas, ∫R f(x, y)dA. Os teoremas relacionando integrais e estes operadores são indicados no seguinte es- quema: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. do campo conservativo V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶ Teo. de Green Definamos a integral de linha de F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α ∶ [a, b] → Ω, integral esta denotada por ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy. Para isto lançamos mãos do produto interno e da integral definida em Cálculo I. Por definição ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ b a ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt Exemplo 0.3. Vejamos exemplos ilustrativos para as proposições que seguem. Consideremos o campo de vetores F ∶ R2 → R2, F (x, y) = (−y, x) e a curva α ∶ [0,1]→ R2, α(t) = (1 − t, t). Rodrigo Realce ômega maiúsculo 8 Observe que α(0) = (1,0) e α(1) = (0,1). O traço (imagem) de α é uma curva plana Γ, mais precisamente, seu traço é o segmento de reta compreendido entre os pontos(1,0) e (0,1). Estes pontos constituem o bordo de Γ, ∂Γ = {(1,0), (01)}. Calculemos a integral de linha de F⃗ sobre α. a( )t b( )s (0,1) (1,0) g( )t G P ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (1 − t, t), (−1,1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−t,1 − t), (−1,1)⟩dt = ∫ 1 0 (t + 1 − t)dt= 1 Um fato relevante que pode ser mostrado, é que a integral de linha de F⃗ só depende do traço Γ da curva α, do ponto inicial e do ponto final, ou seja, da ordem dos pontos do bordo ∂Γ. Exemplifiquemos este fato. Considere uma outra curva com o mesmo traço Γ e mesmos pontos iniciais e finais. Por exemplo, γ ∶ [1,2]→ R2, γ(t) = (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) . Calculemos a integral de F⃗ sobre γ. Para isto, necessitaremos da velocidade, γ′(t) = 0.4 Integral de linha 9 (−2(t − 1),2(t − 1)). Agora, ∫ γ F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 2 1 ⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) , (−2(t − 1),2(t − 1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−(t − 1)2,1 − (t − 1)2), (−2(t − 1),2(t − 1)⟩dt = ∫ 1 0 2(t − 1)dt = (t − 1)2]2 1= 1. Portanto, parametrizações de Γ com mesmo ponto inicial e mesmo ponto final produzem o mesmo valor da integral de linha. Vejamos a mudança que ocorre no valor da integral de linha de F⃗ se a curva tem outro traço mas os mesmo pontos finais de α. O traço Π da curva β ∶ [0,1]→ R2, β(t) = (cos(pi 2 t) , sen(pi 2 t)) . é um arco de círculo com ponto inicial (1,0) e ponto final (0,1). A velocidade é β′(t) = (−pi 2 sen(pi 2 t) , pi 2 cos(pi 2 t)) . Vejamos o valor da integral de linha sobre β: ∫ γ F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 2 1 ⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 (pi 2 sen2 (pi 2 t) + pi 2 cos2 (pi 2 t)) dt = ∫ 1 0 pi 2 dt = pi 2 . Portanto, o valor é diferente do valor obtido anteriormente. Finalmente, examinemos a mudança que ocorre no valor integral de linha quando a curva tem o mesmo traço Γ mas pontos iniciais e finais opostos. A curva a seguir tem esta propriedade: α̃ ∶ [0,1]→ R2, α̃(t) = (t,1 − t). 10 Calculando, ∫ α̃ F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (α̃(t)), α̃′(t)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨F⃗ (t,1 − t), (1,−1)⟩ dt = ∫ 1 0 ⟨(−1 + t, t), (1,−1)⟩dt = ∫ 1 0 (−1 + t − t)dt= −1 Portanto, o sinal da integral de linha é oposto ao de α. Resumamos em uma proposição estas propriedades. ◻ Proposição 0.2. