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CAPÍTULO 2 Geometria analítica 1 1.2.1 Segmento Nulo Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. VETORES 1.2.2 Segmentos Opostos Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. 1.2.3 Medida de um Segmento Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um 1.1 Reta Orientada Eixo número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. comprimento do segmento Uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo AB é indicado por AB. e indicado por uma seta (Fig. 1.1). Assim, o comprimento do segmento AB representado na Figura 1.2-b é de 5 unidades de comprimento: I AB 5 u.c. Figura 1.1 A sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. Figura 1.2-b 1.2 Segmento Orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado Observações origem do segmento, o segundo chamado extremidade. segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geome- a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. tricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento (Fig. 1.2-a). b) AB = BA. 1.2.4 Direção e Sentido A Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes Figura 1.2-a desses segmentos são paralelas (Figs. 1.2-c e 1.2-d): 1Vetores 3 4 Geometria analítica B B Observações A A C D a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. D b) A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por C AB CD Figura 1.2-c Figura 1.2-d ou coincidentes (Figs. 1.2-e e1.2-f): 1.3.1 Propriedades da Equipolência D C A I) AB AB (reflexiva). II) Se AB CD, CD AB (simétrica). Figura 1.2-e D III) Se AB CD e CD ~EF, AB ~EF (transitiva). B IV) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que A AB~CD. Figura 1.2-f Observações 1.4 Vetor a) Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos b) Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. orientados equipolentes a AB (Fig. 1.4-a). 1.3 Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e mesmo comprimento (Figs. 1.3-a e 1.3-b). Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta. Fig. 1.3-b, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo. A Y D B D Figura 1.4-a C B Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: A A C Figura 1.3-a Figura 1.3-b onde XY é um segmento qualquer do conjunto. vetor determinado por AB é indicado por AB ou B - A ou v.6 Geometria analítica Vetores 5 Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3 (Fig. 1.4-b). Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de represen- tantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus representantes, Figura 1.4-b isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. módulo de se indica por Os vetores u₁ e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas u₁ tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este é versor de v. 1.4.1 Vetores Iguais 1.4.6 Vetores Colineares Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB ~CD. Dois vetores u e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e V são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou 1.4.2 Vetor Nulo a retas paralelas (Fig. 1.4-c). Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 1.4.3 Vetores Opostos Dado um vetor AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica por -AB ou por -v. C C 1.4.4 Vetor Unitário Um vetor é unitário se Figura 1.4-c 1.4.5 Versor 1.4.7 Vetores Coplanares Versor de um vetor não nulo V é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido Se os vetores não nulos u e W (o número de vetores não importa) possuem represen- de 1> tantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano 77 (Fig. 1.4-d), diz-se que eles são coplanares.Vetores 7 D 8 Geometria analítica C F B W 1.5.1.1 Propriedades da adição u A E I) Comutativa: II) Associativa: Figura 1.4-d III) Existe um sóvetor nulo tal que para todo o vetor se tem: Guardemos bem o seguinte: dois vetores e quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto. IV) Qualquer que seja o vetor existe um só vetor (vetor oposto de v) tal que Três vetores poderão ou não ser coplanares (Figs. 1.4-e e 1.4-f). W 1.5.2 Diferença de Vetores Chama-se diferença de dois vetores e e se representa por ao vetor u u V V Dados dois vetores u e representados pelos segmentos orientados AB e AC, respec- W tivamente, e construído o paralelogramo ABDC (Fig. 1.5-b e Fig. 1.5-c), verifica-se que a soma é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e que a diferença u,v e são coplanares , V e não são coplanares é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal). Figura 1.4-e Figura 1.4-f D D 1.5 Operações com Vetores B 1.5.1 Adição de Vetores S u u Sejam os vetores u e V representados pelos segmentos orientados AB e BC (Fig. 1.5-a). B A C A C Figura 1.5-b Figura 1.5-c u 1.5.3 Multiplicação por um Número Real C A Dado um vetor V e um número real chama-se produto do número real k pelo Figura 1.5-a vetor v o vetor tal que: Os pontos A e C determinam um vetor S que é, por definição, a soma dos vetores e a) módulo: isto é, S b) direção: a mesma de c) sentido: o mesmo de V se k>0, e contrário ao de se (Fig. 1.5-d).Vetores 9 10 Geometria analítica 1.5.3.1 Propriedades da multiplicação por um número real Se u e são vetores quaisquer e a e b números reais, temos: I) (associativa) Figura 1.5-d II) (a (distributiva em relação à adição de escalares) III) au av (distributiva em relação à adição de vetores) Observações IV) (identidade) a) Se ou V o produto é o vetor 1.6 Problemas Resolvidos b) Seja um vetor kv, com Se fizermos com que o número real k percorra o conjunto IR dos reais, obteremos todos os infinitos vetores colineares a e, portanto, colineares entre 1) Dados os vetores u, e , de acordo com a figura, construir o vetor si, isto é, qualquer um deles é sempre múltiplo escalar (real) do outro. Reciprocamente, dados dois vetores u e colineares, sempre existe tal que A Figura 1.5-e mostra um exemplo desta última afirmação 2 Solução: 2u Figura 1.5-e c) versor de um vetor V 0 é o vetor unitário = ou (Fig. 1.5-f). De fato ele é unitário, pois: 2) paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. . Completar convenientemente: a) AD + D M C Figura 1.5-f d) AN Daí, conclui-se que isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo vetor unitário e) MD + MB A N de mesma direção e mesmo sentido