Tarefa 2

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Tarefa 2: Resolução de problemas envolvendo a progressão aritmética
Aprendizagem Essencial: Associar progressões aritméticas a funções afins de domínio discreto, deduzindo fórmulas e aplicando-as em situações-problema.
Turma:2ª D - EMP DESENV. SISTEMAS
🔥 Aquecimento
A lenda de Gauss e a Soma da PA
Na história da matemática, existe um relato famoso sobre o jovem Carl Friedrich Gauss. Aos dez anos de idade, ao ser desafiado a somar todos os números de 1 a 100, ele não somou um por um. Em vez disso, ele percebeu um padrão: a soma dos extremos era sempre constante (1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101 etc.). Esse raciocínio genial originou a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética (PA) finita:
Sn=(a1+an)⋅n2Sn​=2(a1​+an​)⋅n​
Para utilizá-la na resolução de problemas, precisamos conhecer: o primeiro termo da sequência (a1​), o último termo do período analisado (an​) e a quantidade de elementos (n).
Questão 01 de 06
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10 PONTOS
Com base no texto "A lenda de Gauss e a Soma da PA", complete as lacunas do texto a seguir.
A grande sacada do raciocínio de Gauss foi perceber que, em uma progressão 
aritmética
finita, a 
soma
de pares de termos equidistantes é sempre 
multiplicação
.
Questão 02 de 06
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10 PONTOS
Considere a sequência finita de números pares a seguir: 
(2, 4, 6, 8, 10, 12)
E a fórmula descrita no texto para calcular a soma dos termos de uma PA:
Sn=(a1+an)⋅n2Sn​=2(a1​+an​)⋅n​ 
Selecione as alternativas que apresentam afirmações matemáticas corretas sobre essa sequência específica.
A) A soma do primeiro termo com o último termo (2 + 12) resulta em 14.
B) A sequência possui um total de n = 5 termos para aplicar na fórmula.
C) O raciocínio de Gauss não pode ser aplicado nessa sequência porque ela não chega até o número 100.
D) O valor total da soma dos termos dessa PA é igual a 42.
E) A soma dos termos centrais da sequência (6 + 8) também resulta em 14, confirmando o padrão lógico.
🏃‍♂️ Treinando para a Prova
Questão 03 de 06
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10 PONTOS
Um atleta está se preparando para uma maratona. Para evitar lesões, seu treinador montou um planejamento de 10 dias de treinos gradativos. No primeiro dia, o atleta deve correr 800 metros. A cada novo dia, a distância percorrida aumenta sempre em exatos 150 metros em relação ao dia anterior. Esse planejamento rigoroso segue o padrão de uma progressão aritmética (PA).
Baseando-se na rotina de treinos descrita e usando a dedução da fórmula adequada da PA, qual será a distância total percorrida pelo atleta ao somar todos os 10 dias de treinamento?
A) 12 500 m
B) 13 250 m
C) 14 000 m
D) 14 750 m
E) 15 500 m
Questão 04 de 06
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10 PONTOS
Uma empresa decidiu implementar um programa de bonificação financeira a um de seus funcionários como incentivo à produtividade ao longo de 12 meses. No primeiro mês, o bônus concedido foi de R$ 400,00. A cada mês seguinte, o valor depositado do bônus aumentou em uma quantia fixa, caracterizando uma PA. Exatamente no décimo segundo mês do programa, o funcionário recebeu o valor isolado de R$ 950,00 de bônus.
De acordo com os dados apresentados, o valor total acumulado dos bônus que o funcionário recebeu durante os 12 meses de programa foi de
A) R$ 7500,00.
B) R$ 7800,00.
C) R$ 8100,00.
D) R$ 8400,00.
E) R$ 8700,00.
Questão 05 de 06
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10 PONTOS
Uma ciclista iniciou um roteiro intensivo para um campeonato estadual de ciclismo. No seu primeiro dia de treinamento em estrada, ela completou um percurso de 8 km. Para garantir o ganho de resistência muscular de forma contínua, a ciclista planejou em uma planilha que aumentaria a distância percorrida em 2 km a cada novo dia, em relação à distância do dia anterior.
O roteiro evolutivo da ciclista segue rigorosamente o padrão de uma progressão aritmética. Aplicando a fórmula do termo geral, assinale a alternativa que indica a distância que ela pedalará no sexto dia de treino.
A) 16 km
B) 18 km
C) 20 km
D) 22 km
E) 24 km
🏁 Linha de chegada
Questão 06 de 06
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10 PONTOS
No estudo matemático das Progressões Aritméticas (PA), a genialidade nem sempre está em decorar fórmulas, mas em compreender os padrões lógicos que regem nosso cotidiano (como calcular o total pago em prestações graduais ou o esforço de atletas após semanas de evolução constante). A clássica história do jovem matemático Gauss nos mostra que é possível somar rapidamente os elementos de sequências inteiras unindo o primeiro termo ao último.
Com base nessa reflexão, explique, com as suas palavras: por que o princípio lógico da fórmula da soma de uma PA nos orienta a multiplicar a soma dos termos extremos da sequência por n e depois dividir tudo por dois? (Nota: não é necessário escrever a fórmula ou fazer contas numéricas, concentre-se em explicar a lógica da "formação dos pares").
A fórmula funciona porque é possível formar pares com o primeiro e o último termo, o segundo e o penúltimo, e assim sucessivamente. Todos esses pares têm a mesma soma. Como existem tantos termos na sequência, multiplicamos essa soma pelo número de termos e, ao final, dividimos por dois, pois cada par foi contado duas vezes. Dessa forma, é possível calcular a soma de todos os termos de maneira rápida e eficiente.
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