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R2 um campo de vetores, α ∶ [a, b]→ Ω, β ∶ [c, d]→ Ω e α̃ ∶ [a, b]→ Ω curvas em Ω. 1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais, então ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ β F1(x, y)dx + F2(x, y)dy; 2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então ∫ α̃ F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = −∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy. 0.5 Campos de vetores conservativos Quando o campo é conservativo o Teorema do campo conservativo estabelece que a integral de linha sobre uma curva α só depende dos pontos iniciais e finais não depende do traço! Enunciemos o primeiro teorema, relacionando ∇ e integral de linha: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶Teo. do campo conservativo Teorema 0.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R2, F = (F1, F2), um campo de vetores e α ∶ [a, b] → Ω uma curva. Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então ∫ α F1dx + F2dy = f(α(b)) − f(α(a)). Prova Assuma que F⃗ é um campo conservativo, ou seja, existe f ∶ Ω → R2 tal que∇f = F⃗ . Por definição de integral de linha, regra da cadeia e Teorema Fundamental do Rodrigo Realce 0.5 Campos de vetores conservativos 11 Cálculo temos: ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ b a ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ b a ⟨∇(α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ b a d dt f(α(t))dt = f(α(t))]ba= f(α(b)) − f(α(a)). Isto termina a demonstração. ◻ O campo de vetores examinado no Exemplo 0.3, p. 7, qual seja, F⃗ (x, y) = (−y, x), não é conservativo, pois α e β são curvas com os mesmos pontos iniciais e os mesmos pontos finais, mas as integrais de linha são diferentes. Se a curva α é fechada, α(a) = α(b), e o campo de vetores é conservativo a sua integral de linha sobre α é zero. A questão, agora, é identificar quando um campo de vetores é conservativo utili- zando o operador rotacional. Antes disto, vejamos um exemplo. Exemplo 0.4. Fixemos a região plana Ω = R2−{(0,0)} (a região aberta é R2 perfurado na origem). Considere o seguinte campo de vetores F⃗ ∈ V(Ω,R2), F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . Vejamos o seu rotacional. rot(F⃗ ) = det ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ∂ ∂ x −y x2 + y2 ∂ ∂ y x x2 + y2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = x2 + y2 − 2x2(x2 + y2)2 + x2 + y2 − 2y2(x2 + y2)2= 0. Calculemos duas integrais de linha com as curvas possuindo pontos iniciais e pontos finais iguais, mas com traços diferentes. Caso a resposta das integrais sejam diferentes o campo não é conservativo. Rodrigo Realce 12 (1,0)(-1,0) a( )t b( )t Considere as curvas α, β ∶ [0, pi]→ Ω, α(t) = (cos(t), sen()t) e β(t) = (cos(−t), sen(−t)). Os traços são diferentes e os pontos iniciais e pontos finais são iguais. Calculemos a integral de linha sobre α: ∫ α F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ pi 0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt = ∫ pi 0 ⟨(−sen(t), cos(t)), (−sen(t), cos(t))⟩ dt = ∫ pi 0 (cos2(t) + sen2(t)) dt= pi. Agora vejamos a integral de linha sobre β: ∫ β F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ pi 0 ⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt = ∫ pi 0 ⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(t))⟩ dt = ∫ pi 0 − (cos2(t) + sen2(t)) dt= −pi. Como as integrais de linha são diferentes, pelo teorema acima, F⃗ não é campo conser- vativo, embora seu rotacional seja zero. ◻ Historicamente, este exemplo é importante. Com ele, fica constatado que o domí- nio de uma função pode modificar as propriedades da função de modo radical. Para garantir que um campo de vetores cujo rotacional é nulo seja um campo conservativo, devemos examinar o seu domínio!! Um