Ap1 MD2 2010 2 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
AP 1 2010/2 Met. Det. II 12/09/2010 
 
 
1ª questão (2,0 pontos) 
Seja a função bijetora 






−→






−−
2
3
2
1
: IRIRf tal que 
52
73)2(
+
+
=+
x
x
xf . 
Determine: 
a) a expressão de )(xf ; 
b) a expressão de )(1 xf − ; 
c) a composta de f com g tal que g (x) = x2 + 1. 
Solução: 
a) substitua x + 2 por outra variável auxiliar, por exemplo, t. Portanto, se x + 2 = t, 
temos que 
12
13
5)2(2
7)2(3)(2
+
+
=
+−
+−
=⇒−=
t
t
t
t
tftx . Para apresentar o resultado 
na variável x, é só mudar o “nome” da variável, fazendo t = x. Portanto, 
12
13)(
+
+
=
x
x
xf . 
b) Para calcular )(1 xf − , utiliza-se o artifício de, na expressão de f, substituir o 
“nome” x por y e f(x) por x. Assim, 
32
11)32(13)12(
12
13
−
−
=⇒−=−⇒+=+⇒
+
+
=
x
xyxxyyyx
y
y
x que é a 
expressão de )(1 xf − . 
c) A composta de f com g será dada por 
32
43
1)1(2
1)1(3)1())(( 2
2
2
2
2
+
+
=
++
++
=+=
x
x
x
x
xfxgf 
2ª questão (3,0 pontos) 
Os gráficos de f e g estão representados abaixo. Use-os para determinar cada 
limite. Caso não exista, explique o por quê 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
)(xfy = )(xgy = 
 
a. f(2); 
b. )(lim
2
xf
x→
; 
c. [ ])()(lim
2
xgxf
x
+
→
; 
d. )1(g ; 
e. )(lim
1
xg
x →
; 
f. [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
 
g. )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
 
h. )(3lim
1
xf
x
+
→
 
 
Solução: 
a) observando o gráfico, f(2) = 1 
b) da mesma forma, 2)(lim
2
=
→
xf
x
 
c) como, observando o gráfico de g 0)(lim
2
=
→
xg
x
e o limite da soma é a soma dos 
limites, temos que [ ] 202)()(lim
2
=+=+
→
xgxf
x
 
d) observando o gráfico, 1)1( =g . 
e) Idem, )(lim
1
xg
x →
 não existe pois os limites laterais são diferentes. 
f) [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
 não existe pois não existe )(lim
1
xg
x →
. 
g) Não existe )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
 pois o limite do quociente é o quociente dos limites se o 
limite do denominador não for zero. 
h) Usando as propriedades, 
( ) 2413)(3)(3)(3 limlimlim
111
==+=+=+=+
→→→
xfxfxf
xxx
 
 
3ª questão 
Sejam 325)( += xxf e ( )xxxg x 9log)( 22 += + . 
a. (1,0 ) Determine o domínio da função g . 
b. (1,0) Calcule os valores de )
2
1(−f e )1(g . 
c. (1,0) Calcule o valor de 




 −
2
3)3(gf . 
Solução: 
a) a condição de existência do logaritmo é que o “logaritmando” seja positivo e a 
base seja maior que zero e diferente de 1. Assim, temos que 
1202092 ≠+>+>+ xexexx . Resolvendo, 
090)9(092 >−<⇒>+⇒>+ xouxxxxx . A segunda desigualdade, 
202 −<⇒>+ xx e a terceira restrição, 112 −≠⇒≠+ xx . Fazendo a 
interseção entre os intervalos, temos que ( ) ( )U +∞−−∈ ,02,9x . Portanto, o 
domínio da função g será o conjunto }029|{ >∨−<<−∈ xxRx 
b) 25555)
2
1( 231
3
2
12
====−
+−
+





−
f . ( ) 10log1.91log)1( 3212 =+= +g 
c) ( ) 3655
2
336log
2
33.93log
2
3)3( 36log32 336log25232 55
===




 −
=




 −+
=




 − +



 −
+ ffgf
 
4ª questão 
Seja ( ) ( )21)( 2 +−= xx
x
xf . Determine: 
a. (0,5) o domínio de f 
b. (1,0) a(s) assíntota(s) vertical(is) ao gráfico de f . 
c. (1,0) a(s) assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico de f . 
Solução: 
a) a condição de existência da função é que o denominador não seja nulo, que 
ocorre quando x = 1 e quando x = -2. Portanto, o domínio é o conjunto 
}12|{ ≠∧−≠∈ xxRx . 
b) As assíntotas verticais podem ocorrer nos pontos que não pertencem ao domínio. 
Portanto, precisamos testar os limites à esquerda e à direita de 1 e à esquerda e à 
direita de -2. Assim temos que ( ) ( ) +∞=+−−→ 21lim 21 xx
x
x
 pois a medida que x se 
aproxima de 1, por valores menores que 1, o denominador se aproxima de zero, 
mas por valores positivos. Da mesma forma, ( ) ( ) +∞=+−+→ 21lim 21 xx
x
x
. 
Analisando a outra possibilidade, temos ( ) ( ) +∞=+−−−→ 21lim 22 xx
x
x
, pois o 
numerador é um valor negativo e o denominador também é um valor negativo. 
Da mesma forma, temos que ( ) ( ) −∞=+−+−→ 21lim 22 xx
x
x
 pois o numerador é um 
valor negativo e o denominador é um valor positivo. Assim, as assíntotas 
verticais do gráfico de f são as retas x = 1 e x = -2. 
c) As assíntotas horizontais ocorrem quando x tende a infinito (positivo ou 
negativo). Assim, precisamos calcular ( ) ( )21lim 2 +−−∞→ xx
x
x
 e ( ) ( )21lim 2 +−+∞→ xx
x
x
. 
Calculando, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 0211 1lim21lim 22 =+−=+− −∞→−∞→
x
xxx
x
xx
 e da 
mesma forma, ( ) ( ) 021lim 2 =+−+∞→ xx
x
x
. Logo, a reta y = 0 é a assíntota horizontal 
ao gráfico de f.