V.Vetores 11 12 Geometria analítica Solução a) AC Neste caso, a soma do vetor (que está no plano de 1 e com o vetor isto é, será um vetor do espaço, conforme mostra a Figura 1.6-b. a3V3 V3 Observação Sabe-se que dois vetores quaisquer e não colineares, são sempre coplanares. Como Figura 1.6-b tem a direção de e a direção de o vetor + será sempre um vetor representado no mesmo plano de e sejam quais forem os reais a₁ e a₂ (Fig. 1.6-a) 1.7 de Dois Vetores ângulo de dois vetores e não nulos (Fig. 1.7-a) é o ângulo formado pelas semi- retas OA e OB (Fig. 1.7-b) e tal que A V1 u Figura 1.6-a 0 Reciprocamente, qualquer vetor representado no plano de e será do tipo + para e a₂ reais. Figura 1.7-a Figura 1.7-b Vamos acrescentar a estes dois vetores um terceiro vetor Então, pode ocorrer uma das situações: Observações a) o vetor está representado no mesmo plano de e Neste caso, como o vetor + está no plano de e e sendo também a) Se u e V têm a mesma direção e sentidos contrários. deste plano, o vetor + estará representado no mesmo plano de e u b) o vetor não está representado no mesmo plano de 1 eVetores 13 14 Geometria analítica b) Se = 0, u e V têm mesma direção e mesmo sentido. 2) Dados os vetores como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores: to to a c) Se = 2 e V são ortogonais (Fig. 1.7-c) e indica-se: u b) a + c) 2b to A 3) Sabendo que o ângulo entre os vetores e V é de 60°, determinar o ângulo formado pelos vetores: a) u e 0 B b) e Figura 1.7-c c) e d) 2u e Neste caso, o ДОВС permite escrever: 1.8.1 Resposta dos Problemas Propostos d) vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 3) a) 120° e) Se u é ortogonal a e m é um número real qualquer, é ortogonal a b) 120° c) 60° f) ângulo formado pelos vetores u e é o suplemento do ângulo de u e v. d) 60° Θ 1.8 Problemas Propostos 1) Dados os vetores u e v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: b) R u16 Geometria analítica CAPÍTULO 2 st 2 (arbitrário) VETORES NO IR² E NO IR³ 2) Na figura seguinte os vetores 2 são mantidos e consideramos um outro vetor v: st No Capítulo 1, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. No presente capítulo, vamos mostrar uma outra forma de representá-los: segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço. Para esta figura, tem-se: a₁ >0 e a₂18 Geometria analítica Vetores no IR² e IR³ 17 No caso de uma base ortonormal como esta, os vetores e 2e₂ são projeções orto- chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base É bom logo gonais de V sobre e₁ e e₂, respectivamente. esclarecer que, embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano xOy, porém uma delas é parti- como um conjunto ordenado. vetor é chamado projeção de sobre segundo a direção de Do mesmo modo, é a projeção de V sobre segundo a direção cularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são simboli- de (Fig. 2.1-a). zados com e e a base é chamada canônica (Fig. 2.1-c). y (0,1) st j (1,0) X i Figura 2.1-a Figura 2.1-c Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Em nosso estudo, a menos que haja referência em contrário, trataremos somente da base Uma base é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto canônica. é, 1 e = e 1. Dado um vetor V + (Fig. 2.1-d) no qual X e y são as componentes de v V em Na Figura 2.1-b consideramos uma base ortonormal no plano xOy e um relação à base o vetor é a projeção ortogonal de V sobre (ou sobre o eixo dos x) vetor com componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, 3e₁ + e yj é a projeção ortogonal de sobre i (ou sobre o eixo dos y). Como a projeção sempre será ortogonal, diremos somente projeção. y y yj e₂ X X 1 o xi Figura 2.1-b Figura 2.1-d20 Geometria analítica Vetores IR² e IR³ 19 2.3 Igualdade e Operações 2.2 Expressão Analítica de um Vetor 2.3.1 Igualdade Ora, fixada a base fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Nestas condições, a cada vetor v do plano pode-se associar um par (x,y) de números reais que são suas componentes na base Dois vetores são iguais se, e somente se, = y₁ e escreve-se dada, razão porque define-se: vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representa por: Exemplos 1) Os vetores (3,5) (3,5) são iguais. que é a expressão analítica de v. 2) Se o vetor é igual ao vetor de acordo com a definição de igualdade dos vetores, 5 2y 4 ou 4 e 5. Assim, se então A primeira componente é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em vez de escrever pode-se escrever v (3,-5). Assim também, 2.3.2 Operações (0,3) -10i (-10,0) Sejam os vetores e Define-se: e, particularmente, (0,0). Observação Portanto, para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas correspondentes, e para Deve ter ficado claro que a escolha proposital da base deve-se à simplificação. multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Assim, para exemplificar, quando nos referimos a um ponto P(x, y), ele pode ser identificado com o vetor sendo o a origem do sistema (Fig. 2.2). Exemplo Dados os vetores (4,1) V calcular y P A Figura 2.3-a mostra, geometricamente, que 2, e a Figura 2.3-b que Figura 2.2 Desta forma, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Figura 2.3-a22 Geometria analítica Vetores no e 21 y Substituindo u e na equação, vem 2u 2 Figura 2.3-b 4 8 As definições acima e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades citadas em 1.5: a) para quaisquer vetores e tem-se 2) Encontrar os números a₁ e a₂ tais que b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b, tem-se Solução Substituindo os vetores na.igualdade acima, temos: 2.3.3 Problemas Resolvidos 1) Determinar o vetor w na igualdade sendo dados e Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que: Solução Esta equação pode ser resolvida como uma equação numérica: sistema de solução a₁ = 3 e a₂ -1. Logo, 6w. 2.4 Vetor Definido por Dois Pontos Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto e extremidade em (Fig. 2.4-a).Vetores no IR² e IR³ 23 24 Geometria analítica De acordo com o que foi visto em 2.2, os vetores OA e OB têm expressões analíticas: 2.4.1 Problema Resolvido Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem: 3) Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que donde y A Solução ou: B e: X AB Figura 2.4-a logo: isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve