Calcule os seguintes limites: A) lim x→1 (√(x^2 − 1))/(x− 1) B) lim x→1 (√(x^2 + 3)− 2)/(x^2 − 1)

Vamos calcular os limites passo a passo. A) \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1}\) - Para \(x = 1\), o numerador \(\sqrt{1 - 1} = 0\) e o denominador \(1 - 1 = 0\), temos uma forma indeterminada \(0/0\). - Para resolver, podemos racionalizar ou usar substituição. Note que \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), então: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \] Mas para \(x \to 1\), \(\sqrt{x - 1} \to 0\), o limite tende a infinito ou não existe (depende do lado). Analisando pelo lado direito (\(x \to 1^+\)): - \(\sqrt{x - 1} > 0\), então o quociente tende a \(\frac{\sqrt{2}}{0^+} = +\infty\). Pelo lado esquerdo (\(x \to 1^-\)): - \(\sqrt{x - 1}\) não é real (raiz de número negativo), então o limite não existe para \(x \to 1^-\) no conjunto dos números reais. Conclusão A: O limite não existe no sentido real, mas pelo lado direito tende a \(+\infty\). --- B) \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x^2 - 1}\) - Para \(x = 1\), numerador: \(\sqrt{1 + 3} - 2 = 2 - 2 = 0\) - Denominador: \(1 - 1 = 0\) - Forma indeterminada \(0/0\), podemos racionalizar o numerador: Multiplicamos numerador e denominador por \(\sqrt{x^2 + 3} + 2\): \[ \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x^2 - 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} = \frac{(x^2 + 3) - 4}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)} = \frac{x^2 - 1}{(x^2 - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \] Agora, substituindo \(x = 1\): \[ \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \] Conclusão B: O limite é \(\frac{1}{4}\). --- Resposta final: A) O limite não existe no conjunto dos números reais (tende a \(+\infty\) pelo lado direito). B) \(\boxed{\frac{1}{4}}\)