A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
57 pág.
Probabilidade II

Pré-visualização | Página 1 de 11

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Estatística
Cálculo das Probabilidades II
Prof: Mariane Branco Alves
©2006 Mariane Branco Alves - Todos os direitos reservados.
Reserve tempo à reflexão. O menor detalhe pode ser o mais essencial.
— SHERLOCK HOLMES (trecho de "A Aventura do Círculo Vermelho",
Sir Arthur Connan Doyle)
Sumário
1 Revisão de Conceitos Fundamentais em Probabilidade 5
1.1 Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática 5
1.1.1 Definição Axiomática 6
1.2 Probabilidade Condicional e Independência 7
1.2.1 Regra da Multiplicação 7
1.2.2 Regra da Probabilidade Total 7
1.2.3 Teorema de Bayes 8
1.2.4 Independência 8
1.3 Exercícios 11
2 Variáveis Aleatórias Discretas 14
2.1 Introdução 14
2.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas 16
2.2.1 Uniforme 17
2.2.2 Bernoulli(p) 17
2.2.3 Binomial(n,p) 18
2.2.4 Hipergeométrica(N,n,r) 18
2.2.5 Geométrica(p) 19
2.2.6 Pascal(r,p) ou Binomial Negativa(r,p) 20
2.2.7 Poisson(λ ) 20
2.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Discretas 23
2.4 Exercícios 24
3 Variáveis Aleatórias Contínuas 28
3.1 Introdução 28
3.2 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas 30
3.2.1 Uniforme Contínua(a,b) 30
3.2.2 Normal(µ ,σ2) 30
3.2.3 Exponencial(λ ) 32
3.2.4 Gama(α ,λ ) 33
3.2.5 Qui-quadrado(n) 35
3.2.6 Beta(α,β ) 36
3.2.7 Weibull(α,λ ) 37
3.2.8 T de Student(k) 39
3.2.9 F de Fisher-Snedcor(d1,d2) 41
3
SUMÁRIO 4
3.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Contínuas 42
3.4 Exercícios 43
4 Funções de Variáveis Aleatórias 47
4.1 Distribuição de Y = h(X) 47
4.1.1 Caso1: X é variável aleatória discreta e Y = h(X) é variável aleatória
discreta 47
4.1.2 Caso2: X é variável aleatória contínua e Y = h(X) é variável aleatória
discreta 48
4.1.3 Caso3: X é variável aleatória contínua e Y = h(X) é variável aleatória
contínua 48
4.2 Esperança de Y = h(X) 49
4.3 Exercícios 51
5 Funções Geratrizes de Momentos 53
5.1 Introdução 53
5.2 Uso de MX(t) para determinação dos momentos de X 53
5.3 Propriedades da Função Geratriz de Momentos 55
5.4 Uso de Funções Geratrizes de Momentos para a Determinação de Propriedades
Reprodutivas 56
5.5 Exercícios 57
CAPÍTULO 1
Revisão de Conceitos Fundamentais em
Probabilidade
1.1 Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática
Definição 1.1. : Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, se repetido essen-
cialmene sob as mesmas condições, é dito experimento aleatório. Notação: ε
Definição 1.2. O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório ε é
denominado espaço amostral de ε . Notação: Ω
Definição 1.3. Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação: letras maiúsculas.
Definição 1.4. Dois evento A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos ou mutuamente
excludentes se A ∩ B = /0.
Objetivo: Atribuir um número real a cada evento o qual avaliará quão verossímil será
a ocorrência de A quando o experimento for realizado. Este número será a probabilidade
associada ao evento A.
• Freqüentista: A probabilidade associada a um evento é dada pela freqüência relativa
com que tal evento ocorreria, caso o experimento aleatório fosse repetido um grande
número de vezes, sob as mesmas condições.
Críticas:
→ Quão grande deve ser o número de repetições do experimento aleatórios?
→ Na prática, só seria aplicável a experimentos dos quais se possa fazer um grande
número de repetições.
• Clássica: Se um espaço amostral Ω é composto por n resultados igualmente verossímeis,
então a probabilidade associada a cada resultado é 1/n. Se o evento A é formado por nA
resultados, então P(A) = nA
n
.
Críticas:
→ A definição é circular
→ Como calcular probabilidades o espaçamostral não é finito ou não tem elementos
equiprováveis?
5
1.1 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE E DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA 6
• Subjetiva: A probabilidade que cada pessoa atribui a um evento é uma representação
de suas crenças sobre o processo estudado, baseado em sua informação prévia sobre este
processo.
Críticas:
→ Garantir a consistência e ausência de contradições nas atribuições subjetivas para
problemas complexos é difícil.