É importante assinalar que as componentes do vetor AB, calculadas por meio de B-A, são sempre as mesmas componentes do representante OP com origem no início do sistema. Este Pela condição de igualdade de dois vetores: detalhe fica claro na Figura 2.4-b onde os segmentos orientados equipolentes AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3,1). sistema cuja solução é e y 5 Por conseguinte: y 4 3 2 2.5 Decomposição no Espaço Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma o 3 4 análoga, consideradas as adequações necessárias. No plano, qualquer conjunto de dois vetores, não colineares, é uma base e, Figura 2.4-b portanto, todo vetor deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre26 Geometria analítica Vetores no IR² e no 25 existem os números a₁ e a₂ reais tais que V + No espaço, qualquer conjunto de três vetores não coplanares é uma base e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor v V do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais a₂ e a₃ tais que: y onde a₂ e são as componentes de em relação à base considerada. Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. X Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolhe- remos para nosso estudo a base canônica representada por Consideremos estes três Figura 2.5-b vetores representados com origem no mesmo ponto e por este ponto três retas como mostra a Figura 2.5-a. A reta com a direção do vetor é o eixo dos X (das abscissas), a reta com a direção do vetor é o eixo dos y (das ordenadas) e a reta com a direção do vetor é o eixo dos (das cotas). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo. Estes eixos são chamados eixos coordenados. Z y 1 k Figura 2.5-c y 1 Figura 2.5-a y o Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: plano xOy ou xy, o plano xOz ou XZ e plano yOz ou yz. As Figuras 2.5-b, 2.5-c e 2.5-d dão uma idéia dos planos xy, XZ e yz, respectivamente. Figura 2.5-dVetores no IR² e no IR³ 27 28 Geometria Estes três planos se interceptam segundo três eixos dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada octante. A Figura 2.5-e dá uma idéia do octante, a Figura 2.5-f do Para obter a ordenada de P, tracemos por P um plano paralelo coordenada ao plano b, que o é octante e a Figura 2.5-g do 30 octante. (Fig. 2.5-h). de interseção deste plano com o eixo dos y tem, nesse eixo, uma ao plano xy, ponto ordenada de P (Fig. 2.5-i). De forma análoga, ao traçar por P um plano paralelo a fica determinada a coordenada que é a cota de P (Fig. 2.5-j). o y P P. b y y X Figura 2.5-e a a X X Figura 2.5-i Figura 2.5-h P y y b o o y a X Figura 2.5-f Figura 2.5-g Figura 2.5-j A cada ponto P do espaço vai corresponder uma terna (a, b, c) de números reais, chama- das coordenadas de P e denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. Para obter a abscissa de P, tracemos por P um plano paralelo ao plano yz; o ponto de interseção este procedimento de traçar os três planos pelo ponto P, fica determinado procedimento, um paralele- deste plano com o eixo dos X tem, nesse eixo, uma coordenada a, que é a abscissa de P Com pípedo retângulo como o da Figura 2.5-j. Se o ponto fosse P(2,4,3), com idêntico teríamos o paralelepípedo da Figura 2.5-l.Vetores no e no 29 30 Geometria analítica 4 3 E D F A P C o y 4 2 y 2 A B A' 3 Figura 2.5-l X Com base nesta figura, temos: Figura 2.5-m A(2,0,0) um ponto P(x,y,z) está no eixo dos X quando y = e = 0; C(0,4,0) um ponto está no eixo dos y quando = 0 e = 0; o plano, este vetor V é igual ao vetor OP com (0,0,0) e P(x,y,z). Na Figura 2.5-n, o vetor E(0,0,3) um ponto está no eixo dos quando = 0 e y = 0; corresponde à diagonal do paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores B(2,4,0) um ponto está no plano xy quando e zk. E, para simplificar, escreveremos D(0,4,3) um ponto está no plano yz quando F(2,0,3) um ponto está no plano XZ quando 0 ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos que é a expressão analítica de v. planos yz e XZ, respectivamente. o ponto A(2,0,0) é a projeção de P(2,4,3) no eixo dos X, assim como e E(0,0,3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos respectivamente. Está claro que um ponto do plano xy é do tipo (x,y,0). Ao desejarmos marcar um zk ponto no espaço, digamos A(3, procedemos assim: marca-se o ponto no plano xy; desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse 4 seriam y 4 unidades para baixo) (Fig. 2.5-m). Para completar nosso estudo, consideremos um vetor onde X, y e são as componentes de v na base canônica Da mesma forma como fizemos para Figura 2.5-n BIBLIOTECA UNI-BH 174930Vetores no e no IR³ 31 32 Geometria analítica Em vez de escrever pode-se escrever Assim, também, produto cartesiano ou IR³ é o conjunto = y, e sua representação geométrica é o espaço cartesiano determinado pelos três eixos cartesianos, (1,-1,0) dois a dois ortogonais, Ox, Oy e Oz (Fig. 2.5-q). = e, em Tendo em vista a correspondência biunívoca entre o conjunto de pontos P(x,y,z) do espaço e o conjunto de vetores o espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Diz-se que este espaço tem três dimensões ou que ele é tridimensional, porque qualquer uma de suas bases tem três vetores e, portanto, o número de componentes de um vetor é três. De forma análoga, o plano tem dimensão 2 ou é bidimensional. Fica fácil entender que a reta tem dimensão 1 ou é unidimensional. o y y conjunto formado por um ponto e por uma base constitui um sistema referencial. Em particular, que é nosso caso, o conjunto formado pelo ponto e pela base é chamado referencial ortonormal de origem ou, ainda, sistema cartesiano ortonormal Oxyz. Este sistema (Fig. 2.5-a) é indicado por Por analogia, no plano, o sistema é chamado sistema cartesiano ortonormal xOy ou, simplesmente, sistema cartesiano xOy. Por outro lado, sabemos que a representação geométrica do conjunto IR dos reais é a Figura 2.5-q reta, por isso também chamada reta real (Fig. IR 2.6 Igualdade Operações Vetor Definido por Dois Pontos Figura 2.5-o 0 produto cartesiano ou R² é o conjunto e sua Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no espaço: representação geométrica é o plano cartesiano determinado pelos dois eixos cartesianos ortogonais e y I) Dois vetores e são iguais se, e somente se, y IR² II) Dados os vetores e define-se: y III) Se e são dois pontos