subconjunto Ω de R é simplesmente conexo se toda curva fechada α em Ω pode ser deformada continuamente em Ω, sem rupturas, a um ponto de Ω. Intuitivamente falando, simplesmente conexo é um conceito que procura transmitir a ideia sobre um conjunto Ω não ter �buracos�. Ver figuras a seguir. Rodrigo Realce 0.5 Campos de vetores conservativos 13 a( )t (1,0) simplesmente conexo a( )t (1,0) não simpesmente conexo À direita, o domínio é Ω = R2. O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1. Claro, a curva pode ser continuamente deformada, sem rupturas ao ponto (1,0). À esquerda, o domínio é Ω = R2 − {(0,0)} (o R2 perfurado na origem). O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1. Para deformar a curva continuamente, sem rupturas, ao ponto (1,0), em algum instante a curva deve �passar� pelo (0,0) que não pertence a Ω. A deformação não pode ser realizada inteiramente dentro de Ω. Logo, ele não é simplesmente conexo. Teorema 0.2. Seja F⃗ um campo de vetores em V (Ω,R2) tal que rotF⃗ ≡ 0. Se o domínio Ω é simplesmente conexo, então F⃗ = ∇f , para algum f ∈ F (Ω,R2). Como R2 é simplesmente conexo, um campo de vetores ser irrotacional e ser campo conservativo são conceitos equivalentes. Corolário 0.1. Um campo de vetores F⃗ ∶ R2 → R2 tem rotacional nulo se, e somente se, F⃗ = ∇f , para alguma função f ∶ R2 → R. Exemplo 0.5. Considere Ω o subconjunto obtido do R2 menos o semi-eixo não positivo de ox. Mais precisamente Ω = R2 − {(x,0) ∈ R2; x ≤ 0}. Este conjunto é simplesmente conexo. W Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2, F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . 14 Como vimos anteriormente, rotF⃗ ≡ 0. Logo, neste domínio F⃗ é campo conservativo, isto é, existe uma função f ∶ Ω→ R tal que F⃗ = ∇f . ◻ Exercício 0.2. Guidorizzi, vol. 3. 1. Página 148, números 1, 2, 6, 7 e 8. 2. Página 154, números 1, 2, 3 e 4. 3. Página 169, números 1, 3 e 4. ◻ 4. Calcule as integrais de linha de F (x, y) = ( −y x2 + y2 , xx2 + y2) . sobre sa curvas Γ e Π com ponto inicial e final (0,2) e percurso indicado. 1 2 4 -4 -2-7 -5 G 1 2 1 -4 -2-7 -7 P -2 0.6 Notação Existe uma leitura muito elegante do que foi visto acima e que será generalizada ao longo destas notas. Em lugar de escrever a integral de linha de um campo de vetores em Ω, F⃗ = (F1, F2) sobre a curva α ∶ [a, b]→ Ω na forma ∫ α F1dx + F2dy, é usual escrever ∫ α F⃗ dl. Estas duas notações significam a mesma integral, qual seja, ∫ b a ⟨F (α(t)), α′(t)⟩ dt. Podemos ir mais além na notação. Antes, esclareçamos a seguinte terminologia: Rodrigo Realce Rodrigo Realce Rodrigo Realce 0.6 Notação 15 Γ é uma curva plana em Ω com ponto inicial (x1, y1) e ponto final (x2, y2). Esta terminologia significa que Γ é a imagem de uma curva α ∶ [a, b] → Ω, tal que α(a) = (x1, y1) e α(b) = (x2, y2). (x ,y ) 1 1 (x ,y )2 2 =Ga([ ])a,b W Diz-se que o bordo de Γ são seus pontos iniciais e finais, simbolicamente, ∂Γ = {(x1, y1), (x2, y2)}. A curva Γ é um objeto unidimensional e seu bordo ∂Γ é zero dimensional, pois são pontos. Vimos que a integral de linha de um campo F⃗ sobre α não depende de α no seguinte sentido, se β ∶ [c, d] → Ω é outra curva cuja imagem também é Γ e os pontos iniciais e pontos finais coincidem, β(c) = (x1, y1) e β(d) = (x2, y2), então as integrais de linha são iguais: ∫ α F⃗ dl = ∫ β F⃗ dl. Isto significa que a integral de linha não está sendo realizada sobre α mas sobre Γ com ponto inicial (x1, y1) e ponto final é (x2, y2) (não podemos trocar a ordem dos pontos do bordo, pois isto implica em trocar o sinal da integral de linha). Esta constatação nos permite escrever uma integral