→ Pessoas diferentes podem fazer atribuições diferentes.
1.1.1 Definição Axiomática
Definição 1.5. Seja ε um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado a ε . A dis-
tribuição de probabilidades ou, simplesmente, probabilidade em Ω é uma especificação de
números P(.) que satisfazem a:
(i) Para qualquer evento A, P(A)≥ 0
(ii) P(Ω) = 1
(iii) Para qualquer seqüência de eventos disjuntos A1,A2, · · · ,
P
(
∞⋃
i=1
)
=
∞
∑
i=1
P(Ai).
Decorrem dos axiomas (i), (ii) e (iii) as seguintes propriedades (demonstrar!):
P.1: P( /0) = 0.
P.2: Para qualquer seqüência de n eventos disjuntos A1,A2, · · · ,An:
P
(
n⋃
i=1
)
=
n
∑
i=1
P(Ai).
P.3: Se Ac é o evento complementar a A, então P(Ac) = 1−P(A),∀A.
P.4: ∀A,0≤ P(A)≤ 1.
P.5: Se A⊂ B, então P(A)≤ P(B).
P.6: Para quaiquer dois eventos A e B, P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
Extensão: Sejam A1,A2, · · · ,An eventos quaisquer. Então:
P
(
n⋃
i=1
)
=
n
∑
i=1
P(Ai)−∑
i< j
P(Ai∩A j)+ ∑
i< j<k
P(Ai∩A j∩Ak)+ · · ·
1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 7
1.2 Probabilidade Condicional e Independência
Exemplo 1.1. ε : Lançamento de um dado não-viciado
⇒Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Seja o evento A: resultado 6 ⇒ A = {6}. Como o espaço amostral é finito, com elementos
equiprováveis, então:
P(A) =
nA
n
=
1
6 .
Seja, agora, o evento B: resultado par ⇒ B = {2,4,6}. A probabilidade de que o resultado seja
6, uma vez que se saiba que o resultado é par, é 16 .
Definição 1.6. A probabilidade condicional de um evento A, dado um evento B, é:
P(A | B) = P(A∩B)
P(B)
, se P(B)> 0. (1.1)
No exemplo anterior, tem-se:
P(A | B) =
nA∩B
n
nB
n
=
nA∩B
nB
=
1
6 ,
pois (A∩B) = {6}.
1.2.1 Regra da Multiplicação
De (1.1) tem-se, diretamente, que:
P(A∩B) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A) (1.2)
1.2.2 Regra da Probabilidade Total
Definição 1.7. Uma coleção de eventos A1,A2, · · · ,An forma uma partição do espaço amostral
Ω se os eventos Ai‘s são disjuntos (Ai∩A j = /0, i 6= j) e exaustivos (⋃ni=1 Ai = Ω).
1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 8
Sejam A1,A2, · · · ,An eventos formando uma partição do espaço amostral Ω e B um evento
qualquer em Ω. Então:
P(B) = P[{B∩A1}∪{B∩A2}∪ · · ·{B∩An}]
disj.
= P(B∩A1)+P(B∩A2)+ · · ·P(B∩An)
(1.2)
= P(B | A1)P(A1)+ · · ·+P(B | An)P(An) (1.3)
1.2.3 Teorema de Bayes
Sejam A1,A2, · · · ,An eventos formando uma partição do espaço amostral Ω, B um evento
qualquer em Ω e suponha conhecidas P(B | Ai) e P(Ai), i = 1,2, · · ·n. Então:
P(A j | B) (1.1)= P(A j∩B)P(B)
(1.2)
=
P(B | A j)P(A j)
P(B)
(1.3)
=
P(B | A j)P(A j)
P(B | A1)P(A1)+ · · ·+P(B | An)P(An) (1.4)
Exercício: Um certo item é produzido exclusivamente em uma das unidades de uma fábrica:
I, II ou III. Sabe-se que o volume de produção da unidade I é o dobro da unidade II e que II
e III têm volumes iguais de produção. Ainda, são defeituosos: 2% dos produtos fabricados na
unidade I, 2% dos fabricados na unidade II e 4% dos fabricados na unidade III. Se todos os
itens são armazenados em um depósito comum e seleciona-se um item ao acaso:
(a) qual é a probabilidade de que seja defeituoso?
(b) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se é defeituoso?
(c) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se não é defeituoso?
1.2.4 Independência
Definição 1.8. Dois eventos A e B são ditos independentes se
P(A∩B) = P(A) ·P(B). (1.5)
1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 9
Observe-se que se A e B são independentes, então, de (1.1) tem-se que:
P(A |