quaisquer no espaço, então: Figura 2.5-pVetores e IR³ 33 34 Geometria 2.7 Condição de Paralelismo de Dois Vetores Solução Em 1.5.3 vimos que, se dois vetores e são colineares (ou paralelos), existe um número k tal que u kv, ou seja, Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta: ou: ou: mas, pela definição de igualdade de vetores: Somando os três vetores do segundo membro da igualdade, vem: Pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema: ou: a₂ 2 a₁ X₂ Z₂ Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas que tem por solução a₁ = 3, a₂ 1 e coordenadas são proporcionais. Representa-se por dois vetores u e v V paralelos. Logo: Exemplo Os vetores 6, são paralelos pois: 5) Dados os pontos Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P,Q,R e S sejam vértices de um paralelogramo. Solução É claro que se uma componente um vetor é nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. Se PQRS é o paralelogramo da figura, então PQ e QR R S 2.7.1 Problemas Resolvidos 4) Dados os pontos A(0,1,-1) e e vetores J- (-2,2,2), verificar se existem os números e a₃ tais que AB Q P36 Geometria Vetores IR² e no IR³ 35 7) Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades Para vamos ter na primeira igualdade: e Q-P=R-S ou: Solução A M mas, pela definição de igualdade de vetores: ponto médio M é tal que -1-z=-2 AM MB Essas igualdades implicam ser y 0 e Logo: ou: Com a utilização da igualdade, resultado obviamente seria o mesmo. Além desta solução, Sendo M vem: existem duas outras que ficam a cargo do leitor. 6) Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores = e e daí: Solução A condição de paralelismo de dois vetores permite escrever: = 3 = 1 portanto: 4 2 2n ou: 3(2n 2 2m 2 12 logo: + A solução do sistema permite dizer que m = 5 e 6 5 +Vetores IR² e IR³ 37 38 Geometria analítica 14) Mostrar que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3), C(3,2,5) e D(2,1,3) são vértices de um 2.8 Problemas Propostos paralelogramo. 1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3). 15) Determinar o simétrico do ponto P(3, 1, -2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 2) Dados os vetores e (-1,2), determinar o vetor tal que 2.8.1 Respostas dos Problemas Propostos a) v) 1) (1,-2) 3) (-4,1), (2,5), (-5,-30) 3) Dados os pontos A(-1,3), B(2, e calcular AB, OC BC e - 4CB. 4) Dados os vetores (3,-4) verificar se existem números a e b tais que 7) 8) 5) Dados os vetores (2,-4), (-5,1) e = (-12,6), determinar e k₂ tal que 9) 6) Dados os pontos A(-1,3), B(1, determinar D tal que 12) a) sim b) não 7) Dados os pontos A(2,-3,1) e determinar o ponto P tal que AP PB. 13) 13 15) 8) Dados pontos A(-1,2,3) e determinar o ponto P tal que AP = 9) Determinar o vetor V sabendo que (3,7,1) 10, 10) Encontrar os números a₁ e a₂ tais que sendo 11) Determinar a e b de modo que os vetores e sejam paralelos. 12) Verificar se são colineares os pontos: a) A(-1,-5,0), B(2,1,3) e b) e C(1,0,4) 13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) e C(a,b,7).CAPITULO 40 Geometria analítica 3 Substituindo e resolvendo a equação dada, vem PRODUTOS DE VETORES 4α+4-α-6=5 3α=5-4+6 e: 3.1 Produto Escalar Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores e se representa por ao número real 3.2 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor representado por é o número real não negativo produto escalar de u por v V também é indicado por e se lê escalar v". Exemplo ou, em coordenadas, ou 3.1.1 Problema Resolvido 1) Dados os vetores -1) e e os pontos A(4,-1,2) e determinar o valor de tal que Exemplo Solução então 39 BIBLIOTECA UNI-BH RP. 17493042 Geometria analítica Produtos de vetores 41 Observações Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando a equação vem: a) Versor de um vetor Se o versor do vetor do exemplo for designado por tem-se: m² 6m 27 = 0 Resolvendo esta equação do grau pela conhecida fórmula m 2a b² 4ac na qual a 1, b = -6 obtém-se: versor é, na verdade, um vetor unitário, pois: e: b) Distância entre dois pontos A distância entre os pontos e B(x₂, é assim definida: logo: e, portanto, 3) Determinar a para que o vetor seja unitário. 3.2.1 Problemas Resolvidos Solução 2) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3) e B(1, -1, m) calcular m. Deve-se ter = , ou seja, Solução 4 mas: logo: α=Produtos de vetores 43 44 Geometria analítica 3.3 Propriedades do Produto Escalar Observação Para quaisquer que sejam os vetores v e De forma análoga demonstra-se que: é fácil verificar que: I) e somente se (imediato) II) (comutativa) 5) Provar que De fato: Solução III) (distributiva em relação à adição de vetores) De fato: 3.4 Ângulo de Dois Vetores IV) (exercício para leitor) Já vimos em 1.7 que o ângulo entre dois vetores não nulos e varia de 0° a 180°. Vamos mostrar que o produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles V) formado. Se u e se ângulo dos vetores e v, então: De fato, de acordo com a definição de módulo de um vetor: Com efeito: Elevando ambos os membros ao quadrado, vem: = aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Fig. 3.4, temos: C 3.3.1 Problemas Resolvidos 4) Provar que to Solução A Figura 3.4 (1)Produtos de vetores 45 46 Geometria analítica Por outro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do produto escalar (ver Problemas 4 e 5, c) Se de acordo com a Fórmula deve ser igual a zero, isto é, Item 3.3.1): cos que implica 90°. Nesse caso, ângulo reto: (2) Comparando as igualdades (2) e (1): to logo: 1> Conclusão: produto escalar de dois vetores e v produto dos seus módulos pelo co-seno 3.4.1 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores do ângulo por eles formado. Da fórmula Observações a) Se de acordo com a Fórmula deve ser um número positivo, isto é, cos o que implica 0° Nesse caso, é ângulo agudo ou nulo: (3.4-II) Esta fórmula é de larga aplicação no cálculo do ângulo de dois vetores. 3.4.2 Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores V De acordo com a observação da alínea c) do Item 3.4, podemos afirmar: dois vetores b) Se de acordo com a Fórmula cos deve ser um número negativo, são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, se: isto é, cosProdutos de vetores 47 48 Geometria analítica 3.4.3 Problemas Resolvidos logo: 1 6) Calcular o ângulo entre os vetores 1, 4) e (-1,2,2). 