LISTA calc 2 Prof. Anildo

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UNISUAM - Prof. ANILDO GONÇALVES - 1ª Lista de exercícios : CÁLCULO II 
 
 
1) Determine 
)(xfDx
. 
 
2
3 223
243
32332
23322
23
cos
)32(
)cos))3(.3sec)
)cos2())3cot()sec)
cos)42)3)
)53())cos)
sec)csc)sec4cos3)
x
xsen
yptgxxsenxxyoxsenxyn
xxsentgymxxylxyj
xsenxtgxyixxsenyhtgxxyg
xxsenyfxsenyexyd
xxycxxybxxya






 
 
 
2) Determine Dx y. 
xxxxxxtgx
x
xxxxx
xx
xsenxxxx
exyleeykeeyjeetgyi
e
e
yh
ee
yg
ee
yfeseneye
eydeyceybeya
ln35sec2233
14
4
32cos35
)sec))ln())
1
ln)
2
)
2
))
))))
2












 
 
3) Diferencie a função. 
3
2
22
3 33244
2
2
252
2
ln)()1lncot)())3ln()()
)ln(sec)()1)1ln()())22ln(cos)()
ln)()])72()35[(ln)()
1
1
ln)()
)(lncos)()cosln)()ln)()
41ln)())28ln()())1ln()()
xtg
xsen
xfpxxxxfoxtgxfn
xxfmxxxxxflxsenxxfj
xxfixxxfh
x
x
xfg
xecxffxxfexxxfd
xxfcxxfbxxfa








 
4) Derive. 
)(cos)cos))(cos)
1
1
)4
1
4)4sec)
1
2
)
1
cos)
1
sec)
1
2)1)5csc5sec)
2
1
)2csc)3cos)
213121
121121
2
1
2
112
2
2
xsenypxxyoxsenyn
x
x
senymxxtg
x
senylxyj
x
x
tgyi
x
x
xyh
x
xyg
x
tgarcyfxsenarcyexarcarcyd
xsenarcycxarcybxarcya













 
 
 
 
5) Determine uma equação da reta tangente á curva xxseny cos no 
ponto 4

x 
 
 
 
6) Resolva as integrais 
 
 
a) 
 dxx
5
 Resposta: 
k
6
x6

 
 
b) 
 dx
x
1
2
 Resposta: 
k
x
1

 
 
c) 
 dx5
 Resposta: 
kx5 
 
 
d) 
  dt)2t5t3(
2
 Resposta: 
kt
t
tkttt  2
3
52
2
3
52 333 23
 
 
e) 
 





 dy
y
1
y
2
y3
3
 Resposta: 
kyn
y
ykyn
y
y  1
1
21
1
2
2
3
2
2
3
 
 
f) 
 





 dxxx
2
ex
 Resposta: 
kx
e
kx
e xx
 5
5
2
25
2
2
2
5
 
 
g) 
 







 du
2
u
e
u2
3
u3
1 2
2
 
 
h) 
dx
x
1x2x
2
2


 Resposta: 
k
x
xnx 
1
 1 2
 
 
i) 
 





 dx
x
xx 5
1
)2( 23
 Resposta: 
kxx
3
11
x
4
5 234 
 
 
j) 
  dttt )1(
2
 Resposta: 
kttktt  37
3
2
7
2
3
2
7
2
2
3
2
7
 
 
k) 
dx
x
x
 
2
83
 
 
 
 
 
 
7) Resolva as integrais por substituição 
1)
  dxxx )1cos(2
2
 2) 
dxxx )cos( 2
 3)
dx
x  2)23(
1
 
4)
xdxx 2)1( 52 
 5)
  dxxsen )9(
 6)
dxx 12
 
 
8) Determine 
 
a) 
 dxxsen )2(
 resposta: -1/2 cos(2x) +C 
 
b) 
  )13(2 xsen
dx
 resposta: 
Cx  )13cot(
3
1
 
 
c) 
  73x
dx
 resposta: 
Cx  )73ln(
3
1
 
 
d) 
 xdxtg2
 resposta: 
Cx )2sec(ln
2
1
 
 
e) 
xdxx .12 
 resposta: 
Cx  32 )1(
3
1
ta: 
 
f) 
   d)57cos(
 resposta: 
Csen  )57(
7
1 
 
 
g) 
dxex x
32

 resposta: 
Ce x 
3
3
1 
 
h) 
dx
x
x

2ln
 resposta: (ln x)2 + C 
 
i) 
dx
x 2cos
1
2
 resposta: 
Cxtg )2(
2
1
 
 
 
 
 
9) Resolva as integrais por partes 
 
a) 
 xdxln
 
 
b) 
dxxe x
2
 
 
c) 
dxxe x
3
 
 
d) 
 dxxxsen )5(
 
 
e) 
xdxx ln2
 
 
f) 
 dxxxsen )(
 Resp. 
    Cxsenx
x


5
25
1
5cos
5
 
g) 
 dtte
t4
 Resp. 
C
ete tt

164
44 
 
h) 
  dxx
3
cos
 Resp. 
    Csenxsenxx  32
3
2
cos
 
 
i)
  dxex x  .1
 Resp. 
  Cxe x 2
 
 
 
10) Determine a área total da região entre a curva e o eixo x. 
,23 23 xxxy 
 
20  x
 
 
11) Use a fórmula de substituição para calcular as integrais: 
 
a) 
dz
z
z


2
0 sen34
cos b) 