de linha sobre uma curva Γ com pontos iniciais e finais estabelecidos, na forma ∫ Γ F⃗ dl. A curva α é utilizada apenas para fazer o cálculo! Seja f ∈ F (Ω,R2). Seguindo a notação de Cálculo I, escrevemos f(x, y)] ∂Γ = f(x, y)](x2,y2)(x1,y1) = f(x2, y2) − f(x1, y1). Rodrigo Realce 16 Portanto, podemos reescrever o Teorema do campo conservativo de outra modo. com esta redação, percebemos que ele é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo. Teorema 0.3. Se f ∈ F (Ω,R), e Γ uma curva plana compacta e orientada, então ∫ Γ ∇f dl = f(x, y)] ∂Γ . 0.7 Teorema de Green Nesta seção, apresentaremos o teorema de Green que relaciona integrais de áreas com integrais de linha utilizando o rotacional, ou seja, realciona integrais sobre objetos unidimensionais com integrais sobre objetos bidimensionais. V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶Teo. de Green Precisamos de uma terminologia. Diz-se que uma região R num aberto Ω de R2 é uma região de Green 1 se o seu bordo ∂R está parametrizado de modo que, na direção do percurso, a região R está do lado esquerdo. R R E mais, a parametrização de cada componente conexa do bordo, digamos α ∶ [a, b]→ Ω, é tal que α(a) = α(b) (curva fechada). Enunciemos o Teorema de Green. Teorema 0.4. Seja Ω um aberto de R2. Se F ∈ V (Ω,R2) e R uma região de Green em Ω, então ∫ ∂R F⃗ dl = ∫ ∫ R rotF⃗ dA. 1 George Green Sneinton, (⋆ 14/07/1793 − 31/05/1841) foi um matemático e físico inglês. Rodrigo Riscado relaciona 0.7 Teorema de Green 17 Exemplo 0.6. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4}. Esta região é um disco compacto cujo bordo ∂D é o círculo de raio r = 2 centrado na origem. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização tal que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado esquerdo. Uma tal parametrização pode ser α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)). Calculemos ∫ ∂D F⃗ dl = ∫ 2pi0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt= ∫ 2pi 0 ⟨(−2sen(t),2cos(t)), (−2sen(t),2cos(t))⟩ dt = = ∫ 2pi 0 4dt= 8pi. Examinemos o outro membro da relação de Green, aplicando a mudança de coor- denadas polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2. ∫ ∫D rotF⃗ dA = ∫ ∫D 2dA= ∫ 2pi 0 ∫ 2 0 2r dr dθ = ∫ 2pi 0 4dθ= 8pi. Assim, fica verificado o teorema de Green. ◻ Exemplo 0.7. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}. Esta região é um anel compacto cujo bordo ∂R é a união de dois círculo, C1 e C2, centrados na origem, um de raio r1 = 1 e outro de raio r2 = 2. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização de cada componente conexa do bordo de modo que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado esquerdo. Tais parametrizações podem ser⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)) β ∶ [0,2pi]→ R2, β(t) = (cos(−t),2sen(−t)) . Rodrigo Riscado Rodrigo Riscado Rodrigo Texto digitado (cos(-t) , sen(-t)) 18 A integral no bordo de raio r1 = 2 já foi calculada, seu valor é 8pi. No bordo de raio r1 = 1 o valor segue abaixo: ∫ β F⃗ dl = ∫ 2pi 0 ⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt = ∫ 2pi 0 ⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(−t))⟩ dt = = ∫ 2pi 0 −1dt= −2pi. Sendo assim, ∫ ∂R F⃗ dl = ∫C1 F⃗ dl + ∫C2 F⃗ dl = 8pi − 2pi = 6pi. Vejamos a integral de área. Novamente, aplicando a mudança de coordenadas polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2 temos ∫ ∫R rotF⃗ dA = ∫ ∫R 2dA= ∫ 2pi 0 ∫ 2 1 2r dr dθ = ∫ 2pi 0 3dθ= 6pi. Isto ilustra o teorema de Green. ◻ Exercício 0.3. Guidorizzi, vol. 3. 1. Página 194, números 2, 3, 4, 5 e 9. ◻
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