1 2-1-m-2 Solução 2 cos = (1,1,4).(-1,2,2) -1+2+8 cos = 9 1 6m² + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m² cos 2m² + 16m + 32 0 m² + 8m + 16 0 logo: m = -4 (raiz dupla) = arc cos 45° 8) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,-3,3), e 7) Sabendo que o vetor forma um ângulo de 60° com o vetor AB determinado Solução pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m), calcular m. Observemos que o ângulo A é o ângulo entre os vetores AB e AC. Logo: Solução C De acordo com a igualdade (3.4-II), podemos escrever: cos 60° = A AB mas: cos  = AC 2+6+1 9 0,982 1+4+1 4+9+1 14 e: cos 60° 2Produtos de vetores 49 50 Geometria analítica Analogamente, 10) Determinar um vetor ortogonal aos vetores e cos BA BC -3 BA 2 Solução arc cos 2 3 150° Seja o vetor procurado. Para que seja ortogonal aos vetores e devemos ter: cos CA.CB 2+3 5 0,9449 4+9+1 + 14 28 sistema: 9) Provar que o triângulo de vértices A(2,3,1), e é um triângulo retângulo. é indeterminado e sua solução é: Solução A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que o produto Isto significa que os vetores ortogonais a e são da forma escalar de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo. Consideremos os vetores: Um deles é o vetor Observação Os vetores da base canônica: (Poderíamos também considerar os vetores opostos deles.) Calculemos: são ortogonais entre si: AC Tendo em vista que BC o ângulo formado pelos vetores AB e BC, de vértice B, é e unitários: reto. Logo, ABC é retângulo.52 Geometria analítica Produtos de vetores 51 Diretores e Co-Senos Diretores de um Vetor 3.5.1 Problemas Resolvidos 3.5 11) Calcular os co-senos diretores e os ângulos diretores do vetor Seja vetor diretores de são os ângulos α, ß e γ que forma com os vetores e Solução respectivamente (Fig. 3.5). cos 6 7 0,857 a 31° ou 0,541 rad cos = -2 7 -0,286 107° ou 1,866 rad γ o y 12) Dados os pontos -3) e B(3,1,-3), calcular os ângulos diretores do vetor AB. Solução Figura 3.5 Co-senos diretores de são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos α, cos e Para o cálculo dos co-senos diretores utilizaremos a Fórmula 3.4-II: cos = y, 0, Observação cos = 1 Como o vetor AB é ortogonal ao vetor ou ao eixo dos z. Assim, sempre que um vetor tem nula a terceira componente, ele é ortogonal ao eixo dos De forma análoga, um vetor do tipo é ortogonal ao eixo dos X e um do tipo é cos = ortogonal ao eixo dos y. BIBLIOTECA UNI-BHProdutos de vetores 53 54 Geometria analítica 3.5.2 Propriedades I) Seja o vetor v = (x,y,z). Designando o versor de v por vem: por 45° e γ por 60°, vem: cos² + cos² 45° + cos² 60° = 1 ou: ou: 2 1 4-2-1 1 cos² = 1 = 4 4 4 4 u = (cos α, cos ß, cos 4 1 1/2 Portanto, as componentes do versor de um vetor são os co-senos diretores deste vetor. II) Como o versor de é um vetor unitário, tem-se logo: = 60° ou α = 120° (cos α, cos ß, cos = 1 14) Um vetor V forma com os vetores e ângulos de 60° e 120°, respectivamente. mas: Determinar o vetor v, sabendo que (cos α, cos cos = + + Solução logo: Seja No caso presente: = 60° e = 120°, + + = 1 logo: e: + + = = 1 Portanto, a soma dos quadrados dos co-senos diretores de um vetor é igual a 1. mas: 3.5.2.1 Problemas resolvidos cos 60° = 1/2 13) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45° e 60°. Determinar logo: Solução 2 2 1 :. Substituindo na igualdade: cos² + cos² = 1 Por outro lado: cosProdutos de vetores 55 56 Geometria analítica mas: cos 120° = 2 1 u logo: 13 1> 13 W W Figura 3.6 Sabemos que: Como e V têm a mesma direção, segue-se que: isto é: Então: ou: 13 ou: portanto: logo: = Portanto, o vetor projeção de sobre 3.6 Projeção de um Vetor proj Sejam os vetores e v, com e e o ângulo por eles Preten- demos calcular o vetor W que representa a projeção de u sobre v. A Figura 3.6 ilustra as ou: (3.6) duas situações possíveis podendo ser um ângulo agudo ou obtuso. Do triângulo retângulo, vem: 13 3.6.1 Problemas Resolvidos 15) Determinar o vetor projeção de = sobreProdutos de vetores 57 Solução 58 Geometria b) Vamos calcular primeiramente o vetor projeção do vetor BA sobre o vetor BC. Pela Utilizando a fórmula: Fórmula 3.6, sabe-se que: proj. obtém-se: Sendo BA e vem: proj. BC proj. A medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o módulo do vetor, ou seja: 16) Sejam os pontos A(1,2,-1), B(-1,0,-1) e C(2,1,2). Pede-se: 9+1+9 a) mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A; b) calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC; c) Seja o pé da altura relativa ao vértice A. c) determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A. mas: Solução a) Para mostrar que o ângulo A é reto basta mostrar que os vetores AB e AC são e: ortogonais, isto é, AC A logo: Tendo em vista a definição de igualdade de vetores, vem: B C H60 Geometria analítica Produtos de vetores 59 d) se é o ângulo entre u e então Resolvendo o sistema, se obtém: cos logo: e) se, e somente se, observemos que vetores do tipo (a,b) e (-b,a) 5 8 19 são ortogonais f) se a e são os ângulos diretores de então: Observação Se V é um vetor unitário, a fórmula (3.6) reduz-se a: h) 1> Sendo e considerando os vetores particulares resulta: 3.8 Produto Vetorial Dados os vetores e tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores u e e se representa por u , ao vetor: Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de ordem: Especificando, os vetores projeções do vetor sobre os vetores são e 5k, respectivamente. y₁ y₁ i- (3.8) 3.7 Produto Escalar no IR² Z₂ X₂ Z₂ Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do é válido também no R². Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é utilizar a notação: Considerando os vetores e temos: y₁ Z₂ c) validade das mesmas propriedades do produto escalarProdutos de vetores 61 62 Geometria analítica pois o membro de 3.8 é o desenvolvimento deste determinante simbólico segundo os ele- ou: mentos da linha, observada a alternância dos sinais que precedem os termos desse membro. Na verdade, o símbolo à direita da igualdade não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores ao invés de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memo- rização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. e: ObservaçãoProdutos de vetores 63 64 Geometria analítica II) De acordo com uma propriedade dos determinantes (... cada elemento de uma linha é uma De fato, de acordo com a definição: soma de duas parcelas ...): 1> y₁ z₁ + X1 Z₂ Z₂ X3 Z₂ Portanto: y₁ z₁ Tendo em vista uma propriedade dos determinantes (... trocando-se entre si duas linhas ...): IV) De fato: Observação logo: Resulta desta propriedade que: mz, X2 III) De acordo com uma propriedade dos determinantes (... quando se multiplicam pelo núme- De fato, se ro m todos os elementos de uma linha...): Z₁ logo: Z₂ Portanto: y₁ z₁ Z₂Produtos de vetores 65 66 Geometria Observação Reciprocamente: se as componentes de XV são todas nulas, isto é, os determinantes: Do mesmo modo, demonstra-se que: y₁ Z₂ V) e somente se, um dos vetores é nulo ou se u e são colineares. De fato: são todos nulos. Isto significa que, ou ou são proporcionais a por conseguinte, ou ou e são a) Se é nulo, as suas componentes são (0,0,0): VI) é ortogonal simultaneamente aos vetores e -> Tendo em vista que dispõe o Item 3.4-II do produto escalar, se 0 0 0 Z₂ é ortogonal simultaneamente aos vetores De acordo com uma propriedade dos determinantes linha de elementos todos nulos ...): Ora, b) Se nem nem V são nulos, mas se e são colineares: y₁ Z₁ (u ou: logo: y₁ logo: (u y₁ 0 de acordo com a propriedade dos determinantes (... duas linhas iguais ...). Z₂ De form De acordo com uma propriedade dos determinantes (... duas linhas que têm seus elementos y₁ y₁ proporcionais ...): V (u + Z₂ Z₂ Z₂ X VProdutos de vetores 67 68 Geometria 2 logo: Z₂ y X₂ Z₂ de acordo com a mesma propriedade dos determinantes. Por conseguinte, é ortogonal simultaneamente aos vetores u Exemplo produto vetorial dos vetores e 27 éo vetor: Figura 3.9-a Considerando vetores da base canônica e observando que: vetor é ortogonal, simultaneamente, aos vetores e v. De fato: 1 0 0 0 1 0 isto é: VII) Os vetores têm as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um conclui-se que os vetores têm as direções das arestas de um triedro direto. Também saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que de Ox para Oy, avançar no sentido positivo costuma-se dizer que a base é de sentido positivo e, no momento em que sentido de triedro é direto). fica caracterizado, ao adotarmos uma ordem circular (Fig. 3.9-b) para estes vetores, sentido Tendo em vista que e que os vetores X e são simultaneamente ortogonais a e (Fig. 3.9-a), os vetores e têm as direções das arestas de um triedro direto, enquanto os vetores evxu têm as direções das arestas de um triedro não direto. Figura 3.9-bProdutos de vetores 69 70 Geometria analitica se mantém, isto é, as bases e também sentido positivo. Em outras ou: palavras, podemos, neste caso, também dizer: produto vetorial dos dois primeiros vetores destas bases é igual ao terceiro. u 2 cos VIII) De fato: y₁ z₁ Z₂ Z₂ logo: logo: e, finalmente: Por outro lado: X) produto vetorial não é e: De fato, vetor u (v é coplanar com e , ao passo que vetor é coplanar com u e Então, em geral: Efetuando as operações indicadas, verifica-se que: 3.10 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores A identidade acima, conhecida como Identidade de Lagrange, também pode ser expressa por: Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores = AB e = AC (Fig. 3.10-a). C D IX) Se se éo ângulo dos vetores h 0 A De fato, de acordo com a Identidade de Lagrange: B Figura 3.10-aProdutos de vetores 71 72 Geometria isto é: De fato: Área ABCD = h Tendo em vista que , vem: Área ABCD mas: Logo, os correspondentes versores são: (-15, 10, 30) (-15, 1225 10, 30) 35 (-15, 10, 30) 7'7'7 3 2 6 logo: X + 100 + 900 Área ABCD. X 3 2 6 e 7 7 3.10.1 Problemas Resolvidos Observação 17) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores e Daqui por diante, com objetivo de proporcionar ao estudante a oportunidade de auto- avaliar seus conhecimentos, não serão realizados, durante a solução de um problema, os cálculos sobre assuntos já vistos anteriormente, a não ser em casos especiais. Solução Assim, por exemplo: A propriedade VI do produto vetorial afirma que o vetor u XV, como também 0 vetor 1) 0 determinante simbólico é simultaneamente ortogonal a u e Logo, os versores de e de cons- tituem a solução do problema. 2 -6 3 -6 3 2 3 2 -6 2 -6 3 = 4 3 1 3 1 4 4 3 4 3 1 será escrito simplesmente do seguinte modo: ou: k 2 -6 3 4 3 1 e: em lugar de ser desenvolvido por uma linha como foi feito no problema anterior (desen- volvimento do determinante pela 1ª linha).74 Geometria e: Produtos de 73 2) Quando for definido pelas coordenadas da origem e da extremidade, como, por A(1,-2,1) B(2,-1,4), simplesmente logo: lugar de: 3 6 -3 -1 -3 4 3) se tiver e SC necessitar do vetor Por conseguinte: -9, u.a. (unidades de área). 19) Sejam os vetores e Calcular o valor de a para que a área do lugar de: paralelogramo determinado por u e y seja igual a - Solução 4) Operações com Matrizes, cálculo de Determinantes resolução de Sistemas de Equações Lineares, quando intervierem na solução de um somente as respostas, uma que esses assuntos SC constituem de A área do paralelogramo é dada por: OS cálculos de assuntos já abordados ficarão a cargo do estudante, it título de as respostas encontradas conferirem com as apresentadas, Entre- se após algumas tentalivas houver complete concordância, é sinal de Deseja-se que: provavelmente, assunto deve 18) Dados vetores calcular a área do paralelogramo deter- minado pelos vetores e mas: Solução 3 Sabemos que it A dada por 0 2Produtos de vetores 75 76 Geometria analítica ou: mas: Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, vem: 1 1 3 -2 -1 2 Resolvendo esta equação do grau, tem-se: 20) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2,-1,4) e logo: Solução u.a. A Figura 3.10-b mostra que, a partir do triângulo ABC, é possível construir um paralelo- 3.11 Produto Misto gramo ABDC, cuja área é dobro da área do Dados vetores e tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores e ao número real D 7 Indica-se o produto misto por Tendo em vista que: 1- = - Z₃ Z₃ X3 A B X3 Figura 3.10-b e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, valor de w) é dado por: Considerando paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC, conclui-se que a área A do triângulo é: Z₂ X2 +z₁ X3Produtos de vetores 77 78 Geometria ou: logo: y₁ z₁ mx2 Z₂ Z₂ 0 Z₃ Z₃ Exemplo c) Se e W são coplanares, vetor por ser ortogonal aos vetores V e , é Calcular produto misto dos vetores + + e + ortogonal ao vetor u (Fig. 3.12-a). Se e X são ortogonais, o produto escalar é nulo. É fácil verificar 2 3 5 que, reciprocamente, se nenhum dos vetores e W é nulo e se dois quaisquer deles não são -1 3 3 = 27 colineares, o anulamento de significa que e W são coplanares. 