2
0
sen cos

xdxe x
 
 
 
12) Esboce o gráfico da função no intervalo dado. Depois integre a função no 
intervalo e determine a área da região entre o gráfico e o eixo x. 
]3,0[,862  xxy
 
 
 
Aplicações 
 
 
OBS: o custo marginal é a derivada da função custo total c(q) 
 
1) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de 
uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da 
produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função custo e o custo 
de produção de 100 unidades? 
R: R$ 2.905,01 
 
2) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q 
unidades é de 3q2 – 60q + 400 reais por unidade. O custo de produção das 
duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de 
produção das cinco primeiras unidades? 
R: R$ 1.587,00 
 
3) Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de 
R$ 6x2 - 2x + 200 / unidade. O custo para produzir as três primeiras 
unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras 
unidades. 
R: 4455 
 
4) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o 
custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. 
Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. 
 
 
5) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de 
R$ 9x2 - 4x + 300 /unidade. O custo para produzir as duas primeiras 
unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras 
unidades. Resposta: R$ 2.009,00 
6) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por 
RMg(x) = 0,6x2-10x+50. Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x 
7) Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta 
tangente, em cada x, é 3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6). 
 
Resposta f(x) = x3 + x – 4 
 
 
8) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 
0t
, 
a velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a 
partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a posição x = x(t) da 
partícula no instante t. 
1)(: 2  tttxR
 
 
9) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, 
0t
. 
Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2 
a) Qual a posição da partícula em um instante t? 
b) Qual a posição da partícula em um instante t =2? 
c) Determine a aceleração. 
 
 
10) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t 

 
0. Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. 
Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem. 
 
 
11) Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que: 
a) 
 
k |a-x| ln
1
dx
ax
, 
 a 
 
b) 
  k 


x
x edxe
, 
* 
 
c) 
  k 
 cos
 
 xdxxsen
, 
* 
 
d) 
  k 
 
 cos 
 xsendxx
, 
* 
 
e) 
   k | xcos| ln cos
 dx
x
senx
dxxtg
 
f) 
   k |sen x| ln 
cos
 cot dx
xsen
x
dxxg
 
 
12) Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: 
Exercício Resposta 
a) 
  dx)2x3(
3
 
 
 
b) 
  dx 2x3c) 
dx
x
 
23
1
 
 
 
d) 
dx
x 
 
)23(
1
2
 
e) 
  dx sen x 
2x
 
 
 
f) 
dxx 
2xe 
 
 
 
g) 
dxx 
3x2 e 
 
 
 
h) 
 dxx 5sen
 
 
 
i) 
dxxx 
43 cos
 
 
 
 
j) 
 dxx 6cos
 
 
 
 
k) 
dxxsenx cos3 
 
 
 
 
l) 
  dxxxsen cos
5
 
m) 
dx
x
 
3
2
 
 
n) 
dx
x
 
34
5
 
 
o) 
dx
x
x
 
41 2 
 
 
p) 
dx
x
x
 
 
65
3
2
 
 
a) 
k
12
)2x3( 4


 
b) 
k)2x3(
9
2 3 
 
c) 
k2x3ln
3
1

 
d) 
k
)2x3(3
1



 
e) 
kxcos
2
1 2 
 
f) 
ke
2
1 2x 
 
g) 
ke
3
1 3x 
 
h) 
kx5cos
5
1

 
i) 
kxsen
4
1 4 
 
j) 
kx6sen
6
1

 
 
 
k) 
kxcos
4
1 4 
 
 
 
l) 
kxsen
6
1 6 
 
 
m) 
k3xln2 
 
 
n) 
k3x4ln
4
5

 
o) 
k)x41ln(
8
1 2 
 
p) 
k)x65ln(
4
1 2 
 
q) 
dx
x
x
 
)41( 22 
 
 
r) 
dxxx 31 2 
 
 
s) 
  dxee
xx 1
 
t) 


dx
)1x(
1
3
 
 
u) 
dx
x
x
 
cos
sen
2
 
 
 
v) 
  dx e 
2-xx
 
q) 
k
x



)41(8
1
2
 
r) 
k)x31(
9
1 32 
 
 
s) 
ke x  3)1(
3
2
 
t) 
k
)1x(2
1
2



 
u) 
k
xcos
1

 
v) 
ke
2
1 2x  
 
 
 
13) Sabendo que 
  kxdxx
 ||ln 
1
, mostre que: 
 dxln x 
 = x. (ln x – 1) + k 
Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1 

 dxln x 
= 
kxx  )1(ln 
 
 
14) Sabendo que:
 
karcdx
x
 x tg 
1
1
2
, mostre que: 
 dx x tgarc 
= 
 kxxkxx 22 1ln x tgarc )1ln(
2
1
 x tgarc 
 
 
15) Sabendo que:
 

karcdx
x
sen x 
1
1
2
, mostre que: 
 dxsen x arc
 = x.arc sen x +
21 x
 + k 
 
 
16) 
 dx x cos
2
 = ... = 
k
xx

4
2sen
2
 
 
 
17) 
 dx x sen
2
 = ... = 
k
xx

4
2sen
2
 
 
18) 
 dx6x.cos2x sen 
 
 
 
19) 
 dx3x.sen2x sen 
 
 
20) 
 dxx cos5x.cos7