AP1-MD2-2013-1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos II – Gabarito
Questão 1: (2,5pts) Seja f : R−{−1} −→ R−{1} dada pela expressão f(x) = x+2
x+1
. Encontre a
expressão de f−1 e também o doḿınio e a imagem de f−1.
Solução: (se trocou x por y e montou a equação ganha 0,5pt) Para calcular a inversa vamos adotar
o procedimento de chamar x de y na expressão da função e igualar a x e tentar isolar y.
x =
y + 2
y + 1
⇔ xy + x = y + 2
⇔ xy − y = 2− x
⇔ y =
2− x
x− 1
.
E portanto, f−1 : R − {1} −→ R − {−1} tem como fórmula f−1(x) = 2−x
x−1
. (se encontrou a
expressão correta de f−1(x) ganha 1,5pt e se deixou claro qual é o doḿınio e a imagem de f−1(x)
ganha 0,5pt final).
Questão 2: (2,0pts) Considere as funções f e g definidas por f(x) = x2 +4x− 5 e g(x) = 2x− 3.
Determine:
i) O valor de (g ◦ f) (2);
ii) A lei de definição de f ◦ g e, também, os valores do doḿınio de f ◦ g que têm imagem 16.
Solução: i)
(g ◦ f) (2) = g (f(2))
= 2f(2)− 3 = 2(22 + 4 · 2− 5)− 3 = 2 · 7− 3 = 11.
ii)
(f ◦ g) (x) = f (g(x))
= g(x)2 + 4g(x)− 5 = (2x− 3)2 + 4(2x− 3)− 5 = 4x2 − 4x− 8.
Finalmente, para calcularmos os valores do doḿınio de f ◦ g que têm imagem 16 é equivalente a
calcular
4x2 − 4x− 8 = 16 ⇔ 4x2 − 4x− 24 = 0 = (x+ 2)(x− 3).
Logo para x = −2 e x = 3.
Questão 3: (3,0pts) Considere f(x) = 53x−6 e g(x) = logx2−6x+8(x
2 − 2x− 8).
a) Determine o doḿınio da função g(x).
b) Calcule f
(
3g(6)+8
4
)
.
Solução: a) Para determinar o doḿınio de g(x), precisamos encontrar o pontos onde:
Métodos Determińısticos 2 AP3 2
• x2 − 2x− 8 = (x + 2)(x− 4) > 0 ⇔ x 4; Para a base do logaritmo precisamos
que:
• x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4) > 0 ⇔ x 4 e também que:
• x2 − 6x+ 8 ̸= 1 ⇔ x ̸= 3±
√
2.
Logo se x 4 e x ̸= 3 +
√
2, então x satisfaz a estas 3 condições simultaneamente.
b) Inicialmente vamos calcular g(6) = log8(16). Se y = log8(16) ⇔ 8y = 16 ⇔ 23y = 24, logo
y = 4
3
f
(
3g(6) + 8
4
)
= f
(
3 log8(16) + 8
4
)
= f
(
3
(
4
3
)
+ 8
4
)
= f(3) = 53 = 125.
Questão 4 (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
A) lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1
B) lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1
Solução: A) Como a função raiz quadrada é uma função cont́ınua, então
lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1
=
√
lim
x→1
x2 − 1
x− 1
=
√
lim
x→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
=
√
lim
x→1
x+ 1 =
√
2.
B) Observe inicialmente que 1 é raiz de tanto do denominador como do numerador, então
lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1
= lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1
(√
x2 + 3 + 2√
x2 + 3 + 2
)
= lim
x→1
x2 + 3− 4
(x2 − 1)(
√
x2 + 3 + 2)
=
1
4
.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