4 -3 2 3.12 Propriedades do Produto Misto I) se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. De fato: a) se u é nulo as suas componentes são (0,0,0): 0 0 0 Z₂ 0 Figura 3.12-a Repetindo: se e são coplanares, b) Se nem nem são nulos, mas se u e são colineares: Esta propriedade é de fundamental importância em vários tópicos a serem estudados. De forma análoga, dizemos que quatro pontos A,B,C e D pertencem a um mesmo plano (Fig. 3.12-b) se os vetores AB, AC e AD forem coplanares, isto é, se ou80 Geometria Produtos de vetores 79 D D Demonstração: a cargo do leitor. C A C A B B IV) , w) Três vetores Três vetores não coplanares coplanares Demonstração: a cargo do leitor. Figura 3.12-b II) 0 produto misto independe da ordem circular dos vetores (Fig. 3.12-c), isto é: Observação 0 produto vetorial e o produto misto não são definidos no R². 3.12.1 Problemas Resolvidos 21) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: V Figura 3.12-c Solução Entretanto, produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores Os três vetores são coplanares se: consecutivos, isto é: mas: Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas linhas. 3 -1 4 Observação 1 0 -1 Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais e X permutam 2 -1 0 entre si no produto misto de três vetores: Logo, os vetores não são coplanares.Produtos de vetores 82 Geometria 81 22) Qual deve ser o valor de m para que os vetores -1), = (1,-1,3) e e: sejam coplanares? -2 -2 -6 -1 0 -2 0 Solução -3 -1 -7 Para que e to sejam deve-se ter: Logo, os pontos dados são coplanares. isto é: m 2 -1 3.13 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto -1 3 = 0 -2 4 Geometricamente, produto misto - w) é igual, em módulo, ao volume do paralele- pípedo de arestas determinadas pelos vetores u = AD, = AB e = AC (Fig. 3.13-a). ou: -4m + 6m + 2 = 0 e: m=3 D U 23) Verificar se os pontos e D(-2,1,-3) estão no mesmo plano. h C Solução A para tanto, deve-se ter: Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e e, B Figura 3.13-a84 Geometria Comparando (1) com (2), vem: Produtos de vetores 83 Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é: Logo: V (área da base) (altura) ou: 3.13.1 Volume do Tetraedro Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma mas: triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à base e à altura do prisma, volume de cada uma destas pirâmides é 6 do volume do paralelepípedo. Sendo A, e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três e sendo 0 o ângulo entre os vetores X lembrando que vetor é perpendi- não colineares (Fig. 3.13-b), as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores AB, cular à base, a altura do paralelepípedo é dada por: AC e AD e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é: (É necessário considerar valor absoluto cos pois 0 pode ser um ângulo obtuso.) Logo, volume do paralelepípedo é: D ou: C Fazendo vem: A (1) B mas, de acordo com Figura 3.13-b 3.13.2 Problemas Resolvidos e, em Dados os vetores (x, 5, 0), (3, -2, 1) e (1, 1, -1), calcular o valor de X para que o volume do paralelepípedo determinado por e W seja 24 (unidades de (2) volume).Produtos de vetores 85 86 Geometria Solução Solução 0 volume do paralelepípedo é dado por: 0 volume do tetraedro é dado por: e, no caso presente, deve-se ter: mas: mas: 5 0 e: 3 -2 1 20 1 -1 6 2 2 3 4 = 24 2 1 2 logo: Portanto, volume do tetraedro é: que, pela definição de módulo, implica duas hipóteses: ou: 3.14 Duplo Produto Vetorial Dados vetores e chama-se duplo produto vetorial dos vetores u,v e W ao vetor portanto: Observação 25) Calcular volume do tetraedro cujos vértices são: A(1,2,1), B(7,4,3), Tendo em vista que produto vetorial não é associativo, em geral D(3,3,3).Produtos de vetores 87 88 Geometria analitica 3.15 Decomposição do Duplo Produto Vetorial Por outro lado: duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com coeficientes escalares: 13 a 0 0 = ack b 0 Com efeito, vetor X é coplanar com e isto é: e y Z Para determinar escolhe-se a base ortonormal com paralelo a 0 0 ac coplanar com e W, paralelo a (Fig. 3.15). ou: Tendo em vista as igualdades (3.15-II): (3.15-III) y Comparando as igualdades (3.15-I) e (3.15-III), vem: m=bx+cy Mas de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades 3.15-II: Figura 3.15 ax De acordo com a Figura 3.15 pode-se escrever: logo: (3.15-II)90 Geometria analítica Produtos de vetores 89 Substituindo men em Comparando verifica-se que: Esta fórmula pode ser escrita sob a forma de determinante: V 3.16 Problemas Propostos Exemplo 1) Dados os vetores e determinar a de modo que 2) Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor tal que 3) Determinar o vetor sabendo que logo: y 4) Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar 0 versor do vetor 8 -21 5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: Por outro lado: 6) Determinar valor de n para que o vetor (n, 24 seja unitário. 7) Seja vetor Calcular m para que 8) Dados os pontos -1), B(4,2,1) e determinar o valor de m para que logo: sendo to V 9) Dados os pontos e determinar m de modo que 13 -27 -1 10) Calcular perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) eProdutos de vetores 91 92 Geometria 11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, e B(-2, 27) Determinar vetor v, sabendo que é ortogonal ao eixo Oz, = e 12) Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3, -2, Determinar o ângulo interno ao vértice B. 28) Sabe-se que cos 2 Determinar v. 13) Os pontos A, B e são vértices de um triângulo cujo lado mede 10cm. Calcular 29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor o produto escalar dos vetores AB e AC. 30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor 14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 31) vetor é ortogonal aos vetores e forma ângulo agudo com vetor Calcular sabendo que 3 15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2,1,3), B(1,0,-1) e 32) Determinar vetor ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições e 16) Sabendo que o ângulo entre os vetores e determinar m. 33) Determinar o vetor projeção do vetor na direção de 17) Calcular n para que seja de 30° ângulo entre os vetores 34) Qual o comprimento do vetor projeção de sobre eixo dos x? 18) Dados os vetores determinar o valor 35) Se o vetor AB tem co-senos diretores p,qer e ângulos diretores quais são os de a para que o vetor a seja ortogonal ao vetor co-senos e os ângulos diretores de 19) Determinar vetor v, paralelo ao vetor tal que 36) Mostrar que se u e são vetores, tal que é ortogonal a então 20) Determinar vetor ortogonal ao vetor e colinear ao vetor 37) Mostrar que, se é ortogonal a é também ortogonal a 21) Determinar o vetor colinear ao vetor tal que sendo 38) Calcular o módulo dos vetores e , sabendo que e o ângulo entre de 22) Provar que os pontos A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) são vértices de um triângulo 39) Sabendo que e que formam um ângulo de 4 rad, determinar retângulo. 23) Qual o valor de a para que os vetores sejam 40) Determinar sabendo que ortogonais? 24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, B(3,3,5) e 41) vetor é ortogonal aos vetores e forma ângulo agudo com eixo dos X. Determinar , sabendo que 25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar. 42) Dados os vetores calcular: 26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e Determinar γ.94 Geometria analítica Produtos de vetores 93 51) Sabendo que e 45° o ângulo entre a e calcular 52) Se 3 3 e 60° é o ângulo entre determinar 53) Dados os vetores e obter um vetor de módulo 3 que seja d) ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 54) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores 55) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos e é um paralelogramo e calcular sua área. 56) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores e 43) Dados vetores calcular: sendo e 57) Calcular a área do triângulo de vértices 44) Dados os pontos A(2,-1,2), B(1,2,-1) C(3,2,1), determinar o vetor a) A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3) b) B(4,2,1) e 45) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores e sendo c) A(2,3,-1), C(-1,0,2) d) B(2,3,-1) C(0,1,1) 46) Dados os vetores e mostrar que 58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3,2,1) e uma diagonal de extremidades B(1,1,-1) e 47) Determinar o valor de m para que o vetor seja simultaneamente ortogonal aos 59) Calcular sabendo que A(x,1,1,), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um 48) Dados os vetores determinar e y para que triângulo de área 2 60) Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e calcular a medida da 49) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores e altura relativa ao lado BC. Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5. 61) Determinar tal que seja ortogonal ao eixo dos y e sendo 50) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: 62) Dados os vetores determinar vetor paralelo a que satisfaz à condição:96 Geometria Produtos de vetores 95 63) Dados os vetores e determinar vetor que satisfaz a 72) Calcular valor de m para que volume do paralelepípedo determinado pelos vetores seja igual a 10. relação e que seja ortogonal ao vetor 73) Os vetores e determinam um para- 64) Demonstrar que sabendo que lelepípedo de volume 42. Calcular m. 65) Sendo e vetores do espaço, com 74) Dados os pontos A(1, -2,3), C(0, 2, e D(-1,m,1), determinar valor a) determinar número real I tal que seja ortogonal a v; de m para que seja de 20 unidades de volume volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD. b) mostrar que 75) Calcular o volume do tetraedro sendo dados: 66) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7) b) A(-1, B(0, 1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0). Para este, calcular também a medida 67) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: da altura traçada do vértice A. Respostas dos Problemas Propostos 1) a=2 68) Verificar se são coplanares os pontos: 11) P(1,0,0) a) A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0, 2, e D(-1,0,-2) 2) 12) 45° b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) D(-1,-2,2) 3) 13) 50 c) A(2,1,3), C(-1,-1,-1) e 4) 744 14) 169 69) Para que valor de m os pontos A(m, 1,2), e são 10 5) unitário 15) = coplanares? 6) + 5 70) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: cos 9 2 are cos 16) m=-4 17) 71) Sejam os 10) Determinar o volume do paralelepípedo definido porProdutos de vetores 97 98 Geometria 19) (-3,3,-6) 39) 26 + 15 √₂ 51) 3 61) (1,0,1) 20) 40) -9 52) 2 62) 21) (2,-1,-3) 41) (12,-6,4) 53) ( 6 3 15 ) 63) 22) BA BC = 0 42) a) (2,2,-1) b) (-1,-1,0) 54) 65) a) 23) -3 ou 2 c) (-2,-2,2) 55) 67) a) Não; b) Sim. 24) À d) (6, 6, -6) e) 3 56) 68) a) Sim; b) Não; c) Sim. 25) Não, 45° + cos² 60° + cos² 90° # 1 57) a) 69) m=4 g) (4,-1,3) e 26) 60° ou 120° 7 h) I b) 70) a) 6 ; b) 3 2 : 27) (4,3,0) ou (-4,3,0) 9 43) a) (-2,4,-6) c) 71) 44 2 b) (4,-8,12) 28) d) 2 72) 6 ou -4 44) (12,-8,-12) 29) Um deles é 58) 73) 2 ou 3 8 45) x(3,7,1), 30) 5 5 10 ) 59) 3 ou 1/5 74) 6 ou 2 46) a c) = 10 = X b) 60) 75) a) 2 ; b) 4 e 8 7 47) -5 31) (2,7,1) 32) (-1,4,0) 48) y = 3 33) 10 9 (2,1,-1) 49) Duas soluções para cada caso: 34) 3 ( 1 1 1 ou ( 1 1 1 ) 35) e e: - B e 38) e 5 ( 1 1 ) ou 5( 1 1 1 )100 Geometria analitica CAPÍTULO ou: 4 (4.1-II) se A RETA Qualquer uma das equações e (4.1-II) é denominada equação vetorial da reta Γ. 0 vetor c) é chamado vetor diretor da reta e t é denominado É fácil verificar que a cada valor de t corresponde um ponto particular P: quando 1 varia de a o ponto P descreve a reta Exemplo Determinar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção 4.1 Equação Vetorial da Reta do vetor Seja uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo v. Para Designando por P(x,y,z) um ponto genérico dessa reta, tem-se: que um ponto P do espaço pertença à reta é necessário e suficiente que os vetores AP e sejam colineares (Fig. isto é: isto é: ou: Quando t varia de a P descreve a reta Assim, se t=2, por exemplo: P A k y 0 ponto P(7,4,-7) é um ponto da reta Reciprocamente, a cada ponto PEr corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P(7,4,-7) pertence à reta Figura 4.1 De vem: logo, é verdadeira a afirmação: algum número real t. 99